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中考数学复习圆的有关概念及性质专题导学案

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中考数学复习圆的有关概念及性质专题导学案

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考点:圆周角定理.
专题:探究型.
分析:直接根据圆周角定理进行解答即可.
解答:解:∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°,
∴∠ACB= ∠AOB=45°.
故选A.
点评:本题考查的是圆周角定理,即在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

6.(2012•云南)如图,AB、CD是⊙O的两条弦,连接AD、BC.若∠BAD=60°,则∠BCD的度数为(  )
A.40°   B.50°   C.60°   D.70°
 
考点:圆周角定理.
分析:由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠BCD的度数.
解答:解:∵∠BAD与∠BCD是 对的圆周角,
∴∠BCD=∠BAD=60°.
故选C.
点评:此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用,注意数形结合思想的应用.

 

7.(2012•襄阳)△ABC为⊙O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是(  )
A.80°   B.160°   C.100°    D.80°或100°
考点:圆周角定理.
分析:首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数,又由圆的内接四边四边形性质,即可求得∠AB′C的度数.
解答:解:如图,∵∠AOC=160°,
∴∠ABC= ∠AOC= ×160°=80°,
∵∠ABC+∠AB′C=180°,
∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°.
∴∠ABC的度数是:80°或100°.
故选D.
 
点评:此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,注意别漏解.
8.(2012•泸州)如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为(  )
A.50°   B.60°   C.70°   D.80°
 

考点:圆周角定理.
分析:由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠A的度数,然后由三角形的内角和定理,即可求得∠C的度数.
解答:解:∵∠BOD=100°,
∴∠A= ∠BOD=50°,
∵∠B=60°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°.
故选C.
点评:此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理.此题难度 不大,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键.

二、填空
9.(2012•朝阳)如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的一条弦,CD⊥AB,垂足为E,已知CD=6,AE=1,则⊙0的半径为                 .
 

9.5
考点:垂径定理;勾股定理.
分析:连接OD,由垂径定理得求出DE,设⊙O的半径是R,由勾股定理得出R2=(R-1)2+32,求出R即可.
解答:解:
连接OD,
∵AB⊥CD,AB是直径,
∴由垂径定理得:DE=CE=3,
设⊙O的半径是 R,
在Rt△ODE中,由勾股定理得:OD2=OE2+DE2,即R2=(R-1)2+32,
解得:R=5,
故答案为:5.

点评:本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,用了方程思想,题目比较 好,难度适中.


10.(2012•成都)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C.若AB=2 ,0C=1,则半径OB的长为          .
 

10.2
考点:垂径定理;勾股定理.
专题:探究型.
分析:先根据垂径定理得出BC的长,再在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的长即可.
解答:解:∵AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C,AB=2 ,
∴BC= ,AB= ,
∵0C=1,
∴在Rt△OBC中,
OB= .
故答案为:2.
点评:本题考查的是垂径定理及勾股定理,先求出BC的长,再利用勾股定理求出OB的长是解答此题的关键.


11.(2012•嘉兴)如图,在⊙O中,直径AB丄弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为     .

 
11.24
考点:垂径定理;勾股定理.
专题:探究型.
分析:连接OD,由AM=18,BM=8可求出⊙O的半径,利用勾股定理可求出MD的长,再根据垂径定理即可得出CD的长.
解答:解:连接OD,
∵AM=18,BM=8,
∴OD= = =13,
∴OM=13-8=5,
在Rt△ODM中,DM= ,
∵直径AB丄弦CD,
∴AB=2DM=2×12=24.
故答案为:24.
 
点评:本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
12.(2012•株洲)已知:如图,在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,则∠AOB=          .
 
12.90°
考点:圆周角定理.
分析:由在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠AOB的度数.
解答:解:∵在⊙O中,C在圆周上,∠ACB=45°,
∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°.
故答案为:90°.
点评:此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用,注意数形结合思想的应用.

13.(2012•玉林)如图,矩形OABC内接于扇形MON,当CN=CO时,∠NMB的度数是          .
 
13.30°
考点:圆周角定理;含30度角的直角三角形;矩形的性质.
分析:首先连接OB,由矩形的性质可得△BOC是直角三角形,又由OB=ON=2OC,∠BOC的度数,又由圆周角定理求得∠NMB的度数.
解答: 解:连接OB,
∵CN=CO,
∴OB=ON=2OC,
∵四边形OABC是矩形,
∴∠BCO=90°,
∴cos∠BOC= ,
∴∠BOC=60°,
∴∠NMB= ∠BOC=30°.
故答案为:30°.
点评:此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值.此题难度适中,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
14.(2012•义乌市)如图,已知点A(0 ,2)、B(2 ,2)、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连接AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ,连接PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则:
(1)当AB为梯形的底时,点P的横坐标是            ;
(2)当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是            .
 
14.(1) ,(2)0或
考点:圆周角定理;等边三角形的性质;梯形;解直角三角形.
专题:几何综合题.
分析:首先根据题意画出符合题意的图形,(1)当AB为梯形的底时,PQ∥AB,可得Q在CP上,由△APQ是等边三角形,CP∥x轴,即可求得答案;
(2)当AB为梯形的腰时,AQ ∥BP,易得四边形ABPC是平行四边形,即可求得CP的长,继而可求得点P的横坐标.
解答:解:(1)如图1:当AB为梯形的底时,PQ∥AB,
∴Q在CP上,
∵△APQ是等边三角形,CP∥x轴,
∴AC垂直平分PQ,
∵A(0,2),C(0,4),
∴AC=2,
∴PC=AC•tan30°=2× ,
∴当AB为梯形的底时,点P的横坐标是: ;

(2)如图2,当AB为梯形的腰时,AQ∥BP,
∴Q在y轴上,
 
∴BP∥y轴,
∵CP∥x轴,
∴四边形ABPC是平行四边形,
∴CP=AB=2 ,
如图3,当C与P重合时,
∵A(0,2)、B(2 ,2),
∴tan∠APC= ,
∴∠APC=60°,
∵△APQ是等边三角形,
∴∠PAQ=60°,
∴∠ACB=∠PAQ,
∴AQ∥BP,
∴当C与P重合时,四边形ABPQ以AB为要的梯形,
此时点P的横坐标为0;
∴当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是:0或2 .
故答案为:(1) ,(2)0或 .
点评:此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质.此题难度适中,解题的关键是根据题意画出符合要求的图形,然后利用数形结合思想求解.
15.(2012•鞍山)如图,△ABC内接于⊙O,AB、CD为⊙O直径,DE⊥AB于点E,sinA= ,则∠D的度数是               .
 
15.30°


考点:圆周角定理;特殊角的三角函数值.
专题:计算题
分析:由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30°;然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60°;最后在直角三角形ODE中求得∠D的度数.
解答:解:∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角);
又∵sinA= ,
∴∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°(直角三角形的两个锐角互余);
又∵点O是AB的中点,
∴OC=OB,
∴∠OCB=OBC=60°,
∴∠COB=60°,
∴∠EOD=∠COB=60°(对顶角相等);
又∵DE⊥AB,
∴∠D=90°-60°=30°.
故答案是:30°.
点评:本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值.解题时,注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一知识点的利用.
 

三、解答题
16.(2012•荆门)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC),支点A与B相距8m,罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O,半径为5m,∠D=56°,求:U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据:sin53°≈0.8,tan56°≈1.5,π≈3,结果保留整数)

 
考点:垂径定理的应用;勾股定理;等腰梯形的性质;解直角三角形的应用.
分析:连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E,过点O作ON⊥DC于点N,ON交⊙O于点M,交AB于点F,则OF⊥AB,先根据垂径定理求出AF的值,再在在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数,由勾股定理求出OF的长,根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长,再由S阴=S梯形ABCD-(S扇OAB-S△OAB)即可得出结论.
解答:解:如图,连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E,过点O作ON⊥DC于点N,ON交⊙O于点M,交AB于点F.则OF⊥AB.
∵OA=OB=5m,AB=8m,
∴AF=BF= AB=4(m),∠AOB=2∠AOF,
在Rt△AOF中,sin∠AOF= =0.8=sin53°,
∴∠AOF=53°,则∠AOB=106°,
∵OF= =3(m),由题意得:MN=1m,
∴FN=OM-OF+MN=3(m),
∵四边形ABCD是等腰梯形,AE⊥DC,FN⊥AB,
∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE.
在Rt△ADE中,tan56°= ,
∴DE=2m,DC=12m.
∴S阴=S梯形ABCD-(S扇OAB-S△OAB)= (8+12)×3-( π×52- ×8×3)=20(m2).
答:U型槽的横截面积约为20m2.
 
点评:本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形及等腰梯形,再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键.
 

17.(2012•南通)如图,⊙O的半径为17cm,弦AB∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圆心O位于AB,CD的上方,求AB和CD的距离.

考点:垂径定理;勾股定理.
专题:探究型.
分析:过点O作弦AB的垂线,垂足为E,延长AE交CD于点F,连接OA,OC;由于AB∥CD,则OF⊥CD,EF即为AB、CD间的距离;由垂径定理,易求得AE、CF的长,可连接OA、ODC在构建的直角三角形中,根据勾股定理即可求出OE、OF的长,也就求出了EF的长,即弦AB、CD间的距离.
解答:解:过点O作弦AB的垂线,垂足为E,延长AE交CD于点F,连接OA,OC,
∵AB∥CD,
∴OF⊥CD,
∵AB=30cm,CD=16cm,
∴AE= AB= ×30=15cm,CF= CD= ×16=8cm,
在Rt△AOE中,
OE= =8cm,
在Rt△OCF中,
OF= =15cm,
∴EF=OF-OE=15-8=7cm.
答:AB和CD的距离为7cm.
 
点评:本题考查的是勾股定理及垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.


18.(2012•宁夏)在⊙O中,直径AB⊥CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.求∠D的度数.
 

考点:垂径定理;等边三角形的判定与性质.
分析:连接BD,根据平行线的性质可得:BD∥CF,则∠BDC=∠C,根据圆周角定理可得∠BDC=  ∠BOC,则∠C=  ∠BOC,根据直角三角形的两个锐角互余即可求解.
解答:解:方法一:连接BD.       
∵AB⊙O是直径,
∴BD⊥AD
又∵CF⊥AD,
∴BD∥CF,
∴∠BDC=∠C.
又∵∠BDC= ∠BOC,
∴∠C= ∠BOC.
∵AB⊥CD,
∴∠C=30°,
∴∠ADC=60°.
方法二:设∠D=x,
∵CF⊥AD,AB⊥CD,∠A=∠A,
∴△AFO∽△AED,
∴∠D=∠AOF=x,
∴∠ADC=2∠ADC=2x,
∴x+2x=180,
∴x=60,
∴∠ADC=60°.
 

点评:本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质,正确得到∠C= ∠BOC是解题的关键.

19.(2012•长沙)如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)求圆心O到BC的距离OD.
 

考点:圆周角定理;等边三角形的判定;垂径定理;解直角三角形.
专题:探究型.
分析:(1)先根据圆周角定理得出∠ABC的度数,再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可;
(2)连接OB,由等边三角形的性质可知,∠OBD=30°,根据OB=8利用直角三角形的性质即可得出结论.
解答:解:(1)在△ABC中,
∵∠BAC=∠APC=60°,
又∵∠APC=∠ABC,
∴∠ABC=60°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°,
∴△ABC是等边三角形;

(2)∵△ABC为等边三角形,⊙O为其外接圆,
∴O为△ABC的外心,
∴BO平分∠ABC,
∴∠OBD=30°,
∴OD=8× =4.
 

点评:本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定,垂径定理,解直角三角形等知识,将各知识点有机结合,旨在考查同学们的综合应用能力.
 
20.(2012•大庆)如图△ABC中,BC=3,以BC为直径的⊙O交AC于点D,若D是AC中点,∠ABC=120°.
(1)求∠ACB的大小;
(2)求点A到直线BC的距离.

 
考点:圆周角定理;等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
分析:(1)根据垂直平分线的性质得出AB=BC,进而得出∠A=∠C=30°即可;
(2)根据BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,得出CD的长,进而求出AE的长度即可.
解答:解:(1)连接BD,
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D,
∴∠BDC=90°,
∵D是AC中点,
∴BD是AC的垂直平分线,
∴AB=BC,
∴∠A=∠C,
∵∠ABC=120°,
∴∠A=∠C=30°,
即∠ACB=30°;

(2)过点A作AE⊥BC于点E,
∵BC=3,∠ACB=30°,∠BDC=90°,
∴cos30°= = ,
∴CD= ,
∵AD=CD,
∴AC=3 ,
∵在Rt△AEC中,∠ACE=30°,
∴AE= = .
 
点评:此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质,根据已知得出CD的长度是解题关键.

21.(2012•怀化)如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD、DB.
(1)当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数;
(2)若AC=2 ,求证:△ACD∽△OCB.
 

考点:圆周角定理;等腰三角形的性质;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定.
专题:证明题;几何综合题.
分析:(1)连接OA,根据OA=OB=OD,求出∠DAO、∠OAB的度数,求出∠DAB,根据圆周角定理求出即可;
(2)过O作OE⊥AB于E,根据垂径定理求出AE和BE,求出AB,推出C、E重合,得出∠ACD=∠OCB=90°,求出DC长得出  ,根据相似三角形的判定推出即可.
解答:(1)解:连接OA,
∵OA=OB=OD,
∴∠OAB=∠OBC=30°,∠OAD=∠ADC=18°,
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°,
由圆周角定理得:∠DOB=2∠DAB=96°.
 
(2)证明:过O作OE⊥AB于E,
由垂径定理得:AE=BE,
∵在Rt△OEB中,OB=4,∠OBC=30°,
∴OE=  OB=2,
由勾股定理得:BE=2 =AE,
即AB=2AE=4 ,
∵AC=2 ,
∴BC=2 ,
即C、E两点重合,
∴DC⊥AB,
∴∠DCA=∠OCB=90°,
∵DC=OD+OC=2+4=6,OC=2,AC=BC=2 ,
∴ = ,
∴△ACD∽△OCB(两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似).
 

点评:本题综合考查了垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定,勾股定理,等腰三角形的性质的应用,主要考查学生能否运用性质进行推理,题目综合性比较强,是一道比较好的题目.

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