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中考数学复习相似图形专题导学案

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中考数学复习相似图形专题导学案

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2013年中考数学专题复习第二十七讲 相似图形

【基础知识回顾】
一、 成比例线段:
 1、线段的比:如果选用同一长度的两条线段AB,CD的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们      的比,即: =     
 2、比例线段:四条线段a、b、c、d如果 =      那么四条线段叫做同比例线段,简称     
 3、比例的基本性质: = <=>      
 4、平行线分线段成比例定理:将平行线截两条直线
【名师提醒:1、表示两条线段的比时,必须示用相同的      ,在用了相同的前提下,两条线段的比值与用的无关 即比值没有
2、全分割:点C把线段AB分成两条,线段AC和BC(AC>BC)如果      那么称线段AB被点C全分割AC与AB的比叫全比,即L =     ≈       】
二、相似三角形:
 1、定义:如果两个三角形的各角对应      各边对应      那么这两个三角形相似
 2、性质:⑴相似三角形的对应角      对应边     
⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应      的比都等于     
⑶相似三角形周长的比等于      面积的比等于     
1、 判定:⑴基本定理:平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交,三角形与原三角形相似
      ⑵两边对应      且夹角      的两三角形相似
      ⑶两角      的两三角形相似
      ⑷三组对应边的比      的两三角形相似
【名师提醒:1、全等是相似比为      的特殊相似
2、根据相似三角形的性质的特质和判定,要证四条线段的比相等相等一般要先证      判定方法中最常用的是      三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】
 三、相似多边形:
 1、定义:各角对应      各边对应      的两个多边形叫做相似多边形
 2、性质:⑴相似多边形对应角      对应边     
⑵相似多边形周长的比等于      面积的比等于     
【名师提醒:相似多边形没有专门的判定方法,判定两多边形相似多用在矩形中,一般用定义进行判定】
一、 位似:
 1、定义:如果两个图形不仅是      而且每组对应点所在直线都经过      那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做      这时相似比又称为     
2、性质:位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于     
【名师提醒:1、位似图形一定是      图形,但反之不成立,利用位似变换可以将一个图形放大或     
2、在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比位r,那么位似图形对应点的坐标的比等于      或      】
【典型例题解析】
考点一:比例线段
例1  (2012•福州) 如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,则AD的长是         ,cosA的值是            .(结果保留根号)
 
考点:黄金分割;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.
分析:可以证明△ABC∽△BDC,设AD=x,根据相似三角形的对应边的比相等,即可列出方程,求得x的值;
过点D作DE⊥AB于点E,则E为AB中点,由余弦定义可求出cosA的值.
解答:解:∵△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB= =72°.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°.
∴∠A=∠DBC=36°,
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC,
∴ = ,
设AD=x,则BD=BC=x.则 ,
解得:x= (舍去)或 .
故x= .
如右图,过点D作DE⊥AB于点E,
 

∵AD=BD,
∴E为AB中点,即AE= AB= .
在Rt△AED中,cosA= = .
故答案是: ; .
点评:△ABC、△BCD均为黄金三角形,利用相似关系可以求出线段之间的数量关系;在求cosA时,注意构造直角三角形,从而可以利用三角函数定义求解.
对应训练
2.(2012•孝感)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是(  )
A.     B.    C.     D.

 
考点:黄金分割.
分析:根据两角对应相等,判定两个三角形相似.再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长.
解答:解:∵∠A=∠DBC=36°,∠C公共,
∴△ABC∽△BDC,
 且AD=BD=BC.
设BD=x,则BC=x,CD=2-x.
由于 ,
∴ .
整理得:x2+2x-4=0,
解方程得:x=-1± ,
∵x为正数,
∴x=-1+ .
故选C.
点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,先用两角对应相等判定两个三角形相似,再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长.

 

 考点二:相似三角形的性质及其应用
例2  (2012•重庆)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,则ABC与△DEF的面积之比为              .
考点:相似三角形的性质.
专题:探究型.
分析:先根据相似三角形的性质求出其相似比,再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可.
解答:解:∵△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,
∴三角形的相似比是3:1,
∴△ABC与△DEF的面积之比为9:1.
故答案为:9:1.
点评:本题考查的是相似三角形的性质,即相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
对应训练
2.(2012•沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′,相似比为3:4,△ABC的周长为6,则△A′B′C′的周长为      .
考点:相似三角形的性质.
专题:应用题
分析:根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解.
解答:解:∵△ABC∽△A′B′C′,
∴△ABC的周长:△A′B′C′的周长=3:4,
∵△ABC的周长为6,
∴△A′B′C′的周长=6× =8.
故答案为:8.
点评:本题主要考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.

 考点三:相似三角形的判定方法及其应用
例3  (2012•徐州)如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且FC=  BC.图中相似三角形共有(  )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
 
考点:相似三角形的判定;正方形的性质.
分析:首先由四边形ABCD是正方形,得出∠D=∠C=90°,AD=DC=CB,又由DE=CE,FC=  BC,证出△ADE∽△ECF,然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等,证明出△AEF∽△ADE,则可得△AEF∽△ADE∽△ECF,进而可得出结论.
解答:解:图中相似三角形共有3对.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠C=90°,AD=DC=CB,
∵DE=CE,FC= BC,
∴DE:CF=AD:EC=2:1,
∴△ADE∽△ECF,
∴AE:EF=AD:EC,∠DAE=∠CEF,
∴AE:EF=AD:DE,
即AD:AE=DE:EF,
∵∠DAE+∠AED=90°,
∴∠CEF+∠AED=90°,
∴∠AEF=90°,
∴∠D=∠AEF,
∴△ADE∽△AEF,
∴△AEF∽△ADE∽△ECF,
即△ADE∽△ECF,△ADE∽△AEF,△AEF∽△ECF.
故选C.
 
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,以及正方形的性质.此题难度适中,解题的关键是证明△ECF∽△ADE,在此基础上可证△AEF∽△ADE.
例4  16.(2012•资阳)(1)如图(1),正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程);
(2)将图(1)中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度,如图(2),求HD:GC:EB;
(3)把图(2)中的正方形都换成矩形,如图(3),且已知DA:AB=HA:AE=m:n,此时HD:GC:EB的值与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程).
 
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;正方形的性质.
分析:(1)首先连接AG,由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,易证得∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,即A,G,C共线,继而可得HD=BE,GC=  BE,即可求得HD:GC:EB的值;
(2)连接AG、AC,由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE,利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质,即可求得HD:GC:EB的值;
(3)由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上,由DA:AB=HA:AE=m:n,易证得△ADC∽△AHG,△DAH∽△CAG,△ADH∽△ABE,利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD:GC:EB的值.
解答:解:(1)连接AG,
∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,
∴∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,
∴A,G,C共线,AB-AE=AD-AH,
∴HD=BE,
∵AG= = AE,AC= = AB,
∴GC=AC-AG= AB- AE= (AB-AE)= BE,
∴HD:GC:EB=1: :1。

(2)连接AG、AC,
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,
∴AD:AC=AH:AG=1:  ,∠DAC=∠HAG=45°,
∴∠DAH=∠CAG,
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:GC=AD:AC=1: ,
∵∠DAB=∠HAE=90°,
∴∠DAH=∠BAE,
在△DAH和△BAE中, ,
∴△DAH≌△BAE(SAS),
∴HD=EB,
∴HD:GC:EB=1: :1;

(3)有变化,
连接AG、AC,
∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上,DA:AB=HA:AE=m:n,
∴∠ADC=∠AHG=90°,
∴△ADC∽△AHG,
∴AD:AC=AH:AG=m: ,∠DAC=∠HAG,
∴∠DAH=∠CAG,
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:GC=AD:AC=m: ,
∵∠DAB=∠HAE=90°,
∴∠DAH=∠BAE,
∵DA:AB=HA:AE=m:n,
∴△ADH∽△ABE,
∴DH:BE=AD:AB=m:n,
∴HD:GC:EB=m: :n.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

对应训练

3. (2012•攀枝花)如图,△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED,BC、DE交于点O.则下列四个结论中,①∠1=∠2;②BC=DE;③△ABD∽△ACE;④A、O、C、E四点在同一个圆上,一定成立的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
 

考点:相似三角形的判定;全等三角形的性质;圆周角定理.
分析:由△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED,根据全等三角形的性质,即可求得BC=DE,∠BAC=∠DAE,继而可得∠1=∠2,则可判定①②正确;由△ABC≌△ADE,可得AB=AD,AC=AE,则可得AB:AC=AD:AE,根据有两边对 应成比例且夹角相等三角形相似,即可判定③正确;易证得△AEF∽△DCF与△AOF∽△CEF,继而可得∠OAC+∠OCE=180°,即可判定A、O、C、E四点在同一个圆上.
解答:解:∵△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED,
∴∠BAC=∠DAE,BC=DE,故②正确;
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠1=∠2,故①正确;
∵△ABC≌△ADE,
∴AB=AD,AC=AE,
∴ ,
∵∠1=∠2,
∴△ABD∽△ACE,故③正确;
∵∠ACB=∠AEF,∠AFE=∠OFC,
∴△AFE∽△OFC,
∴ ,∠2=∠FOC,
即 ,
∵∠AFO=∠EFC,
∴△AFO∽△EFC,
∴∠FAO=∠FEC,
∴∠EAO+∠ECO=∠2+∠FAO+∠ECO=∠FOC+∠FEC+∠ECO=180°,
∴A、O、C、E四点在同一个圆上,故④正确.
故选D.
 
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及四点共圆的知识.此题难度较大,注意数形结合思想的应用,注意找到相似三角形是解此题的关键.
4.  (2012•义乌市)在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.
(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;
(2)如图2,连接AA1,CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;
(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.
 
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.
专题:几何综合题.
分析:(1)由由旋转的性质可得:∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,又由等腰三角形的性质,即可求得∠CC1A1的度数;
(2)由△ABC≌△A1BC1,易证得△ABA1∽△CBC1,然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△CBC1的面积;
(3)由①当P在AC上运动至垂足点D,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小,②当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,即可求得线段EP1长度的最大值与最小值.
解答:解:(1)由旋转的性质可得:∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,
∴∠CC1B=∠C1CB=45°,..…(2分)
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°.

(2)∵△ABC≌△A1BC1,
∴BA=BA1,BC=BC1,∠ABC=∠A1BC1,
∴ ,∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1,
∴∠ABA1=∠CBC1,
∴△ABA1∽△CBC1.
 
∴ ,
∵S△ABA1=4,
∴S△CBC1= ;

(3)①如图1,过点B作BD⊥AC,D为垂足,
∵△ABC为锐角三角形,
 ∴点D在线段AC上,
在Rt△BCD中,BD=BC×sin45°= ,
当P在AC上运动与AB垂直的时候,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小,最小值为:EP1=BP1-BE=BD-BE= -2;
②当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,最大值为:EP1=BC+BE=2+5=7.
点评:此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用.此题难度较大,注意数形结合思想的应用,注意旋转前后的对应关系.
考点四:位似
例5  (2012•玉林)如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形,已知AC=3 ,若点A′的坐标为(1,2),则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(  )
A.     B.     C.     D.  

考点:位似变换;坐标与图形性质.
分析:延长A′B′交BC于点E,根据大正方形的对角线长求得其边长,然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比.
解答:解:∵在正方形ABCD中,AC=3
∴BC=AB=3,
延长A′B′交BC于点E,
∵点A′的坐标为(1,2),
∴OE=1,EC=A′E=3-1=2,
∴正方形A′B′C′D′的边长为1,
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是 .
故选B.
 
点评:本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识,解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长.

对应训练
5.(2012•咸宁)如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1: ,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为(  )
A.( ,0)    B.(     C.     D. 

 

考点:位似变换;坐标与图形性质.
分析:由题意可得OA:OD=1: ,又由点A的坐标为(1,0),即可求得OD的长,又由正方形的性质,即可求得E点的坐标.
解答:解:∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1: ,
∴OA:OD=1: ,
∵点A的坐标为(1,0),
即OA=1,
∴OD= ,
∵四边形ODEF是正方形,
∴DE=OD= .
∴E点的坐标为:( , ).
故选C.
点评:此题考查了位似变换的性质与正方形的性质.此题比较简单,注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键.

 

【聚焦山东中考】

1.(2012•潍坊)已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=(  )
A.  B.  C.  D.2
 
考点:相似多边形的性质;翻折变换(折叠问题).
分析:可设AD=x,根据四边形EFDC与矩形ABCD相似,可得比例式,求解即可.
解答:解:∵AB=1,
设AD=x,则FD=x-1,FE=1,
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,
∴ ,
 ,
解得x1= ,x2= (负值舍去),
经检验x1= 是原方程的解.
故选B.
点评:考查了翻折变换(折叠问题),相似多边形的性质,本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式.

2.(2012•东营)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的  ,那么点B′的坐标是(  )
A.(-2,3) B.(2,-3) C.(3,-2)或(-2,3) D.(-2,3)或(2,-3)
 

考点:相似多边形的性质;坐标与图形性质.
分析:由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1:2,又由点B的坐标为(-4,6),即可求得答案.
解答:解:∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O 位似,
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC,
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ,
∴位似比为:1:2,
∵点B的坐标为(-4,6),
∴点B′的坐标是:(-2,3)或(2,-3).
故选D.
点评:此题考查了位似图形的性质.此题难度不大,注意位似图形是特殊的相似图形,注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用,注意数形结合思想的应用.

3. (2012•日照)在菱形ABCD中,E是BC边上的点,连接AE交BD于点F,若EC=2BE,则  的值是(  )
A.     B.    C.    D. 

考点:相似三角形的判定与性质;菱形的性质.
分析:根据菱形的对边平行且相等的性质,判断△BEF∽△DAF,得出 =  ,再根据BE与BC的数量关系求比值.
解答: 解:如图,
∵在菱形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,
∴△BEF∽△DAF,
∴ =  ,
又∵EC=2BE,
∴BC=3BE,即AD=3BE,
∴ =  = ,
故选B.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,菱形的性质.关键是由平行线得出相似三角形,由菱形的性质得出线段的长度关系.
4.(2012•德州)为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,∠ACB; ②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有(  )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组F
 
考点:相似三角形的应用;解直角三角形的应用.
分析:根据三角形相似可知,要求出AB,只需求出EF即可.所以借助于相似三角形的性质,根据  即可解答.
解答:解:此题比较综合,要多方面考虑,
①因为知道∠ACB和BC的长,所以可利用∠ACB的正切来求AB的长;
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB;
③,因为△ABD∽△EFD可利用 ,求出AB;
④无法求出A,B间距离.
故共有3组可以求出A,B间距离.
故选C.
点评:本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用,解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题,本题只要把实际问题抽象到相似三角形,解直角三角形即可求出.
5.(2012•威海)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为(4,0),(8,2),(6,4).已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为(1,3),(2,5),若△ABC与△A1B1C1位似,则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为                .
 
考点:位似变换;坐标与图形性质.
分析:首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点(1,3),(2,5)的直线的解析式,即可知过这两点的直线与直线AC平行,则可分别从①若A的对应点为A1(1,3),C的对应点为C1(2,5)与②若C的对应点为A1(1,3),A的对应点为C1(2,5)去分析求解,即可求得答案.
解答:解:设直线AC的解析式为:y=kx+b,
∵△ABC的顶点坐标分别为(4,0),(8,2),(6,4),
∴ ,
解得: ,
∴直线AC的解析式为:y=2x-8,
同理可得:直线AB的解析式为:y= x-2,直线BC的解析式为:y=-x+10,
∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为(1,3),(2,5),
∴过这两点的直线为:y=2x+1,
∴过这两点的直线与直线AC平行,
①若A的对应点为A1(1,3),C的对应点为C1(2,5),
则B1C1∥BC,B1A1∥BA,
设直线B1C1的解析式为y=-x+a,直线B1A1的解析式为y= x+b,
∴-2+a=5, +b=3,
解得:a=7,b= ,
∴直线B1C1的解析式为y=-x+7,直线B1A1的解析式为y= x+ ,
则直线B1C1与直线B1A1的交点为:(3,4);
②若C的对应点为A1(1,3),A的对应点为C1(2,5),
则B1A1∥BC,B1C1∥BA,
设直线B1C1的解析式为y= x+c,直线B1A1的解析式为y=-x+d,
∴ ×2+c=5,-1+d=3,
解得:c=4,d=4,
∴直线B1C1的解析式为y= x+4,直线B1A1的解析式为y=-x+4,
则直线B1C1与直线B1A1的交点为:(0,4).
∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为(3,4)或(0,4).
故答案为:(3,4)或(0,4).
 
点评:此题考查了位似图形的性质.此题难度适中,注意掌握位似图形的对应线段互相平行,注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识,注意分类讨论思想与数形结合思想的应用.
6.(2012•菏泽)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)试证明三角形△ABC为直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求:用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明).
 
考点:作图—相似变换;勾股定理的逆定理;相似三角形的判定.
分析:(1)利用网格借助勾股定理得出AB=2 ,AC= ,BC=5,再利用勾股定理逆定理得出答案即可;
(2)利用AB=2 ,AC= ,BC=5以及DE=4 ,DF=2 ,EF=2 ,利用三角形三边比值关系得出即可;
(3)根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可.
解答:解:(1)根据勾股定理,得AB=2 ,AC= ,BC=5;
显然有AB2+AC2=BC2,
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为 直角三角形;

(2)△ABC和△DEF相似.
根据勾股定理,得AB=2 ,AC= ,BC=5,
DE=4 ,DF=2 ,EF=2 .
 ,
∴△ABC∽△DEF.

(3)如图:连接P2P5,P2P4,P4P5,
∵P2P5= ,P2P4= ,P4P5=2 ,
AB=2 ,AC= ,BC=5,
∴ ,
∴,△ABC∽△P2P4 P5.
 
点评:此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理与逆定理应用,根据已知得出三角形各边长度是解题关键.

【备考真题过关】
一、选择题
1.(2012•凉山州)已知  ,则  的值是(  )
A.     B.    C.     D.

考点:比例的性质.
分析:先设出b=5k,得出a=13k,再把a,b的值代入即可求出答案.
解答:解:令a,b分别等于13和5,
∵ ,
∴a=13,
∴ = ;
故选D.
点评:此题考查了比例的性质.此题比较简单,解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形.

2.(2012•天门)如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为(  )
A.2    B.3   C.     D.
 
考点:平行线分线段成比例;等腰三角形的性质;等边三角形的性质.
分析:延长BC至F点,使得CF=BD,证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F,然后证得AC∥EF,利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长.
解答:解:延长BC至F点,使得CF=BD,
∵ED=EC
∴∠EDB=∠ECF
∴△EBD≌△EFC
∴∠B=∠F
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACB
∴∠ACB=∠F
∴AC∥EF
∴AE=CF=2
∴BD=AE=CF=2
故选A.
 
点评:本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质,解题的关键是正确的作出辅助线.

3.(2012•宁德)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,则四边形EFGH的周长是(  )
A.     B.    C.     D.

 

考点:平行线分线段成比例;勾股定理;矩形的性质.
分析:根据矩形的对角线相等,利用勾股定理求出对角线的长度,然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出EF、EH的长度之和,再根据四边形EFGH是平行四边形,即可得解.
解答:解:在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,
根据勾股定理,AC=BD= ,
∵EF∥ AC∥HG,
∴ ,
∵EH∥BD∥FG,
∴ ,
∴ =1,
∴EF+EH=AC= ,
∵EF∥HG,EH∥FG,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH的周长=2(EF+EH)=2 .
故选D.
点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,矩形的对角线相等,勾股定理,根据平行线分线段成比例定理求出 1是解题的关键,也是本题的难点
4.(2012•柳州)小张用手机拍摄得到甲图,经放大后得到乙图,甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是(  )
 
A.FG B.FH C.EH D.EF
考点:相似图形.
分析:观察图形,先找出对 应顶点,再根据对应顶点的连线即为对应线段解答.
解答:解:由图可知,点A、E是对应顶点,
点B、F是对应顶点,
点D、H是对应顶点,
所以,甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF.
故选D.
点评:本题考查了相似图形,根据对应点确定对应线段,所以确定出对应点是解题的关键.


5.(2012•铜仁地区)如图,六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2:1,则下列结论正确的是(  )
A.∠E=2∠K
B.BC=2HI
C.六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
D.S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
 
考点:相似多边形的性质.
专题:探究型.
分析:根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可.
解答:解:A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,∴∠E=∠K,故本选项错误;
B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2:1,∴BC=2HI,故本选项正确;
C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2:1,∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2,故本选项错误;
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2:1,∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL,故本选项错误.
故选B.
点评:本题考查的是相似多边形的性质,即两个相似多边形的对应角相等,周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.

6. (2012•荆州)下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(  )
 
A.  B.  C.  D.

考点:相似三角形的判定.
专题:网格型.
分析:根据勾股定理求出△ABC的三边,并求出三边之比,然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比,再根据三边对应成比例,两三角形相似选择答案.
解答:解:根据勾股定理,AB= =2 ,
BC= = ,
AC= ,
所以△ABC的三边之比为 :2 : =1:2: ,
A、三角形的三边分别为2, , =3 ,
三边之比为2: :3 = : :3,故本选项错误;
B、三角形的三边分别为2,4, =2 ,
三边之比为2:4:2 =1:2: ,故本选项正确;
C、三角形的三边分别为2,3, = ,三边之比为2:3: ,故本选项错误;
D、三角形的三边分别为 = , = ,4,
三边之比为 : :4,故本选项错误.
故选B.
点评:本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识,根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长,并求出三边之比是解题的关键.

7. (2012•海南)如图,点D在△ABC的边AC上,要判定△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的是(  )
A.∠ABD=∠C    B.∠ADB=∠ABC    C.     D.
 
考点:相似三角形的判定.
分析:由∠A是公共角,利用有两角对应相等的三角形相似,即可得A与B正确;又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,即可得D正确,继而求得答案,注意排除法在解选择题中的应用.
解答:解:∵∠A是公共角,
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时,△ADB∽△ABC(有两角对应相等的三角形相似);
故A与B正确;
当 时,△ADB∽△ABC(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似);
故D正确;
当 时,∠A不是夹角,故不能判定△ADB与△ABC相似,
故C错误.
故选C.
点评:此题考查了相似三角形的判定.此题难度不大,注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用


8.(2012•遵义)如图,在△ABC中,EF∥BC,  ,S四边形BCFE=8,则S△ABC=(  )
A.9 B.10 C.12 D.13

 
考点:相似三角形的判定与性质.
专题:计算题
分析:求出 的值,推出△AEF∽△ABC,得出  ,把S四边形BCFE=8代入求出即可.
解答:解:∵ ,
∴ = ,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴ ,
∴9S△AEF=S△ABC,
∵S四边形BCFE=8,
∴9(S△ABC-8)=S△ABC,
解得:S△ABC=9.
故选A.
点评:本题考查了相似三角形的性质和判定的应用,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方,题型较好,但是一道比较容易出错的题目.
 

9. (2012•宜宾)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=  AB,点E、F分别为AB、AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为(  )
A.     B.     C.     D. 
考点:相似三角形的判定与性质;三角形的面积;三角形中位线定理.
分析:根据三角形的中位线求出EF=  BD,EF∥BD,推出△AEF∽△ABD,得出 ,求出
 ,即可求出△AEF与多边形BCDFE的面积之比.
解答:解:连接BD,
∵F、E分别为AD、AB中点,
∴EF= BD,EF∥BD,
∴△AEF∽△ABD,
∴ ,
∴△AEF的面积:四边形EFDB的面积=1:3,
∵CD= AB,CB⊥DC,AB∥CD,
∴ ,
∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为1:(1+4)=1:5,
故选C.
点评:本题考查了三角形的面积,三角形的中位线等知识点的应用,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力,题目比较典型,难度适中.
10.(2012•钦州)图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是(  )
A.点M B.点N C.点O D.点P

 
考点:位似变换.
专题:网格型.
分析:根据位似变换的定义:对应点的连线交于一点,交点就是位似中心.即位似中心一定在对应点的连线上.
解答:解:点P在对应点M和点N所在直线上,
故选:D.
点评:此题主要考查了位似图形的概念,根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键.
11.(2012•毕节地区)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是(  )
A.(2,4) B.(-1,-2) C.(-2,-4) D.(-2,-1)
 
考点:位似变换;坐标与图形性质.
分析:根据以原点O为位中心,将△ABO扩大到原来的2倍,即可得出对应点的坐标应应乘以-2,即可得出点A′的坐标.
解答:解:根据以原点O为位中心,图形的坐标特点得出,对应点的坐标应应乘以-2,
故点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是(-2,-4),
故选:C.
点评:此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质,得出对应点的坐标乘以k或-k是解题关键.
 

二、填空
12.(2012•宿迁)如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,若S1表示PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1          S2.(填“>”“=”或“<”)
 

考点:黄金分割.
分析:根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB,再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2,S2=PB•AB,即可得到S1=S2.
解答:解:∵P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,
∴PA2=PB•AB,
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,
∴S1=PA2,S2=PB•AB,
∴S1=S2.
故答案为=.
点评:本题考查了黄金分割的定义:一个点把一条线段分成较长线段和较短线段,并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项,那么就说这个点把这条线段黄金分割,这个点叫这条线段的黄金分割点.

 

14.(2012•自贡)正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BC、CD上两个动点,且始终保持AM⊥MN,当BM=           cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为             cm2.
 
考点:相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;正方形的性质.
分析:设BM=xcm,则MC=1-xcm,当AM⊥MN时,利用互余关系可证△ABM∽△MCN,利用相似比求CN,根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积,用二次函数的性质求面积的最大值.
解答:解:设BM=xcm,则MC=1-xcm,
∵∠AMN=90°,∠AMB+∠NMC=90°,∠NMC+∠MNC=90°,
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC,
∴△ABM∽△MCN,则 ,即 ,
解得CN= ,
∴S四边形ABCN= ×1×[1+x(1-x)]=-  x2+ x+ ,
∵- <0,
∴当x=- cm时,S四边形ABCN最大,最大值是- ×( )2+ × + = cm2.
故答案是: , .
点评:本题考查了二次函数的性质的运用.关键是根据已知条件判断相似三角形,利用相似比求函数关系式.
15. (2012•资阳)如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON⊥OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为                  。
 
考点:相似三角形的判定与性质;矩形的性质.
分析:求两条线段的关系,把两条线段放到两个三角形中,利用两个三角形的关系求解.
解答:解:如图,作OF⊥BC于F,OE⊥CD于E,
∵ABCD为矩形
∴∠C=90°
∵OF⊥BC,OE⊥CD
∴∠EOF=90°
∴∠EON+∠FON=90°
∵ON⊥OM
∴∠EON=∠FOM
∴△OEN∽△OFM
 
∵O为中心
∴ ,
∴ ,
即y= x,
故答案为:y= x,
 
点评:此题主要考查的是相似三角形的判定与性质,解题的关键是合理的在图中作出辅助线,熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.


16.(2012•镇江)如图,E是▱ABCD的边CD上一点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,且AD=4,  ,则CF的长为            .
 
考点:相似三角形的判定与性质 ;平行四边形的性质.
分析:由四边形ABCD是平行四边形,即可得BC=AD=4,AB∥CD,继而可证得△FEC∽△FAB,由相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.
解答:解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=4,AB∥CD,
∴△FEC∽△FAB,
∴ ,
∴ ,
∴CF= BC= ×4=2.
故答案为:2.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
17.(2012•泰州)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan∠APD的值是             .
 
考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;锐角三角函数的定义.
分析:首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACP∽△BDP,然后由相似三角形的对应边成比例,易得DP:CP=1:3,即可得PF:CF=PF:BF=1:2,在Rt△PBF中,即可求得tan∠BPF的值,继而求得答案.
解答: 解:如图,连接BE,
∵四边形BCED是正方形,
∴DF =CF= CD,BF= BE,CD=BE,BE⊥CD,
∴BF=CF,
根据题意得:AC∥BD,
∴△ACP∽△BDP,
∴DP:CP=BD:AC=1:3,
∴DP=PF= CF= BF,
在Rt△PBF中,tan∠BPF= =2,
∵∠APD=∠BPF,
∴tan∠APD=2.
故答案为:2.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义.此题难度适中,解题的关键准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用.
18.(2012•青海)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得AB=2m,BC=14cm,则楼高CD为            m.
 
考点:相似三角形的应用.
专题:应用题
分析:先根据题意得出△ABE∽△ACD,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值.
解答:解:∵EB⊥AC,DC⊥AC,
∴EB∥DC,
∴△ABE∽△ACD,
∴ ,
∵BE=1.5,AB=2,BC=14,
∴AC=16,
∴ ,
∴CD=12.
故答案为:12.
点评:本题考查的是相似三角形的应用,熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键.

19. (2012•娄底)如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点,已知网高OA=1.52米,OB=4米,OM=5米,则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=         米.
 
考点:相似三角形的应用.
分析:首先根据题意易得△ABO∽△NAM,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.
解答:解:根据题意得:AO⊥BM,NM⊥BM,
∴AO∥NM,
∴△ABO∽△NBM,
∴ ,
∵OA=1.52米,OB=4米,OM=5米,
∴BM=OB+OM=4+5=9(米),
∴ ,
解得:NM=3.42(米),
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米.
故答案为:3.42.
点评:此题考查了相似三角形的应用.此题比较简单,注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用,注意把实际问题转化为数学问题求解.

20.(2012•北京)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=             m.
 

考点:相似三角形的应用.
分析:利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB.
解答:解:∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴ ,
∵DE=40cm=0.4m,EF=20cm=0.2m,AC=1.5m,CD=8m,
∴ ,
∴BC=4,
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米,
故答案为5.5
点评:本题考查了相似三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.

21.(2012•阜新) 如图,△ABC与△A1B1C1为位似图形,点O是它们的位似中心,位似比是1:2,已知△ABC的面积为3,那么△A1B1C1的面积是            .
 
考点:位似变换.
分析:由△ABC与△A1B1C1为位似图形,位似比是1:2,即可得△ABC与△A1B1C1为相似三角形,且相似比为1:2,又由相似三角形面积的比等于相似比的平方,即可求得答案.
解答:解:∵△ABC与△A1B1C1为位似图形,
∴△ABC∽△A1B1C1,
∵位似比是1:2,
∴相似比是1:2,
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为:1:4,
∵△ABC的面积为3,
∴△A1B1C1的面积是:3×4=12.
故答案为:12.
点评:此题考查了位似图形的性质.注意位似图形是相似图形的特殊情况,注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用.


三、解答题

22.(2012•上海)己知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD,∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G.
(1)求证:BE=DF;
(2)当  时,求证:四边形BEFG是平行四边形.
 

考点:平行线分线段成比例;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;菱形的性质.
专题:证明题.
分析:(1)证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论;
(2))利用 得到  ,从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC,进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC,最后证得BE=GF,利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形.
解答:证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠ABC=∠ADF,
∵∠BAF=∠DAE,
∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF,
即:∠BAE=∠DAF,
∴△BAE≌△DAF
∴BE=DF;

(2)∵ ,

∴FG∥BC
∴∠DGF=∠DBC=∠BDC
∴DF=GF
∴BE=GF
∴四边形BEFG是平行四边形.
点评:本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质,特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键.


23. (2012•云南)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E.
求证:△ABC∽△MED.
 
考点:相似三角形的判定.
专题:证明题.
分析:根据平行线的性质可得出∠B=∠MED,结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED,也可得出△ABC∽△MED.
解答:证明:∵MD⊥AB,
∴∠MDE=∠C=90°,
∵ME∥BC,
∴∠B=∠MED,
在△ABC与△MED中, ,
∴△ABC≌△MED(AAS).
∴△ABC∽△MED.
点评:此题考查了相似三角形的判定,注意两三角形全等一定相似,但两三角形相似不一定全等,要求掌握三角形全等及相似的判定定理,难度一般.

24.(2012•株洲)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A、C重合,直线MN交AC于O.
(1)求证:△COM∽△CBA;    
(2)求线段OM的长度.
 
考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的性质.
分析:(1)根据A与C关于直线MN对称得到AC⊥MN,进一步得到∠COM=90°,从而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B,最后证得△COM∽△CBA;
(2)利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM的长.
解答:(1)证明:∵A与C关于直线MN对称,
∴AC⊥MN,
∴∠COM=90°.
在矩形ABCD中,∠B=90°,
∴∠COM=∠B,
又∵∠ACB=∠ACB,
∴△COM∽△CBA;

(2)解:∵在Rt△CBA中,AB=6,BC=8,
∴AC=10,
∴OC=5,
∵△COM∽△CBA,
∴ ,
∴OM= .
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质,解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形.

25. (2012•株洲)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=5米,AC=12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒.运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM?
(2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值.
 
考点:相似三角形的判定与性质;二次函数的最值.
分析:(1)用t表示出AM和AN的值,根据AM=AN,得到关于t的方程求得t值即可;
(2)作NH⊥AC于H,证得△ANH∽△ABC,从而得到比例式,然后用t表示出NH,从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可.
解答:解:(1)∵从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/ 秒.运动时间为t秒.
∴AM=12-t,AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN,从而12-t=2t
解得:t=4 秒,
∴当t为4时,∠AMN=∠ANM.
             
(2)如图,作NH⊥AC于H,
∴∠NHA=∠C=90°,
∴NH∥BC
∴△NHA∽△ABC
∴ ,
即: ,
∴NH= t,
从而有S△AMN= (12-t)• t=- t2+ t,
∴当t=6时,S最大值= .
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式,从而求解.


26. (2012•江西)如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地面,经测量:
AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=32cm.
(1)求证:AC∥BD;
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°);
(3)小红的连衣裙穿 在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.
(参考数据:sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan61.9°≈0.553;可使用科学记算器)
 
考点:相似三角形的应用;解直角三角形的应用.
分析:(1)根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=  (180°-∠BOD)和∠OBD=∠ODB=  (180°-∠BOD),进而利用平行线的判定得出即可;
(2)首先作OM⊥EF于点M,则EM=16cm,利用cos∠OEF=  ≈0.471,即可得出∠OEF的度数;
(3)首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH,进而得出AH的长即可.
 
 
解答:(1)证明:证法一:∵AB、CD相交于点O,
∴∠AOC=∠BOD
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA= (180°-∠BOD),
同理可证:∠OBD=∠ODB= (180°-∠BOD),
∴∠OAC=∠OBD,
∴AC∥BD,
 证法二:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,
∴OB=OD=85cm,
∴ ,
又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD,
∴∠OAC=∠OBD;
∴AC∥BD;

(2)解:在△OEF中,OE=OF=34cm,EF=32cm;
作OM⊥EF于点M,则EM=16cm;
∴cos∠OEF= ≈0.471,
用科学记算器求得∠OEF=61.9°;

(3)解法一:小红的连衣裙会拖落到地面;
在Rt△OEM中,OM= =30cm,
过点A作AH⊥BD于点H,
同(1)可证:EF∥BD,
∴∠ABH=∠OEM,则Rt△OEM∽Rt△ABH,
∴ ,AH= =120cm
所以:小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm.
解法二:小红的连衣裙会拖落到地面;
同(1)可证:EF∥BD,∴∠ABD=∠OEF=61.9°;
过点A作AH⊥BD于点H,在Rt△ABH中
sin∠ABD= ,
AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm.
所以:小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm.
点评:此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形,根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键.

27.(2012•陕西)如图,正三角形ABC的边长为3+  .
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得 DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.
 
考点:位似变换;等边三角形的性质;勾股定理;正方形的性质.
专题:几何综合题.
分析:(1)利用位似图形的性质,作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,如答图①所示;
(2)根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系,利用等式E′F′+AE′+BF′=AB,列方程求得正方形E′F′P′N′的边长;
(3)设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n),求得面积和的表达式为:S= + (m-n)2,可见S的大小只与m、n的差有关:
①当m=n时,S取得最小值;
②当m最大而n最小时,S取得最大值.m最大n最小的情形见第(1)(2)问.
解答: 解:(1)如图①,正方形E′F′P′N′即为所求.

(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x,
∵△ABC为正三角形,
∴AE′=BF′= x.
∵E′F′+AE′+BF′=AB,
∴x+ x+ x=3+ ,
∴x= ,即x=3 -3,
(没有分母有理化也对,x≈2.20也正确)

(3)如图②,连接NE、EP、PN,则∠NEP=90°.
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n),
它们的面积和为S,则NE= m,PE= n.
∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2(m2+n2).
∴S=m2+n2= PN2,
延长PH交ND于点G,则PG⊥ND.
在Rt△PGN中,PN2=PG2+GN2=(m+n)2+(m-n)2.
∵AD+DE+EF+BF=AB,即 m+m+n+ n= +3,化简得m+n=3.
∴S=  [32+(m-n)2]=   + (m-n)2
①当(m-n)2=0时,即m=n时,S最小.
∴S最小= ;
②当(m-n)2最大时,S最大.
即当m最大且n最小时,S最大.
∵m+n=3,
由(2)知,m最大=3 -3.
∴S最大=  [9+(m最大-n最小)2]
=  [9+(3 -3-6+3 )2]
=99-54 ….
(S最大≈5.47也正确)
点评:本题以位似变换为基础,综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点,有一定的难度.本题(1)(2)(3)问之间互相关联,逐级推进,注意发现并利用好其中的联系.第(3)问的要点是求出面积和S的表达式,然后针对此表达式进行讨论,在求S最大值的过程中,利用了第(1)(2)问的结论.

28.(2012•河北)如图,点E是线段BC的中点,分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形,且在BC同侧.
(1)AE和ED的数量关系为               ;
AE和ED的位置关系为                 ;
(2)在图1中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD.分别得到图2和图3.
①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比1:2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD.
②在图3中,点F在的BE延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:1,若BC=2,请直接写CH的长为多少时,恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).
 
考点:位似变换;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
分析:(1)利用等腰直角三角形的性质得出△ABE≌△DCE,进而得出AE=ED,AE⊥ED;
(2)①根据△EGF与△EAB的相似比1:2,得出EH=HC=  EC,进而得出△HGF≌△DHC,即可求出GH=HD,GH⊥HD;
②根据恰好使GH=HD且GH⊥HD时,得出△GFH≌△HCD,进而得出CH的长.
解答:解:(1)∵点E是线段BC的中点,分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形,
∴BE=EC=DC=AB,∠B=∠C=90°,
∴△ABE≌△DCE,
∴AE=DE,
∠AEB=∠DEC=45°,
∴∠AED=90°,
∴AE⊥ED.
故答案为:AE=ED,AE⊥ED;

(2)①由题意,∠B=∠C=90°,AB=BE=EC=DC,
∵△EGF与△EAB的相似比1:2,
∴∠GFE=∠B=90°,GF= AB,EF= EB,
∴∠GFE=∠C,
∴EH=HC= EC,
∴GF=HC,FH=FE+EH= EB+ EC= BC=EC=CD,
∴△HGF≌△DHC.
∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.
∵∠HDC+∠DHC=90°.
∴∠GHF+∠DHC=90°
∴∠GHD=90°.
∴GH⊥HD.

②根据题意得出:∵当GH=HD,GH⊥HD时,
∴∠FHG+∠DHC=90°,
∵∠FHG+∠FGH=90°,
∴∠FGH=∠DHC,
∴ ,
∴△GFH≌△HCD,
∴CH=FG,
∵EF=FG,
∴EF=CH,
∵△EGF与△EAB的相似比是k:1,BC=2,
∴BE=EC=1,
∴EF=k,
∴CH的长为k.
点评:此题主要考查了位似图形的性质和全等三角形的判定与性质,根据全等三角形的性质得出对应角与对应边之间的关系是解题关键.

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