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第1章机械振动章末复习教师用书(粤教版选修3-4)

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第1章机械振动章末复习教师用书(粤教版选修3-4)

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第1章  机械振动
 
 
 
一、简谐运动的对称性和周期性
做简谐运动的物体完成一次全振动后,再次振动时则是重复上一次的振动形式,这就是简谐运动的周期性.除此之外,简谐运动还具有对称性,主要表现在:
(1)速率的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置上具有相等的速率.
(2)加速度的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力.
(3)时间的对称性:系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等.
(4)位移的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的位移.
  弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.20 s时,振子速度第一次变为-v;在t=0.50 s时,振子速度第二次变为-v.
(1)求弹簧振子振动的周期T;
(2)若B、C之间的距离为25 cm,求振子在4.0 s内通过的路程.
【解析】 (1)作示意图,根据题意,振子从P点出发,沿路径①达B再沿BP回到出发点P,历时0.20 s,由对称性tPB=tBP=0.10 s;同理,tPO=tOP′=12×0.30 s,故tBO=tBP+tPO=T/4.所以T=4×(0.10+0.15)s=1.00 s.即周期为1.00 s.
(2)BC=2A=25 cm,振幅A=12.5 cm;因振子1个周期通过4A的路程,故在4.0 s=4T内通过s=4×4A=200 cm.
【答案】 (1)1.00 s (2)200 cm
二、简谐运动的图象及作用
简谐运动的图象描述了振动质点的位移随时间的变化规律.从图象中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律,具体分析如下
1.可以确定振动质点在任一时刻的位移.如图1-1中所示,对应t1、t2时刻的位移分别是x1=7 cm、x2=-5 cm.
 
图1-1
2.确定振动的振幅.图中最大位移的值就是振幅,如图表示的振幅是10 cm.
3.确定振动的周期和频率,振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期,由图可知,OD、AE、BF的间隔都等于振动周期T=0.2 s,频率f=1T=5 Hz.
4.确定各时刻质点的振动方向.例如图中在t1时刻,质点正远离平衡位置运动;在t3时刻,质点正向着平衡位置运动.
5.比较各时刻质点的加速度(回复力)的方向和大小.例如在图中t1时刻质点位移x1为正,则加速度a1为负,两者方向相反;t2时刻,位移x2为负,则a2便为正,又因为|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|.
6.比较不同时刻质点的势能、动能的大小.因质点离平衡位置的位移越大,它所具有的势能越大,动能则越小,如图所示,在t1时刻质点的势能Ep1大于t2时刻的势能Ep2,而动能则Ek1<Ek2.
  如图1-2所示,为一单摆及其振动图象,请回答下列问题:
 
图1-2
(1)单摆的振幅为________,频率为________,摆长为________,一周期内重力势能Ep最大的时刻为________.
(2)摆球从E指向G为正方向,α为最大摆角,则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中________点.一周期内加速度为正且减小,并与速度同方向的时间范围是________,势能增加且速度为正的时间范围是________.
(3)单摆摆动过程中多次通过同一位置时,下列哪些物理量一定是变化的(  )
A.位移  B.速度  C.加速度  D.动能  E.摆线中的张力
(4)当在摆线的悬点正下方O′处钉一光滑的水平细钉可挡住摆线,且O′E=14OE,则此单摆的振动周期为________s,钉子挡住绳子后的瞬间摆线中的张力会________(填“变大”“变小”“不变”)
(5)若单摆摆到最大位移处时摆线断了,此后摆球做何种运动?若摆线在摆球运动到平衡位置断裂,摆球又做何种运动?
【解析】 (1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm,横坐标可直接读取完成一次全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期T=2 s,进而算出频率f=1T=0.5 Hz,由T=2πlg,算出摆长l=gT24π2=1 m.
从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s末和1.5 s末,即为重力势能最大的时刻.
(2)图象中O点位移为零,O到A的过程中位移为正且增大,A处最大,历时14T.显然摆球是从平衡位置起振并向G方向运动的,所以O对应E,A对应G、A到B的过程分析方法相同.可知O、A、B、C分别对应E、G、E、F点.
摆动中EF间加速度为正,且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小,所以从F向E的过程,在图象中为C到D的过程,时间范围是1.5 s~2.0 s之间.摆球远离平衡位置时势能增加,即从E向两侧运动,而速度为正,显然是从E向G的过程,在图象中为从O到A,时间范围是0~0.5 s之间.
(3)通过同一位置时,位移、回复力和加速度不变;由机械能守恒知,动能不变,速率也不变,摆线张力mgcos α+mv2/l也不变;用运动分析相邻两次过同一点,速度方向变化.故选B.
(4)放钉子后改变了摆长,因此单摆的周期也应分成钉子左侧的半个周期和钉子右侧的半个周期,前面已求出摆线长为1 m,所以T左=πl/g=1s;钉右侧的半个周期T右=π l4g=0.5 s.所以T=T左+T右=1.5 s.由受力分析知FT-mg=mv2/l得FT=mg+mv2/l.钉子挡后瞬间速度不变,球重力不变,挡后摆线长为挡前的14,所以挡后张力变大.
(5)在最大位移处,球速度为零,只受重力作用,做自由落体运动.在平衡位置断裂,此时球有最大的水平速度只受重力作用,所以做平抛运动.
【答案】 (1)3 cm 0.5 Hz 1 m 0.5 s末和1.5 s末
(2)E、G、E、F 1.5 s~2.0 s 0~0.5 s
(3)B
(4)1.5 变大
(5)自由落体,平抛运动
三、简谐运动的多解问题
做简谐运动的质点其运动具有周期性,如运动时间与简谐运动的周期之间存在整数倍的关系,则质点的位移、速度、回复力、加速度、动能等物理量均不变化;反之将对应时间的不确定性.这种不确定性将带来问题的多解.
  如图1-3所示,小球m自A点以沿AD方向的初速度v匀速接近固定在D点的小球n.已知AB=0.8 m,AB圆弧半径R=10 m,AD=10 m,A、B、C、D在一水平面上,则v为多大时,才能使m恰好碰到小球n?(设g取10 m/s2,不计一切摩擦)
 
图1-3
【解析】 小球m的运动由两个分运动合成,这两个运动分别是以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面AB方向上的往复运动.因AB≪R,所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性,是一种等效单摆,其圆弧半径R即为等效单摆的摆长.
设小球m恰好能碰到小球n,则有AD=vt,且满足
t=kT(k=1,2,3…)
又T=2π Rg
解方程得v=5kπ m/s(k=1,2,3…).
【答案】 5kπ m/s(k=1,2,3…)

 

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