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2017年中考数学知识点专题43图形的轴对称

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2017年中考数学知识点专题43图形的轴对称

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w.tT z y W.cOm 专题43 图形的轴对称
聚焦考点☆温习理解
1.如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点.
2.图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴,是任意一对对应点所连线段的垂直平分线.对应线段、对应角相等.
3.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样;新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.这样,由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换而成.
4. 轴对称与轴对称图形
轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是:轴对称图形是一个具有特殊性质的图形,而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系;
两者之间的联系是:若把轴对称的两个图形视为一个整体,则它就是一个轴对称图形;若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形,则这两个图形就形成轴对称的位置关系.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、识别轴对称图形
【例1】(2016山东潍坊第2题)下列科学计算器的按键中,其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是(  )
 
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念可得选项A是轴对称图形,又是中心对称图形,此选项错误;选项B不是轴对称图形,不是中心对称图形,此选项错误 ;选项C是轴对称图形,又是中心对称图形,此选项错误;选项D是轴对称图形,不是中心对称图形,此选项正确.故答案选D.
考点:轴对称图形与中心对称图形的概念.
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.判断图形是否是轴对称图形,关键是理解、应用轴对称图形的定义,看是否能找到至少1条合适的直线,使该图形沿着这条直线对折后,两旁能够完全重合.若能找到,则是轴对称图形;若找不到,则不是轴对称图形.
【举一反三】
1. (2016湖南湘西州第10题)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(  )
A.平行四边形 B.等腰三角形 C.矩形 D.正方形
【答案】B.
【解析】
试题分析:根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念可得选项A,平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,错误;选项B,等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,正确.选项C,矩形是轴对称图形,也是中心对称图形;错误;选项D,正方形是轴对称图形,也是中心对称图形,错误;故答案选B.
考点:轴对称图形的概念和中心对称图形的概念.
2. (2016广西桂林第5题)下列图形一定是轴对称图形的是(  )
A.直角三角形 B.平行四边形 C.直角梯形 D.正方形
【答案】D.
 考点:轴对称图形.
考点典例二、作已知图形的轴对称图形
【例2】(厦门)在平面直角坐标系中,已知点A(-3,1),B(-1,0),C(-2,-1),请在图中画出△ABC,并画出与△ABC关于y轴对称的图形.
 
【答案】
 
考点:作图-轴对称变换.
【点睛】此题主要考查了轴对称变换,得出对应点坐标是解题关键.画轴对称图形,关键是先作出一条对称轴,对于直线、线段、多边形等特殊图形,一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点,就能准确作出图形.
【举一反三】
(2016浙江宁波第20题)(本题8分)下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成,每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影:
(1)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)选取2个涂上阴影,使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形。
(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中,均只需画出符合条件的一种情形)
 
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据轴对称图形的定义作图即可;(2)根据中心对称图形的定义作图即可;(3)根据轴对称图形的定义作图即可;
试题解析:
(1)画出下列一种即可:
 ;
(2)画出下列一种即可:
 ;
(3)画出下列一种即可:
 .
考点:轴对称图形;中心对称图形.
考点典例三、轴对称性质的应用
【例3】如图,菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,M、N分别是BC、CD的中点,P是线段BD上的一个动点,则PM+PN的最小值是             
 
【答案】5.
 
考点:轴对称-最短路线问题;勾股定理的应用;平行四边形的判定与性质;菱形的性质.
【点睛】求两条线段之和为最小,可以利用轴对称变换,使之变为求两点之间的线段,因为线段间的距离最短.本题考查了轴对称-最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.
【举一反三】
(2016山东枣庄第24题)(本题满分10分)
如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF= ,∠BAD=60°,且AB> .
⑴求∠EPF的大小;
⑵若AP=8,求AE+AF的值;
⑶若△EFP的三个顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.
 
【答案】(1)120°;(2) ;(3)AP的最大值为12,AP的最小值为6.
  
(3) 如图,当△EFP的三个顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上运动时,点P在 , 之间运动,易知 , ,
∴AP的最大值为12,AP的最小值为6.
 
考点:四边形综合题.
考点典例四、折叠问题
【例4】(2016山东威海第12题)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【答案】D.
 
考点:翻折变换;矩形的性质;勾股定理.
【点睛】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠 前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程,轴对称变换前后的图形是全等图形,对应边相等,对应角相等.
【举一反三】
1. (2016湖南常德第15题)如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD=      .
 
【答案】55°.
【解析】
试题分析:已知四边形ABCD是平行四边形,由平行四边形的性质可得∠BAD=∠C,再由折叠的性质得∠D1AE=∠C,所以∠D1AE=∠BAD,即可得∠D1AD=∠BAE=55°;
考点:平行四边形的性质;折叠的性质.
2. (2016湖北武汉第14题)如图,在□ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为_______.
 
【答案】36°.
【解析】
试题分析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠EAD, =∠DAE=20°,∠AED,=∠AED=180°-∠DAE-∠D=180°-20°-52°=108°,∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∴∠FED′=108°-72°=36°.
考点:平行四边形的性质;折叠的性质.
课时作业☆能力提升
1. (2016浙江台州第9题)小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了(  )
A.1次      B.2次      C.3次      D.4次
【答案】B.
 考点:翻折变换(折叠问题).
2. (2016青海第14题)以下图形中对称轴的数量小于3的是(  )
 
【答案】D.
【解析】
试题分析:选项A有4条对称轴;选项B有6条对称轴;选项C有4条对称轴;选项D有2条对称轴.故选D.
考点:轴对称图形.
3.(2016湖北宜昌第3题)如图,若要添加一条线段,使之既是轴对称图形又是中心对称图形,正确的添加位置是(  )
 
【答案】A.
 考点 :中心对称图形;轴对称图形.
4.(2016江苏苏州第17题)如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为      .
 
【答案】27.
【解析】
试题分析:过点D作DF⊥B′E于点F,过点B′作B′G⊥AD于点G,∵∠B=60°,BE=BD=4,∴△BDE是等边三角形,∵△B′DE≌△BDE,∴B′F=12B′E=BE=2,DF=23,∴GD=B′F=2,∴B′G=DF=23,∵AB=10,∴AG=10﹣6=4,
∴AB′=27.
 
考点:1轴对称;2等边三角形.
5.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B(2,0),∠DOB=60°,点P是对角线OC上一个动点,E(0,﹣1),当EP+BP最短时,点P的坐标为         .
 
【答案】( , ).
 
考点:1.菱形的性质;2.坐标与图形性质;3.轴对称-最短路线问题;4.动点型;5.压轴题;6.综合题.
6. (2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第12题)如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为PQ,则线段BQ的长度为(  )
 
A.  B.  C.4 D.5
【答案】C.
 考点:翻折变换(折叠问题).
7.如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时,EF=2 .
以上结论中,你认为正确的有(  )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
 
【答案】C.
【解析】
试题分析:先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等的平 ∴四边形CFHE是菱形,(故①正确);
∴∠BCH=∠ECH,
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,(故②错误);
点H与点A重合时,设BF=x,则AF=FC=8-x,
在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,
即42+x2=(8-x)2,
解得x=3,
点G与点D重合时,CF=CD=4,
∴BF=4,
 ∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,(故③正确);
过点F作FM⊥AD于M,
 
则ME=(8-3)-3=2,
由勾股定理得,
EF= ,(故④正确);
综上所述,结论正确的有①③④共3个.
故选C.
考点:翻折变换(折叠问题);勾股定理的应用;菱形的判定与性质.
8.(2016内蒙古通辽第7题)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,折痕为MN,若AB=2,BC=4,那么线段MN的长为(  )
 
A.       B.       C.       D.
【答案】B.
 考点:翻折变换(折叠问题);矩形的性质.
9. (2016山东济宁第9题)如图,在4×4正方形网格中,黑色部分的图形构成一个轴对称图形,现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑,使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是(  )
 
A.  B.  C.  D.
【答案】B.
 考点:轴对称图形的概念;概率.
10.如图,在边长为2的等边△ABC中,D为BC的中点,E是AC边上一点,则BE+DE的最小值为     .
 
【答案】 .
【解析】
试题分析:作B关于AC的对称点B′,连接BB′、B′D,交AC于E,此时BE+ED=B′E+ED=B′D,根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值,∵B、B′关于AC的 对称,∴AC、BB′互相垂直平分,∴四边形ABCB′是平行四边形,∵三角形ABC是边长为2,∵D为BC的中点,∴AD⊥BC,∴AD= ,BD=CD=1,BB′=2AD= ,作B′G⊥BC的延长线于G,∴B′G=AD= ,
在Rt△B′BG中,BG= = =3,∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2,
在Rt△B′DG中,BD= = = .故BE+ED的最小值为 .
 
考点:1.轴对称-最短路线问题;2.等边三角形的性质;3.最值问题;4.综合题.
11.如图 ,在矩形ABCD中 ,AB=10 , BC=5 . 若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点 ,则BM+MN的最小值为(   )
  A. 10   B.  8   C.  5   D. 6
 
【答案】B
 考点:1.矩形的性质;2.轴对称;3.相似三角形的判定与性质.
12. (2016黑龙江哈尔滨第22题)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长;
(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上.
 
【答案】(1)作图见解析; ;(2)作图见解析.
 考点:1轴对称;2勾股定理.
13.(2016内蒙古包头第25题)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点,连接EF.
(1)图①,若将纸片ACB的 一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF,求AE的长;
(2)如图②,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;
②求EF的长;
(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE= ,求 的值.
 
【答案】(1) ;(2)①四边形AEMF为菱形,理由详见解析;② ;(3) .
 
∴AB= =5,
∵∠EAF=∠BAC,
∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴ =( )2,即( )2= ,
∴AE= ;
 
(3)如图③,作FH⊥BC于H,
∵EC∥FH,
 
考点:三角形综合题.
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