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中考数学复习与圆有关的位置关系专题导学案

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中考数学复习与圆有关的位置关系专题导学案

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【备考真题过关】
一、选择题
1.(2012•恩施州)如图,两个同心圆的半径分别为4cm和5cm,大圆的一条弦AB与小圆相切,则弦AB的长为(  )
A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm
 

考点:切线的性质;勾股定理;垂径定理.分析:首先连接OC,AO,由切线的性质,可得OC⊥AB,由垂径定理可得AB=2AC,然后由勾股定理求得AC的长,继而可求得AB的长.解答:解:如图,连接OC,AO,
∵大圆的一条弦AB与小圆相切,
∴OC⊥AB,
∴AC=BC= AB,
∵OA=5cm,OC=4cm,
在Rt△AOC中,AC=  =3cm,
∴AB=2AC=6(cm).
故选C.
 

点评:此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理.此题难度不大,注意数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.


2.(2012•河南)如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A, .则下列结论中不一定正确的是(  )
A.BA⊥DA    B.OC∥AE    C.∠COE=2∠CAE    D.OD⊥AC
 
考点:切线的性质;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.分析:分别根据切线的性质、平行线的判定定理及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可.
解答:解:∵AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,
∴BA⊥DA,故A正确;
∵ ,
∴∠EAC=∠CAB,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠ACO,
∴∠EAC=∠ACO,
∴OC∥AE,故B正确;
∵∠COE是 所对的圆心角,∠CAE是 所对的圆周角,
∴∠COE=2∠CAE,故C正确;
只有当 时OD⊥AC,故本选项错误.
故选D.

 
点评:本题考查的是切线的性质,圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系,熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键.


3.(2012•黄石)如图所示,直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时,则∠ABP的度数为(  )
A.15° B.30° C.60° D.90°

 
考点:切线的性质;三角形的外角性质;圆周角定理.
分析:连接BD,由题意可知当P和D重合时,∠APB的度数最大,利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数.
解答:解:连接BD,
∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D,
∴∠ADB=90°,
当∠APB的度数最大时,
则P和D重合,
∴∠APB=90°,
∵AB=2,AD=1,
∴sin∠DBP= ,
∴∠ABP=30°,
∴当∠APB的度数最大时,∠ABP的度数为30°.
故选B.
 

点评:本题考查了切线的性质,圆周角定理以及解直角三角形的有关知识,解题的关键是由题意可知当P和D重合时,∠APB的度数最大为90°.

4.(2012•乐山)⊙O1的半径为3厘米,⊙O2的半径为2厘米,圆心距O1O2=5厘米,这两圆的位置关系是(  )
A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
考点:圆与圆的位置关系.
分析:由⊙O1的半径为3厘米,⊙O2的半径为2厘米,圆心距O1O2=5厘米,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.
解答:解:∵⊙O1的半径r=3,⊙O2的半径r=2,
∴3+2=5,
∵两圆的圆心距为O1O2=5,
∴两圆的位置关系是外切.
故选D.
点评:此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系.


6.(2012•上海)如果两圆的半径长分别为6和2,圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是(  )
A.外离 B.相切 C.相交 D.内含
考点:圆与圆的位置关系.
分析:由两个圆的半径分别为6和2,圆心距为3,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.
解答:解:∵两个圆的半径分别为6和2,圆心距为3,
又∵6-2=4,4>3,
∴这两个圆的位置关系是内含.
故选:D.
点评:此题考查了圆与圆的位置关系.此题比较简单,解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系.

7.(2012•宿迁)若⊙O1,⊙O2的半径分别是r1=2,r2=4,圆心距d=5,则这两个圆的位置关系是(  )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
考点:圆与圆的位置关系.
分析:先求出两圆半径的和与差,再与圆心距进行比较,确定两圆的位置关系.
解答:解:∵⊙O1和⊙O2的半径分别是2和4,圆心距d是5,
则4-2=2,4+2=6,d=5,
∴2<d<6,
两圆相交时,圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间,
∴两圆相交.
故选B.
点评:此题考查了圆与圆的位置关系.注意外离,则P>R+r;外切,则P=R+r;相交,则R-r<P<R+r;内切,则P=R-r;内含,则P<R-r.(P表示圆心距,R,r分别表示两圆的半径).

9.(2012•嘉兴)如图,AB是⊙0的弦,BC与⊙0相切于点B,连接OA、OB.若∠ABC=70°,则∠A等于(  )
A.15° B.20° C.30° D.70°

 
考点:切线的性质.分析:由BC与⊙0相切于点B,根据切线的性质,即可求得∠OBC=90°,又由∠ABC=70°,即可求得∠OBA的度数,然后由OA=OB,利用等边对等角的知识,即可求得∠A的度数.解答:解:∵BC与⊙0相切于点B,
∴OB⊥BC,
∴∠OBC=90°,
∵∠ABC=70°,
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=90°-70°=20°,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA=20°.
故选B.
点评:此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质.此题比较简单,注意数形结合思想的应用,注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用.
10. (2012•泉州)如图,O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC、BC分别交E、F,则(  )
A.EF>AE+BF   B.EF<AE+BF   C.EF=AE+BF   D.EF≤AE+BF
 

考点:三角形的内切圆与内心.
专题:探究型.
分析:连接OA,OB,由O是△ABC的内心可知OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线,故可得出∠EAO=∠OAB,∠ABO=∠FBO,再由EF∥AB可知,∠AOE=∠OAB,∠BOF=∠ABO,故可得出∠EAO=∠AOE,∠FBO=∠BOF,故AE=OE,OF=BF,由此即可得出结论.
解答:解:连接OA,OB,
∵O是△ABC的内心,
∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线,
∴∠EAO=∠OAB,∠ABO=∠FBO,
∵EF∥AB,
∴∠AOE=∠OAB,∠BOF=∠ABO,
∴∠EAO=∠AOE,∠FBO=∠BOF,
∴AE=OE,OF=BF,
∴EF=AE+BF.
故选C.
 
点评:本题考查的是三角形的内切圆与内心,根据题意作出辅助线,构造出等腰三角形是解答此题的关键.
 

二、填空
11.(2012•吉林) 如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,∠ACB=40°,点P在边BC上,则∠PAB的度数可能为               (写出一个符合条件的度数即可)。
 
11.45°(答案不唯一)
考点:切线的性质.专题:开放型.
分析:由切线的性质可以证得△ABC是直角三角形,然后根据直角三角形的两个锐角互余知,∠CAB=50°;因为点P在边BC上,所以∠PAB<∠CAB.解答:解:∵AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,
∴AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠ACB=40°(已知),
∴∠CAB=50°(直角三角形的两个锐角互余);
又∵点P在边BC上,
∴0<∠PAB<∠CAB,
∴∠PAB可以取49°,45°,40…
故答案可以是:45°。
点评:本题考查了切线的性质.此题属于开放型题目,解题时注意答案的不唯一性.

12.(2012•江西)如图,AC经过⊙O的圆心O,AB与⊙O相切于点B,若∠A=50°,则∠C=         度.
 
12.20
考点:切线的性质;圆周角定理.
分析:首先连接OB,由AB与⊙O相切于点B,根据切线的性质,即可得OB⊥AB,又由∠A=50°,即可求得∠AOB的度数,然后由圆周角定理,求得∠C的度数.
解答:解:连接OB,
∵AB与⊙O相切于点B,
∴OB⊥AB,
即∠OBA=90°,
∵∠A=50°,
∴∠AOB=90°-∠A=40°,
∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°.
故答案为:20.
 

点评:此题考查了切线的性质,圆周角定理与直角三角形的性质.此题比较简单,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
13.(2012•淮安)如图,⊙M与⊙N外切,MN=10cm,若⊙M的半径为6cm,则⊙N的半径为      cm.
 
13.4
考点:圆与圆的位置关系.
分析:根据两圆外切圆心距等于两半径之和求得另一圆的半径即可.
解答:解:∵⊙M与⊙N外切,MN=10cm,若⊙M的半径为6cm,
∴⊙N的半径=10-6=4cm
故答案为4.
点评:本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是了解当两圆外切时圆心距等于两半径之和.
14.(2012•六盘水)已知两圆的半径分别为2和3,两圆的圆心距为4,那么这两圆的位置关系是      .
考点:圆与圆的位置关系.
分析:由两圆的半径分别为2和3,两圆的圆心距为4,利用两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.
解答:解:∵两圆的半径分别为2和3,两圆的圆心距为4,
∴2+3=5,3-2=1,
∵1<4<5,
∴这两圆的位置关系是相交.
故答案为:相交.
点评:此题考查了圆与圆的位置关系.此题比较简单,注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系.
15.(2012•铜仁地区)已知圆O1和圆O2外切,圆心距为10cm,圆O1的半径为3cm,则圆O2的半径为    .
考点:圆与圆的位置关系.
分析:由圆O1和圆O2外切,圆心距为10cm,圆O1的半径为3cm,利用两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系,即可求得圆O2的半径.
解答:解:∵圆O1和圆O2外切,圆心距为10cm,圆O1的半径为3cm,
∴圆O2的半径为:10-3=7(cm).
故答案为:7cm.
点评:此题考查了圆与圆的位置关系.此题比较简单,注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系是解此题的关键.

16.(2012•盐城)已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根,且O1O2=t+2,若这两个圆相切,则t=             .
考点:圆与圆的位置关系;解一元二次方程-因式分解法.
分析:先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径,再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解.
解答:解:∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根,
解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3.
①当两圆外切时,圆心距O1O2=t+2=1+3=4,解得t=2;
②当两圆内切时,圆心距O1O2=t+2=3-1=2,解得t=0.
∴t为2或0.
故答案为:2或0.
点评:考查解一元二次方程-因式分解法和圆与圆的位置关系,同时考查综合应用能力及推理能力.注意:两圆相切,应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点


17.(2012•荆门)如图,在直角坐标系中,四边形OABC是直角梯形,BC∥OA,⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B,与AB交于点F.已知A(2,0),B(1,2),则tan ∠FDE=          .
 
17.
考点:切线的性质;圆周角定理;锐角三角函数的定义.分析:先连接PB、PE,根据⊙P分别与OA、BC相切,得出PB⊥BC,PE⊥OA,再根据A、B点的坐标,得出AE和BE的值,从而求出tan∠ABE,最后根据∠EDF=∠ABE,即可得出答案.
解答:解:连接PB、PE.
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B,
∴PB⊥BC,PE⊥OA,
∵BC∥OA,
∴B、P、E在一条直线上,
∵A(2,0),B(1,2),
∴AE=1,BE=2,
∴tan∠ABE=AE BE = ,
∵∠EDF=∠ABE,
∴tan∠FDE= .
故答案为: .
 
点评:此题考查了切线的性质,用到的知识点是切线的性质、解直角三角形、圆周角定理,解题的关键是做出辅助线,构建直角三角形.

18.(2012•连云港)如图,圆周角∠BAC=55°,分别过B,C两点作⊙O的切线,两切线相交与点P,则∠BPC=           °.

 
18.70
考点:切线的性质;圆周角定理.
分析:首先连接OB,OC,由PB,PC是⊙O的切线,利用切线的性质,即可求得∠PBO=∠PCO=90°,又由圆周角定理可得:∠BOC=2∠BAC,继而求得∠BPC的度数.
解答:解:连接OB,OC,
∵PB,PC是⊙O的切线,
∴OB⊥PB,OC⊥PC,
∴∠PBO=∠PCO=90°,
∵∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°,
∴∠BPC=360°-∠PBO-∠BOC-∠PCO=360°-90°-110°-90°=70°.
故答案为:70.
 
点评:此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形的内角和定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

 

19.(2012•武汉)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3.0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2.设tan∠BOC=m,则m的取值范围是       .
19.
考点:切线的性质;坐标与图形性质;勾股定理;锐角三角函数的定义.专题:计算题
分析:当OC与圆A相切(即到C′点)时,∠BOC最小,根据勾股定理求出此时的OC,求出∠BOC=∠CAO,根据解直角三角形求出此时的值,根据tan∠BOC的增减性,即可求出答案.解答:解:当OC与圆A相切(即到C′点)时,∠BOC最小,
AC′=2,OA=3,由勾股定理得:OC′= ,
∵∠BOA=∠AC′O=90°,
∴∠BOC′+∠AOC′=90°,∠C′AO+∠AOC′=90°,
∴∠BOC′=∠OAC′,
tan∠BOC= ,
随着C的移动,∠BOC越来越大,但不到E点,即∠BOC<90°,
∴tan∠BOC≥ ,
故答案为: .

 

点评:本题考查了解直角三角形,勾股定理,切线的性质等知识点的应用,能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键,题型比较好,但是有一定的难度.

20.(2012•宜宾)如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是AD
的中点,弦CE⊥AB于点F,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC.给出下列结论:
①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心;④AP•AD=CQ•CB.
其中正确的是                      (写出所有正确结论的序号).

 
20.②③④
考点:切线的性质;圆周角定理;三角形的外接圆与外心;相似三角形的判定与性质.专题:计算题
分析:连接BD,由GD为圆O的切线,根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD,再由AB为圆的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角,由CE垂直于AB,得到∠AFP为直角,再由一对公共角,得到三角形APF与三角形ABD相似,根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD,根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP,利用等角对等边可得出GP=GD,选项②正确;由直径AB垂直于弦CE,利用垂径定理得到A为  的中点,得到两条弧相等,再由C为  的中点,得到两条弧相等,等量代换得到三条弧相等,根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP,利用等角对等边可得出AP=CP,又AB为直径得到∠ACQ为直角,利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC,得出CP=PQ,即P为直角三角形ACQ斜边上的中点,即为直角三角形ACQ的外心,选项③正确;利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等,再由一对公共角相等,得到三角形ACQ与三角形ABC相似,根据相似得比例得到AC2=CQ•CB,连接CD,同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似,根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD,等量代换可得出AP•AD=CQ•CB,选项④正确.
解答:解:∠BAD与∠ABC不一定相等,选项①错误;
连接BD,如图所示:
 
∵GD为圆O的切线,
∴∠GDP=∠ABD,
又AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,
∵CE⊥AB,∴∠AFP=90°,
∴∠ADB=∠AFP,又∠PAF=∠BAD,
∴△APF∽△ABD,
∴∠ABD=∠APF,又∠APF=∠ GPD,
∴∠GDP=∠GPD,
∴GP=GD,选项②正确;
∵直径AB⊥CE,
∴A为 的中点,即 ,
又C为 的中点,∴  ,
∴ ,
∴∠CAP=∠ACP,
∴AP=CP,
又AB为圆O的直 径,∴∠ACQ=90°,
∴∠PCQ=∠PQC,
∴PC=PQ,
∴AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点,
∴P为Rt△ACQ的外心,选项③正确;
连接CD,如图所示:
 
∵ ,
∴∠B=∠CAD,又∠ACQ=∠BCA,
∴△ACQ∽△BCA,
∴AC CQ =CB AC ,即AC2=CQ•CB,
∵ ,
∴∠ACP=∠ADC,又∠CAP=∠DAC,
∴△ACP∽△ADC,
∴ ,即AC2=AP•AD,
∴AP•AD=CQ•CB,选项④正确,
则正确的选项序号有②③④.
故答案为:②③④。
点评:此题考查了切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,以及三角形的外接圆与圆心,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
21.(2012•黄石)如图所示,已知A点从(1,0)点出发,以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动,经过t秒后,以O、A为顶点作菱形OABC,使B、C点都在第一象限内,且∠AOC=60°,又以P(0,4)为圆心,PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切,则t=   .

 
21.
考点:切线的性质;坐标与图形性质;菱形的性质;解直角三角形.专题:动点型.分析:先根据已知条件,求出经过t秒后,OC 的长,当⊙P与OA,即与x轴相切时,如图所示,则切点为O,此时PC=OP,过P作PE⊥OC,利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值.解答:解:∵已知A点从(1,0)点出发,以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动,
∴经过t秒后,
∴OA=1+t,
∵四边形OABC是菱形,
∴OC=1+t,
当⊙P与OA,即与x轴相切时,如图所示,则切点为O,此时PC=OP,过P作PE⊥OC,
∴OE=CE= OC,
∴OE=1+t 2 ,
在Rt△OPE中,
OE=OP•cos30°= ,
∴ =  ,
∴t= ,
故答案为: .
 

点评:本题综合性的考查了菱形的性质、坐标与图形性质、切线的性质、垂径定理的运用以及解直角三角形的有关知识,属于中档题目.
22.(2012•湘潭)如图,△ABC的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线,你所添加的条件为            .
 
22.∠ABC=90°
考点:切线的判定.
专题:开放型.
分析:根据切线的判定方法知,能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件,进而得出答案即可.
解答:解:当△ABC为直角三角形时,即∠ABC=90°时,
BC与圆相切,
∵AB是⊙O的直径,∠ABC=90°,
∴BC是⊙O的切线,(经过半径外端,与半径垂直的直线是圆的切线).
故答案为:∠ABC=90°.
点评:此题主要考查了切线的判定,本题是一道典型的条件开放题,解决本类题目可以是将最终的结论当做条件,而答案就是使得条件成立的结论.
三、解答题
23.(2012•天津)已知⊙O中,AC为直径,MA、MB分别切⊙O于点A、B.
 
(Ⅰ)如图①,若∠BAC=25°,求∠AMB的大小;
(Ⅱ)如图②,过点B作BD⊥AC于E,交⊙O于点D,若BD=MA,求∠AMB的大小.
考点:切线的性质;菱形的判定与性质;圆周角定理.
专题:计算题.
分析:(Ⅰ)由AM与圆O相切,根据切线的性质得到AM垂直于AC,可得出∠MAC为直角,再由∠BAC的度数,用∠MAC-∠BAC求出∠MAB的度数,又MA,MB为圆O的切线,根据切线长定理得到MA=MB,利用等边对等角可得出∠MAB=∠MBA,由底角的度数,利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数;
(Ⅱ)连接AB,AD,由直径AC垂直于弦BD,根据垂径定理得到A为优弧 的中点,根据等弧对等弦可得出AB=AD,由AM为圆O的切线,得到AM垂直于AC,又BD垂直于AC,根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM,又BD=AM,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形,再由邻边MA=MB,得到ADBM为菱形,根据菱形的邻边相等可得出BD=AD,进而得到AB=AD=BD,即△ABD为等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠D为60°,再利用菱形的对角相等可得出∠AMB=∠D=60°.
解答:解:(Ⅰ)∵MA切⊙O于点A,
∴∠MAC=90°,又∠BAC=25°,
∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=65°,
∵ MA、MB分别切⊙O于点A、B,
∴MA=MB,
∴∠MAB=∠MBA,
∴∠MAB=180°-(∠MAB+∠MBA)=50°;

(Ⅱ)如图,连接AD、AB,
∵MA⊥AC,又BD⊥AC,
∴BD∥MA,又BD=MA,
∴四边形MADB是平行四边形,又MA=MB,
∴四边形MADB是菱形,
∴AD=BD.
又∵AC为直径,AC⊥BD,
∴ ,
∴AB=AD,又AD=BD,
∴AB=AD=BD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠D=60°,
∴在菱形MADB中,∠AMB=∠D=60°.
点评:此题考查了切线的性质,圆周角定理,弦、弧及圆心角之间的关系,菱形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,切线长定理,以及等边三角形的判定与性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.

 

24.(2012•铜仁地区)如图,已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AB⊥CD,⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
(1)求证:CD∥BF;
(2)若⊙O的半径为5,cos∠BCD=  ,求线段AD的长.

 
考点:切线的性质;圆周角定理;解直角三角形.
分析:(1)由BF是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,根据切线的性质,即可得BF⊥AB,又由AB⊥CD,即可得CD∥BF;
(2)又由AB是⊙O的直径,可得∠ADB=90°,由圆周角定理,可得∠BAD=∠BCD,然后由⊙O的半径为5,cos∠BCD=  ,即可求得线段AD的长.
解答:(1)证明:∵BF是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,
∴BF⊥AB,
∵CD⊥AB,
∴CD∥BF;
(2)解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵⊙O的半径5,
∴AB=10,
∵∠BAD=∠BCD,
∴cos∠BAD=cos∠BCD= = ,
∴AD=cos∠BAD•AB= ×10=8,
∴AD=8.
点评:此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质.此题难度适中,注意数形结合思想与转化思想的应用.
25.(2012•咸宁)如图,AB是⊙O的直径,点E是AB上的一点,CD是过E点的弦,过点B的切线交AC的延长线于点F,BF∥CD,连接BC.
(1)已知AB=18,BC=6,求弦CD的长;
(2)连接BD,如果四边形BDCF为平行四边形,则点E位于AB的什么位置?试说明理由.
 
考点:切线的性质;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质.

分析:(1)由BF与⊙O相切,根据切线的性质,可得BF⊥AB,又由BF∥CD,易得CD⊥AB,由垂径定理即可求得CE=DE,然后连接CO,设OE=x,则BE=9-x,由勾股定理即可求得OE的长,继而求得CD的长;
(2)由四边形BDCF为平行四边形,根据平行四边形的性质,即可得CD=BF,又由△AEC∽△ABF,即可求得点E是AB的中点.

解答:(1)解:∵BF与⊙O相切,
∴BF⊥AB.
而BF∥CD,
∴CD⊥AB.
又∵AB是直径,
∴CE=ED.
连接CO,设OE=x,则BE=9-x.
由勾股定理可知:CO2-OE2=BC2-BE2=CE2,
即92-x2=62-(9-x)2,
解得:x=7.
∴CD=2 =2 .
 
(2)∵四边形BDCF为平行四边形,
∴BF=CD.
而CE=DE= CD,
∴CE= BF.
∵BF∥CD,
∴△AEC∽△ABF.
∴ .
∴点E是AB的中点.
点评:此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理等知识.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

26.(2012•张家界)如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线DC,P点为优弧  上一动点(不与A、C重合).
(1)求∠APC与∠ACD的度数;
(2)当点P移动到CB弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱形.
(3)P点移动到什么位置时,△APC与△ABC全等,请说明理由.
 

考点:切线的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.
专题:几何综合题.
分析:(1)连接AC,由直径AB=4,得到半径OA=OC=2,又AC=2,得到AC=OC=OA,即三角形AOC为等边三角形,可得出三个内角都为60°,再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,得到∠APC为30°,由CD为圆O的切线,得到OC垂直于CD,可得出∠OCD为直角,用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度数;
(2)由∠AOC为60°,AB为圆 O的直径,得到∠BOC=120°,再由P为 的中点,得到两条弧相等,根据等弧对等角,可得出∠COP=∠BOP=60°,进而得到三角形COP与三角形BOP都为等边三角形,可得出OC=OB=PC=PB,即四边形OBPC为菱形;
(3)P有两个位置使三角形APC与三角形ABC全等,其一:P与B重合时,显然两三角形全等;第二:当CP为圆O的直径时,此时两三角形全等,理由为:当CP与AB都为圆的直径时,根据直径所对的圆周角为直角可得出三角形ACP与三角形ABC为直角三角形,由AB=CP,AC为公共边,利用HL即可得到直角三角形ACP与直角三角形ABC全等.
解答:解:(1)连接AC,如图所示:
 
∵AC=2,OA=OB=OC= AB=2,
∴AC=OA=OC,
∴△ACO为等边三角形,
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°,
∴∠APC= ∠AOC=30°,
又DC与圆O相切于点C,
∴OC⊥DC,
∴∠DCO=90°,
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°;
(2)连接PB,OP,
∵AB为直径,∠AOC=60°,
∴∠COB=120°,
当点P移动到CB的中点时,∠COP=∠POB=60°,
∴△COP和△BOP都为等边三角形,
∴OC=CP=OB=PB,
则四边形OBPC为菱形;
(3)当点P与B重合时,△ABC与△APC重合,显然△ABC≌△APC;
当点P继续运动到CP经过圆心时,△ABC≌△CPA,理由为:
∵CP与AB都为圆O的直径,
∴∠CAP=∠ACB=90°,
在Rt△ABC与Rt△CPA中,
 ,
∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL).
点评:此题考查切线的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,等边三角形的判定与性质,以及弧、圆心角及弦之间的关系,熟练掌握性质与判定是解本题的关键.


27.(2012•河北)如图,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动,运动时时间t秒.
(1)求点C的坐标;
(2)当∠BCP=15°时,求t的值;
(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.
 
考点:切线的性质;坐标与图形性质;勾股定理;解直角三角形.
专题:几何综合题.
分析:(1)由∠CBO=45°,∠BOC为直角,得到△BOC为等腰直角三角形,又OB=3,利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3,然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标;
(2)需要对点P的位置进行分类讨论:①当点P在点B右侧时,如图2所示,由∠BCO=45°,用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°,又OC=3,在Rt△POC中,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长,由PQ=OQ+OP求出运动的总路程,由速度为1个单位/秒,即可求出此时的时间t;②当点P在点B左侧时,如图3所示,用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°,又OC=3,在Rt△POC中,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长,由PQ=OQ+OP求出运动的总路程,由速度为1个单位/秒,即可求出此时的时间t;
(3)当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,分三种情况考虑:
①当⊙P与BC边相切时,利用切线的性质得到BC垂直于CP,可得出∠BCP=90°,由∠BCO=45°,得到∠OCP=45°,即此时△COP为等腰直角三角形,可得出OP=OC,由OC=3,得到OP=3,用OQ-OP求出P运动的路程,即可得出此时的时间t ;
②当⊙P与CD相切于点C时,P与O重合,可得出P运动的路程为OQ的长,求出此时的时间t;
③当⊙P与CD相切时,利用切线的性质得到∠DAO=90°,得到此时A为切点,由PC=PA,且PA=9-t,PO=t-4,在Rt△OCP中,利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到此时的时间t.
综上,得到所有满足题意的时间t的值.
解答:解:(1)∵∠BCO=∠CBO=45°,
∴OC=OB=3,
又∵点C在y轴的正半轴上,
∴点C的坐标为(0,3);
 
(2)分两种情况考虑:
①当点P在点B右侧时,如图2,
若∠BCP=15°,得∠PCO=30°,
故PO=CO•tan30°= ,此时t=4+ ;
②当点P在点B左侧时,如图3,
 
由∠BCP=15°,得∠PCO=60°,
故OP=COtan60°=3 ,
此时,t=4+3 ,
∴t的值为4+ 或4+3 ;

(3)由题意知,若⊙P与四边形ABCD的边相切时,有以下三种情况:
①当⊙P与BC相切于点C时,有∠BCP=90°,
从而∠OCP=45°,得到OP=3,此时t=1;
②当⊙P与CD相切于点C时,有PC⊥CD,即点P与点O重合,此时t=4;
③当⊙P与AD相切时,由题意,得∠DAO=90°,
∴点A为切点,如图4,PC2=PA2=(9-t)2,PO2=(t-4)2,
于是(9-t)2=(t-4)2+32,即81-18t+t2=t2-8t+16+9,
解得:t=5.6,
∴t的值为1或4或5.6.
点评:此题考查了切线的性质,坐标与图形性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,利用了数形结合及分类讨论的思想,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

28.(2012•宁波)如图,在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E,交BC于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知sinA= ,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
 

考点:切线的判定;扇形面积的计算.
分析:(1)连接OE.根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB,然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC,从而判定OE∥BC,最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线.
(2)连接OF,利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可.
解答:解:(1)连接OE.
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB                                       
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC                                             
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°                                     
∴AC是⊙O的切线;
 
                              
(2)连接OF.
∵sinA= ,∴∠A=3 0°                              
∵⊙O的半径为4,∴AO=2OE=8,
∴AE=4 ,∠AOE=60°,∴AB=12,
∴BC= AB=6   AC=6 ,
∴CE=AC-AE=2 .
∵OB=OF,∠ABC=60°,∴△OBF是正三角形.
∴∠FOB=60°,CF=6-4=2,∴∠EOF=60°.
∴S梯形OECF= (2+4)×2 =6 .
 S扇形EOF= = ,
∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=6 - .
点评:本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算,解题的关键是连接圆心和切点,利用过切点且垂直于过切点的半径来判定 切线.

29.(2012•莆田)如图,点C在以AB为直径的半圆O上,延长BC到点D,使得CD=BC,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,点G为DF的中点,连接CG、OF、FB.
(1)求证:CG是⊙O的切线;
(2)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍,求证:OF∥BC.
 

考点:切线的判定;圆周角定理.
专题:几何综合题.
分析:(1)连接OC.欲证CG是⊙O的切线,只需证明∠CGO=90°,即CG⊥OC;
(2)根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式,以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF;然后根据三角形中位线的判定与定理证得该结论.
解答:证明:(1)在△ABC中,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角);
又∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO(等边对等角);
在Rt△DCF中,∵点G为DF的中点,∴CG=GF(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半),
∴∠GCF=∠CFG(等边对等角);
∵DE⊥AB(已知),∠CFG=∠AFE(对顶角相等);
∴在Rt△AEF中,∠A+∠AEF=90°;
∴∠ACO+∠GCF=90°,即∠CGO=90°,
∴CG⊥OC,
∴CG是⊙O的切线;
 
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角),即AC⊥BD;
又∵CD=BC,点G为DF的中点,
∴S△AFB=S△ABC-S△BCF= (AC•BC-CF•BC),S△DCG= S△FCD= × DC•CF= BC•CF;
∵△AFB的面积是△DCG的面积的2倍,
∴ (AC•BC-CF•BC)=2× BC•CF,
∴AC=2CF,即点F是AC的中点;
∵O点是AB的中点,
∴OF是△ABC的中位线,
∴OF∥BC.
点评:本题考查了切线的判定、圆周角定理.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.

30 (2012•义乌市)如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
 

考点:切线的判定;圆周角定理;弧长的计算.
分析:(1)由圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠ABC的度数;
(2)由AB是⊙O的直径,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角,即可得∠ACB=90°,又由∠BAC=30°,易求得∠BAE=90°,则可得AE是⊙O的切线;
(3)首先连接OC,易得△OBC是等边三角形,则可得∠AOC=120°,由弧长公式,即可求得劣弧AC的长.
解答:解:(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,
∴∠ABC=∠D=60°;
 
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
即BA⊥AE,
∴AE是⊙O的切线;

(3)如图,连接OC,
∵OB=OC,∠ABC=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC=4,∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°,
∴劣弧AC的长为 π.
点评:此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识.此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.

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