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等差数列的通项公式教案(新人教A版必修五)

作者:佚名 教案来源:网络 点击数:

等差数列的通项公式教案(新人教A版必修五)

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  2.2.2 等差数列的通项公式
(共   1   课时) 修改与创新
一、知识与技能
1.明确等差中项的概念;
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;
3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.
二、过程与方法
1.通过等差数列的图象的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想;
2.发挥学生的主体作用,讲练相结合,作好探究性学习;
3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;
2.通过体验等差数列的性质的奥秘,激发学生的学习兴趣. 
教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 
多媒体课件 
导入新课
师 同学们,上一节课我们学习了等差数列的定义,等差数列的通项公式,哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列?
生 我回答,一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即an-a n-1=d(n≥2,n∈N *),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).
师 对,我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么?
生1 等差数列{an}的通项公式应是an=a1+(n-1)d.
生2 等差数列{an}还有两种通项公式:an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数).
师 好!刚才两位同学说得很好,由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式:①d=an-a n-1;② ;③ .你能理解与记忆它们吗?
生3 公式② 与③ 记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).
[合作探究]
探究内容:如果我们在数a与数b中间插入一个数A,使三个数a,A,b成等差数列,那么数A应满足什么样的条件呢?
师 本题在这里要求的是什么?
生 当然是要用a,b来表示数A.
师 对,但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?
生 由定义可得A -a=b-A,即 .
反之,若 ,则A-a=b-A,
由此可以得 a,A,b成等差数列.
推进新课
我们来给出等差中项的概念:若a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
根据我们前面的探究不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列:1,3,5,7,9,11,13…中5是3与7的等差中项,也是1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项,也是5和13的等差中项.
[方法引导]
等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a,A,b成等差数列2A=a+b,以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a,A,b间的关系证得a,A,b成等差数列.
[合作探究]
师 在等差数列{an}中,d为公差,若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q,那么这些项与项之间有何种等量关系呢?
生 我得到了一种关系am+an=ap+aq.
师 能把你的发现过程说一下吗?
生 受等差中项的启发,我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.
从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
师 你所得的这关系是归纳出来的,归纳有利于发现,这很好,但归纳不能算是证明!我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢?
生 我能给出证明,只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1,则
am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.
因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等,所以am+an=ap+aq.
师 好极了!由此我们的一个重要结论得到了证明:在等差数列{an}的各项中,与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外,在等差数列中,若m+n=p+q,则上面两式的右边相等,所以am+an=ap+aq.
同样地,我们还有:若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.
师 注意:由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q,同学们可举例说明吗?
生 我举常数列就可以说明了.
师举得好!这说明在等差数列中,am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件.
[例题剖析]
【例1】 在等差数列{an}中,若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.
师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项?
生1 在通常情况下是先求其通项公式,再根据通项公式来求这一项.
生2 而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差,这在前面已研究过了).
生3 本题中,只已知一项和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手……
师 好,我们下面来解,请一个同学来解一解,谁来解?
生4 因为{an}是等差数列,所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,
所以可得d=a4-a3=7-2=5.
又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32,所以我们求出了a3=2,a9=32.
【例2】 (课本P44的例2) 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少元的车费?
师 本题是一道实际应用题,它所涉及到的是什么知识方面的数学问题?
生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.
师 为什么?
生 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.
师 这个等差数列的首项和公差分别是多少?
生 分别是11.2,1.2.
师 好,大家计算一下本题的结果是多少?
生 需要支付车费23.2元.
(教师按课本例题的解答示范格式)
评述:本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型,用等差数列知识解决实际问题.
课堂练习
1.在等差数列{an}中,
(1)若a5=a,a10=b,求a15.
解:由等差数列{an}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.
(2)若a3+a8=m,求a5+a6.
解:等差数列{an}中,a5+a6=a3+a8=m.
(3)若a5=6,a8=15,求a14.
解:由等差数列{an}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.
从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33.
(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15的值.
解:等差数列{an}中,因为6+6=11+1,7+7=12+2,……
所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……
从而(a11+a12+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),
因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)
=2×80-30=130.
2.让学生完成课本P45练习5.
教师对学生的完成情况作出小结与评价.
[方法引导]
此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质,因此,首先要熟练掌握等差数列的性质,其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.
课堂小结
师 通过今天的学习,你学到了什么知识?有何体会?
生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
(让学生自己来总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)
布置作业
课本第45页习题2.2 A组第4、5题.
预习内容:课本P48~P52.
预习提纲:①等差数列的前n项和公式;②等差数列前n项和的简单应用. 
等差数列的通项公式
          等差中项                例题
          在等差数列{an}中,
          若m、n、p、q∈N*且m+n=p+q,
          则am+an=ap+aq

 

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