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2.5函数与方程习题课(带解析苏教版)

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2.5函数与方程习题课(带解析苏教版)

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习题课

 课时目标  1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式.

 
1.函数f(x)在区间(0,2)内有零点,则下列正确命题的个数为________.
①f(0)>0,f(2)<0;
②f(0)•f(2)<0;
③在区间(0,2)内,存在x1,x2使f(x1)•f(x2)<0.
2.函数f(x)=x2+2x+b的图象与两条坐标轴共有两个交点,那么函数y=f(x)的零点个数是________.
3.设函数f(x)=log3x+2x-a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是________.
4.方程2x-x-2=0在实数范围内的解的个数是________.
5.函数y=(12)x与函数y=lg x的图象的交点的横坐标是________.(精确到0.1)
6.方程4x2-6x-1=0位于区间(-1,2)内的解有________个.
 
一、填空
1.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,每一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.
2.函数f(x)=x5-x-1的一个零点所在的区间可能是________.(填你认为正确的一个区间即可)
3.函数f(x)=1-x21+x的零点是________.
4.已知二次函数y=f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则在(m,m+1)上函数零点的个数是______________.
5.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b),并且α,β(α<β)是函数y=f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系是________.
6.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,则f(-1)•f(1)的值________.(填“大于0”,“小于0”,“等于0”或“无法判断”)
7.已知偶函数y=f(x)有四个零点,则方程f(x)=0的所有实数根之和为________.
8.若关于x的二次方程x2-2x+p+1=0的两根α,β满足0<α<1<β<2,则实数p的取值范围为______________.
9.已知函数f(x)=ax2+2x+1(a∈R),若方程f(x)=0至少有一正根,则a的取值范围为________.
二、解答题
10.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
求方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1).

 

 

11.分别求实数m的范围,使关于x的方程x2+2x+m+1=0,
(1)有两个负根;
(2)有两个实根,且一根比2大,另一根比2小;
(3)有两个实根,且都比1大.

 

 

 能力提升
12.已知函数f(x)=x|x-4|.
(1)画出函数f(x)=x|x-4|的图象;
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值;
(3)当实数a为何值时,方程f(x)=a有三个解?

 

13.当a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上.

 


 
1.函数与方程存在着内在的联系,如函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的解;两个函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标就是方程f(x)=g(x)的解等.根据这些联系,一方面,可通过构造函数来研究方程的解的情况;另一方面,也可通过构造方程来研究函数的相关问题.利用函数与方程的相互转化去解决问题,这是一种重要的数学思想方法.
2.对于二次方程f(x)=ax2+bx+c=0根的问题,从函数角度解决有时比较简洁.一般地,这类问题可从四个方面考虑:①开口方向;②判别式;③对称轴x=-b2a与区间端点的关系;④区间端点函数值的正负.

 

 

习题课
双基演练
1.0
解析 函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,我们并不一定能找到x1,x2∈(a,b),满足f(x1)•f(x2)<0,故①、②、③都是错误的.
2.1或2
解析 当f(x)的图象和x轴相切与y轴相交时,函数f(x)的零点个数为1,当f(x)的图象与y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时,函数f(x)有2个零点.
3.(log32,1)
解析 f(x)=log3(1+2x)-a在(1,2)上是减函数,
由题设有f(1)>0,f(2)<0,解得a∈(log32,1).
4.2
解析 作出函数y=2x及y=x+2的图象,它们有两个不同的交点,因此原方程有两个不同的根.
5.1.9
解析 令f(x)=(12)x-lg x,则f(1)=12>0,f(3)=18-lg 3<0,∴f(x)=0在(1,3)内有一解,利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.
6.2
解析 设f(x)=4x2-6x-1,由f(-1)>0,f(2)>0,且f(0)<0,知方程4x2-6x-1=0在
(-1,0)和(0,2)内各有一解,因此在区间(-1,2)内有两个解.
作业设计
1.(0,0.5),f(0.25)
解析 ∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴f(0)•f(0.5)<0,
故f(x)在(0,0.5)必有零点,利用二分法,
则第二次计算应为f(0+0.52)=f(0.25).
2.[1,2](答案不唯一)
解析 因为f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,
所以存在一个零点x∈[1,2].
3.1
解析 由f(x)=0,即1-x21+x=0,得x=1,即函数f(x)的零点为1.
4.1
解析 二次函数y=f(x)=x2+x+a可化为y=f(x)=(x+12)2+a-14,则二次函数对称轴为x=-12,其图象如图.
 
∵f(m)<0,由图象知f(m+1)>0,
∴f(m)•f(m+1)<0,∴f(x)在(m,m+1)上有1个零点.
5.a<α<β<b
解析 函数g(x)=(x-a)(x-b)的两个零点是a,b.
由于y=f(x)的图象可看作是由y=g(x)的图象向上平移2个单位而得到的,所以a<α<β<b.
6.无法判断
解析 由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部.故填“无法判断”.
7.0
解析 不妨设它的两个正零点分别为x1,x2.
由f(-x)=f(x)可知它的两个负零点分别是-x1,-x2,于是x1+x2-x1-x2=0.
8.(-1,0)
解析 设f(x)=x2-2x+p+1,根据题意得f(0)=p+1>0,
且f(1)=p<0,f(2)=p+1>0,解得-1<p<0.
9.a<0
解析 对ax2+2x+1=0,当a=0时,x=-12,不符题意;
当a≠0,Δ=4-4a=0时,得x=-1(舍去).
当a≠0时,由Δ=4-4a>0,得a<1,
又当x=0时,f(0)=1,即f(x)的图象过(0,1)点,
f(x)图象的对称轴方程为x=-22a=-1a,
当-1a>0,即a<0时,
方程f(x)=0有一正根(结合f(x)的图象);
当-1a<0,即a>0时,由f(x)的图象知f(x)=0有两负根,
不符题意.故a<0.
10.解 ∵f(1.375)•f(1.437 5)<0,
且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都是1.4,
故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为1.4.
11.解 (1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1,x2,
则有两个负根的条件是Δ=4-4m+1≥0,x1+x2=-2<0,x1x2=m+1>0,
解得-1<m≤0.
 
方法二 (函数思想)
设函数f(x)=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点均在y轴左侧,结合函数的图象,有
Δ=4-4m+1≥0,-b2a=-1<0,f0=m+1>0,
解得-1<m≤0.
 
(2)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1,x2,则令y1=x1-2>0,y2=x2-2<0,问题转化为求方程(y+2)2+2(y+2)+m+1=0,即方程y2+6y+m+9=0有两个异号实根的条件,故有y1y2=m+9<0,解得m<-9.
方法二 (函数思想)
设函数f(x)=x2+2x+m+1,则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点分别在2的两侧,结合函数的图象,有f(2)=m+9<0,解得m<-9.
(3)由题意知,Δ=4-4m+1≥0,x1-1+x2-1>0,x1-1x2-1>0(方程思想),
或Δ=4-4m+1≥0,-b2a=-1>1,f1=m+4>0(函数思想),
因为两方程组无解,故解集为空集.
12.解 (1)f(x)=x|x-4|=x2-4x,  x≥4,-x2+4x,  x<4.
 
图象如图所示.
(2)当x∈[1,5]时,f(x)≥0且当x=4时f(x)=0,故f(x)min=0;
又f(2)=4,f(5)=5,故f(x)max=5.
(3)由图象可知,当0<a<4时,
方程f(x)=a有三个解.
13.解 ①当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一根,不符合题意.
②当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1,
∵方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上,
∴f0>0f1<0f2>0,即1>0a-2+1<04a-4+1>0,解得34<a<1.
③当a<0时,设方程的两根为x1,x2,
则x1x2=1a<0,x1,x2一正一负不符合题意.
综上,a的取值范围为34<a<1.

 

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