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菏泽市2016届高三数学下学期一模试题(理科附解析)

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菏泽市2016届高三数学下学期一模试题(理科附解析)

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菏泽市2016届高三下学期一模考试
数学试题(理)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.复数 ( 是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点是(      )
A.                B.            C.             D. 
【知识点】复数乘除和乘方
试题解析】 
所以z的共轭复数为1+i,即对应点为(1,1)。
故答案为:A
【答案】A
2.已知集合 ,集合 ,则 为(      )
A.     B.            C.             D. 
【知识点】集合的运算
【试题解析】因为   
所以 
故答案为:C
【答案】C
3.已知函数 的部分图像如图所示,向图中的矩形区域随机投出100粒豆子,记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验,算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39,由此可估计 的值约为(     )
A.        B.         C.        D.
【知识点】几何概型积分
【试题解析】  表示阴影部分的面积s。因为 所以s= 。
故答案为:D
【答案】D
4.圆 被直线 分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为(      )
A.         B.        C.             D.
【知识点】直线与圆的位置关系
【试题解析】 的圆心为(1,0),半径为1.
圆心到直线的距离为 所以较短弧长对的圆心角为
较长弧长对的圆心角为 故弧长之比为1:2.
故答案为:A
【答案】A
5.若 的展开式中 项系数为20,则 的最小值为(      )
A.  4     B.  3    C. 2    D. 1
【知识点】均值定理二项式定理与性质
【试题解析】 的通项公式为:
令12-3r=3,所以r=3.所以
所以 
故答案为:C
【答案】C
6.下列四个判断:
某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是 和 ,某次数学测试平均分分别是 ,则这两个班的数学平均分为 ;
从总体中抽取的样本 ,则回归直线 必过点 ;
已知 服从正态分布 ,且 ,则 其中正确的个数有(      )
A.0个     B.   1个    C.2个     D.  3个
【知识点】样本的数据特征变量相关
【试题解析】对:平均分为 故错;
对‚:样本的中心点为(3,3.475),所以回归直线必过点(3,3.475)。故‚错;
对ƒ: ,
 故ƒ正确。
故答案为:B
【答案】B
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(      )
A.                B.           
C.                D. 
【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是半个圆锥,故
故答案为:A
【答案】A
8.函数 ( 为自然对数的底数)的图像可能是(      )
 
【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】由解析式知函数为偶函数,故排除B、D。
又 故选A。
故答案为:A
【答案】A
 
9.点 是抛物线 于双曲线 的一条渐近线的一个交点,若点 到抛物线 的焦点的距离为 ,则双曲线 的离心率等于(      )A.                B.            C.             D. 
【知识点】双曲线抛物线
【试题解析】因为点 到抛物线 的焦点的距离为 ,故A到准线距离为p,所以A( )
双曲线 渐近线为 故 ,
即e= 。
故答案为:B
【答案】B
 
10.若函数 在区间 上的值域为 ,则 的值是(    )
A.0        B.  1      C.    2       D.  4
【知识点】函数综合
【试题解析】 
 
故答案为:D
【答案】D

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡上的相应位置.
11.已知命题 ,若 为假命题,则 的取值范围是
【知识点】全称量词与存在性量词
【试题解析】若 为假命题,则p为真命题。
设 若对 ,
         则
故答案为:
【答案】
12. 分别是 角A,B,C的对边, 的面积为 ,且 ,则
【知识点】解斜三角形
【试题解析】 由 得
由余弦定理得: 或
故答案为:2或
【答案】2或  (填写一个不给分)
 
13.右图表示的是求首项为-41,公差为2的等差数列前n项和的最小值得程序框图,如果中填 ,则可填写
【知识点】等差数列算法和程序框图
【试题解析】因为所有负数项的和最小,所以当a>0时,前n项和最小。
故答案为:
【答案】
 
14.若 满足不等式组 ,表示平面区域为D,已知点 ,点 是D上的动点, ,则 的最大值为
解答
【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域:
 
由题知: 所以
设M(x,y),由 得:
 
即 的最大值为
故答案为:
【答案】
15.若函数 的导数 仍是 的函数,就把 的导数 叫做函数 二阶导数,记做 。同样函数 的n-1阶导数叫做 的n阶导数,表示 .在求 的n阶导数时,已求得  根据以上推理,函数 的第 阶导数为
【知识点】函数综合
【试题解析】由题知:当n为奇数时,函数的n阶导数为正,n为偶数时,函数的n阶导数为负。
根据题中条件得到规律。
故答案为:
【答案】   [(n-1)!写成1•2•3•……n的给满分]
 

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.
16.(本小题满分12分)
已知函数
 求 的最大值;
 求 的图像在 轴右侧第二个最高点的坐标.
【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】(1)由已知,有f(x)=cos x•( sin x+ cos x)- cos2x+
= sin x•cos x- cos2x+
= sin 2x- (1+cos 2x)+    = sin 2x- cos 2x= sin(2x- ).
所以f(x)的最大值为 ; 
(2)令2x- = ,得 ,
令 ,得 .
所以f(x) 的图象在 轴右侧第二个最高点的坐标是 .
【答案】(1) ;(2)

17.(本小题满分12分)
如图,三棱锥 中, 和 所在平面互相垂直,且 , 分别为 的中点.

 求证:平面  平面 ;
 求二面角 的正弦值.


【知识点】空间的角垂直
【试题解析】(1)证明 由BC=4, ,∠ACB=45°,
则 ,
显然, ,所以 ,即 .
又平面ABC 平面BCD,平面ABC 平面BCD=BC, 平面ABC,
所以 平面BCD,
又 平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD.
(2)(方法一)由BC=BD,F分别为DC的中点,
知 ,由CD= ,知 ,知 ,
所以 ,则 ,
如图,以点B为坐标原点,以平面DBC内与BC垂直的直线为 轴,以BC为y轴,以BA为 轴建立空间坐标系;
 
则 , , , ,
所以 , .
显然平面CBF的一个法向量为n1=(0,0,1),
设平面BBF的法向量为n2=(x,y,z),
由 得其中一个n2=( ,-1,1),
设二面角E-BF-C的大小为θ,则 =|cos〈n1,n2〉|= = ,
因此sin θ= ,即二面角E-BF-C的正弦值为 .
(方法二)
连接BF,由BC=BD,F分别为DC的中点,知BF⊥DC,……5分            
如图,在平面ABC内,过E作EG⊥BC,垂足为G,则G是BC的中点,且EG 平面BCD.
 
在平面DBC内,过G作GH⊥BF,垂足为H,连接EH.
由EG 平面BCD,知EG BF,又EH⊥BF,EG EH=E,EG,EH 平面EHG,
所以BF 平面EHG,所以 是二面角E-BF-C的平面角.
由GH⊥BF,BF⊥DC,则GH//FC ,
则EG是△ABC的中位线,所以EG= ,
易知HG是△BFC的中位线,所以HG= ,
所以 , sin = ,                                
即二面角E-BF-C的正弦值为 .
【答案】详见解析
18.(本小题满分12分)
某架飞机载有5位空降兵空降到A、B、C三个地点,每位空降兵都要空降到A、B、C中任意一个地点,且空降到每一个地点的概率都是 ,用 表示地点C空降人数,求:
 地点A空降1人,地点B、C各空降2人的概率;
 随机变量 的分布列与期望.
【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列古典概型
【试题解析】(1)基本事件的总数为 个,
“地点A空降1人,地点B、C各空降2人”包含的基本事件为 ,
所以所求事件的概率为: ;
(2)由题意知随机变量  ,
∴随机变量 的所有可能取值为
 
 
  
 
  
 ,
所以随机变量 的分布列为:
 
根据二项分布得数学期望 .
【答案】(1) (2)详见解析


19.(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和
 求数列 的通项公式;
 设数列 的通项 ,求数列 的前 项和 .

【知识点】倒序相加,错位相减,裂项抵消求和数列的概念与通项公式
【试题解析】(1)当 时,
当 ,得 , ( );
(2)由题意知 =
记 的前 项和为 , 的前 项和为 ,
因为 = ,
所以
 
两式相减得 2+  =
所以 ,
又 ,所以  =
= .
【答案】(1) (2) ;
 


20.(本小题满分13分)
在平面直角坐标系 中,椭圆 的离心率为 ,直线 被椭圆 截得的线段长为 .
 求椭圆 的方程;
 过原点的直线与椭圆 交于A、B两点(A,B不是椭圆C的顶点),点 在椭圆C上,且 ,直线 与 轴 轴分别交于 两点。
 设直线 斜率分别为 ,证明存在常数 使得 ,并求出 的值;
 求 面积的最大值.
【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】(1)  ,
设直线与椭圆交于 两点.不妨设 点为直线和椭圆在第一象限的交点,
又∵弦长为 ,∴ ,∴ ,可得 ,
解得 ,∴椭圆方程为 .
(2)(i)设 ,则 ,[来源:Z_xx_k.Com]
直线AB的斜率 ,又 ,故直线AD的斜率 ,
设直线AD的方程为 ,由题意知 .
由 可得 .
所以 因 .
由题意知 所以
所以直线BD的方程为
令y=0,得 ,可得 ,
所以 .因此存在常数 使得结论成立.
 (ii)直线BD的方程为 .
令x=0得 ,即 ,    
由(i)知 ,可得 的面积 .
因为 ,当且仅当 时等号成立,
此时S取得最大值 ,所以 的面积为最大 .
【答案】(1) (2)详见解析

21.(本小题满分14分)
已知函数
 当 时,求 的单调区间;
 若 不是单调函数,求实数 的取值范围.
【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性
【试题解析】函数定义域为 ,
   ;
(1)当 时,  ,令     ,
则  ,由 ,得 ,
则 时, ; 时, ,
所以 在 上是减函数,在 上是增函数,
所以 ,
即 , 所以 在 上是增函数,
即 的增区间为 .
(2)由(1)知 , 
①当 时, ,
故 ,于是   ,
则 在 上是增函数,故 不合题意;
②当 时,令     ,
 ,由 ,得 ,
于是 时, ; 时, ,
即所以 在 上是减函数,在 上是增函数,
而 , ,
故 在 上存在唯一零点,
设其为 ,则 时, ,即 ;
 时, ,即 ,
所以 在 上是增函数,在 上是减函数,
所以 不是单调函数,故 符合题意.
所以实数 的取值范围是 .
【答案】(1) (2)

 

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