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角平分线教学设计与反思(北师大版七年级数学下册)

作者:佚名 教案来源:网络 点击数:

角平分线教学设计与反思(北师大版七年级数学下册)

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w.C oM 《简单的轴对称图形》
教学目标
1.知识与技能
(1)探索线段垂直平分线的性质,并利用性质解决问题。
(2)会利用尺规作图作角平分线。
2.过程与方法
在探索轴对称性质的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
学生在自主探索获得正确的学习方式和良好的情感体验。
【教学重点
探索轴对称的性质。
【教学难点
利用轴对称的性质解决问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件
课时安排
1课时
教学过程
一、复习导入
【过渡】在前两节课的学习中,我们学习了两种简单的轴对称图形:等腰三角形和线段,并通过亲自动手,探索了这两种轴对称图形的性质。现在,大家一起来回忆一下这两张轴对称图形都有什么样的性质吧?
学生回答)
等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
【过渡】在性质的学习过程中,我们也练习了如何正确的利用这些性质。今天,我们就来学习一下另一个简单的轴对称图形——角。究竟角都具有哪些性质呢?和之前的学习方法一样,我们一起来动手探究一下吧。
二、新课教学
1.角平分线的性质
【过渡】现在,请大家拿出一张纸,任意画出一个角,并将其标为∠AOB,然后,我们用剪刀将其剪下。
【过渡】我们首先来思考第一个问题,角是轴对称图形吗?
根据轴对称图形的定义,以及我们前两节课的学习,大家知道该如何给出这个答案吗?
(学生回答)
【过渡】没错,就是对折。现在,请大家将手中的角进行对折,使角的两边重合,大家能得到什么样的结论呢?
【过渡】角是轴对称图形。
【过渡】现在,我们把刚刚的折痕画出来,我们发现,折痕将角分成了两个小角,我们将这两个角标为∠1和∠2,根据刚刚的对折,大家能说出这两个角的关系吗?
(学生回答)
【过渡】根据刚刚的对折,我们知道,这两个角是重合的,也就是说∠1=∠2。因此,我们知道,对于一个角而言,对称轴所在的直线是角平分线。
【过渡】通过刚刚的动手,我们可以得出这样的结论:
角是轴对称图形;
角的对称轴是角的平分线所在的直线。
【过渡】接下来,我们继续进行探究。
在∠AOB的角平分线上任意取一点C,分别折出过点C且与角两边垂直的直线,垂足分别为D、E,再次对折,线段CD与CE能重合吗?
【过渡】通过对折,我们发现,CD=CE。
如果改变C的位置,还能得到同样的结论吗?
(学生动手,回答)
【过渡】通过刚刚的动手,我们得到关于角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等。
【过渡】那么在实际问题中,这个性质该如何运用呢?我们一起来看一个例题。
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是角平分线,DE⊥AB.垂足为E.求证:BE=DE=CD。
 
【过渡】要解决这个问题,我们首先想到三角形全等及角平分线。而题目中给出的有角平分线,因此,我们利用角平分线的性质来解决问题。
根据角平分线的性质,我们能够轻易的的得到CD=DE。
又由题意得到△ABC是等腰三角形,得到∠B=45°,进而得到△BDE是等腰三角形,得到BE=DE。由此,题目结论得以证明。
课件展示证明过程。
【过渡】在学习线段垂直平分线的时候,我们学习了对于一个三角形而言,三条边对应的中垂线交于一点,那么对于角平分线来说,是否也交于一点呢?我们来看下边的问题。
如图,△ABC的角平分线BM,CN交于点P。
 
(1)试说明点P到AB,BC,CA三边的距离相等;
(2)点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形三条角平分线有什么关系?
【过渡】大家一起动手来解决一下这个问题吧。
课件展示解题过程。
【过渡】从刚刚的问题中,我们学到了三角形三条角平分线相交于一点。
同时,对于第二个问题,我们也知道了,角平分线的判定作用:通过线段相等证明是否是角平分线。
【过渡】既然我们学习了角平分线的性质,那么我们利用尺规作图该如何作出一个角的平分线呢?
讲解课本例题。
【过渡】这节课呢,我们主要学习了角平分线的性质,大家来总结一下。
【过渡】现在,我们来学习一下如何利用角平分线解决实际问题。
 如图,两条公路OA、OB相交于点O,在∠AOB的内部有两个村庄C、D,若要修一个加油站P,使P到两个村庄的距离相等,且到两条公路OA、OB的距离也相等,用尺规作出加油站P点的位置。
 
【过渡】结合角平分线的性质,要到两条公路的距离相等,就需要作出角平分线,而到两点的距离相等,我们自然想到线段的垂直平分线,因此,作出这两条线的交点,就是我们需要的点。
 
【过渡】我们再来看一下课本想一想的内容。
 如图,在Rt△ABC中,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE与DC相等吗?为什么?
 
【过渡】分析题目,我们看到有角平分线,同时又有两个垂直,自然根据角平分线的性质,得到DE=DC。
这个问题也给我们一定的启示。在解决问题时,若出现角平分线,可以考虑添加适当的辅助线,利用角平分线的性质。
【学以致用】1、如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( D )
 
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三条角平分线的交点
2、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,AD=10,则点D到AB的距离是( B )
 
A.8 B.5 C.6 D.4
3、如图,在△ABC中,∠B=90°,∠BAC=∠C,ED⊥AC于点D,且DE=BE,求∠AED的度数。
 
解:∵∠B=90°,∠BAC=∠C,
∴∠BAC=∠C=45°,
∵DE=BE,∠B=90°,ED⊥AC,
∴∠BAE=∠DAE=22.5°,又ED⊥AC,
∴∠AED=67.5°。
4、如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC于E点,DF⊥AB于F点.若AB+AC=18,S△ABC=36,求DF的长。
 
解:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC于E点,DF⊥AB于F点,
∴DF=DE,
∵S△ABD+S△ADC=S△ABC,
∴   ×AB×DF+  ×AC×DE=36,
又AB+AC=18,
∴DF=DE=4。
5、如图,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD,Q是OP上一点,QE⊥OA于点E,QF⊥OB于点F,求证:QE=QF。
 
证明:∵PC=PD,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,
∴OP是∠AOB的平分线,又QE⊥OA于点E,QF⊥OB于点F,
∴QE=QF.
6、已知△ABC,请你在下列各图中判断点P到△ABC三边的距离是否相等,并证明你的结论.
 
(1)如图①,已知内角∠ABC,∠ACB的平分线交于点P;
(2)如图②,已知内角∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点P;
(3)如图③,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BP,CP交于点P。
解:(1)点P到△ABC三边的距离相等,
∵BP是内角∠ABC的平分线,
∴点P到BA、BC的距离相等,
∵CP是∠ACB的平分线,
∴点P到CB、CA的距离相等,
∴点P到△ABC三边的距离相等;
(2)点P到△ABC三边的距离相等,
∵BP是内角∠ABC的平分线,
∴点P到BA、BC的距离相等,
∵CP是外角∠ACE的平分线,
∴点P到CB、CA的距离相等,
∴点P到△ABC三边的距离相等;
(3)点P到△ABC三边的距离相等,
∵BP是内外角∠DBC的平分线,
∴点P到BA、BC的距离相等,
∵CP是外角∠BCE的平分线,
∴点P到CB、CA的距离相等,
∴点P到△ABC三边的距离相等。
板书设计】
1、角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【教学反思】
通过大量的动手操作,力图让学生用自己的思维方式自由开放地去探索、去发现、去创造,使学生通过大量的感性经验形成表象,进一步体会轴对称的含义。通过动手探索,掌握角平分线的性质,感受对称图形的内在美,并通过大量的练习,巩固学生对于角平分线性质的掌握。
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