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福州一中2016年高二数学下学期期末试卷(理有答案)

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福州一中2016年高二数学下学期期末试卷(理有答案)

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福州一中2015—2016学年第二学期第二学段模块考试
高二数学(选修2-3, 选修4-5)模块试卷
(完卷100分钟  满分100分)
(注意:不得使用计算器,并把答案写在答案卷上)
 
0.10 0.05 0.025
    
2.706 3.841 5.024
附:                临界值表:
   
P(μ-σ<x≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<x≤μ+3σ)=0.9974.
一、选择题(每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.每小题4分,共40分)
(1)商场经营的某种袋装大米质量(单位:kg)服从正态分布N(10,0.12),任取一袋大米,质量不足9.8kg的概率为(      )
 (A)0.0228              (B)0.4772             (C)0.4987           (D)0.0013
(2)一部记录片在4个单位轮映,每单位放映一场,则不同的轮映次序共有(   )
(A)24                  (B)16                  (C)12                 (D) 6
(3)某架飞机载有5位空降兵空降到A、B、C三个地点,每位空降兵都要空降到A、B、C中任意一个地点,且空降到每一个地点的概率都是 ,用 表示地点C的空降人数,则随机变量 的方差是(   )
(A)                   (B)                   (C)                  (D)
(4)若 的展开式中 项系数为 ,则 的最小值为(      )
(A)2                   (B)3                    (C)4                  (D) 6
(5)设 均为正数,且 ,则  是 的(   )
(A)充分而不必要条件                   (B)必要而不充分条件
(C)充要条件                           (D)既不充分也不必要条件
(6)将4名大学生分配到A,B,C三个不同的学校实习,每个学校至少分配一人.若甲要求不到A学校,则不同的分配方案共有(  )
(A)36种        (B)30种           (C)24种     (D)20种
(7)已知  ,则 (     )
(A)9                   (B)36                   (C)-24               (D)24
(8)甲、乙、丙、丁四个人安排在周一到周四值班,每人一天,若甲不排周一,乙不排周二,丙不排周三,则不同的排法有(  )
(A)10种                (B)11种                (C)14种             (D)16种
(9)有10件产品,其中2件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽2件,若已知一件为次品,则另一件也是次品的概率(   )
(A)                 (B)                    (C)                (D) 
(10)已知函数 在R上可导,且 ,当 时,其导函数满 满 ,则下列结论错误的是(   )
(A) 在 上是增函数      (B) 是函数 的极小值点
(C)函数 至多有两个零点       (D) 时 恒成立
二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)                       
(11)在 的展开式中,各项的系数和等于_____.
(12)用数字0,1,2组成没有重复数字的三位数的个数有____________.
(13)命题 ,若 为假命题,则 的取值范围是_______________.
(14)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:
x 1 2 3
P(ξ=x) ? ! ?
请小牛同学计算ξ的数学期望,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能确定这两个“?”处的数值相同,据此,小牛给出了正确答案E =________.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.本大题共5小题,共48分)
(15)(本小题满分8分).
某产品近5年的广告费支出 (百万元)与产品销售额 (百万元)的数据如下表:
 
1 2 3 4 5
 
50 60 70 80 100
 (Ⅰ)求 关于 的回归方程 ;
(Ⅱ)用所求回归方程预测该产品广告费支出6百万元的产品销售额 .

(16)(本小题满分8分)
已知不等式 的解集与关于 的不等式 的解集相等.
(Ⅰ)求实数 、 的值;
(Ⅱ)求证: .

 

(17)(本小题满分10分).
甲、乙两台机床生产同一型号零件.记生产的零件的尺寸为 (cm),相关行业质检部门规定:若 ,则该零件为优等品;若 ,则该零件为中等品;其余零件为次品.现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件,经质量检测得到下表数据:
尺寸 
 
 
 
 
 

甲机床零件频数 2 3 20 20 4 1
乙机床零件频数 3 5 17 13 8 4

 


(Ⅰ)设生产每件产品的利润为:优等品3元,中等品1元,次品亏本1元. 若将频率视为概率,试估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望;
(Ⅱ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此数据回答:是否有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”?
 甲机床 乙机床 合计
优等品   
非优等品   
合计   

 

 

 

 

 

(18)(本小题满分10分).
 “五一”期间,甲乙两个商场分别开展促销活动.
(Ⅰ)甲商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖一次.从装有大小、形状相同的4个白球、 
4个黑球的袋中摸出4个球,中奖情况如下表:
摸出的结果 获得奖金(单位:元)
4个白球或4个黑球 200
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球 20
2个黑球2个白球 10
记X为抽奖一次获得的奖金,求X的分布列和期望.
(Ⅱ)乙商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖10次.其中,第n(n=1,2,3,…,10)  
次抽奖方法是:从编号为n的袋中(装有大小、形状相同的n个白球和n个黑球)摸出
n个球,若该次摸出的n个球颜色都相同,则可获得奖金5×2n-1元;记第n次获奖概率为 .设各次摸奖的结果互不影响,最终所获得的总奖金为10次奖金之和.
①求证: ;
②若某顾客购买120元的商品,不考虑其它因素,从获得奖金的期望分析,他应该选择哪一家商场?

 


(19)(本小题满分12分)
已知函数 .
(I)当 时,若函数 在区间 上的最小值为 ,求 的值;
(II)当 时,求证:对于一切的 , 恒成立.

 

 


福州一中2015—2016学年第二学期第二学段模块考试
高二数学(选修2-3, 选修4-5)答案卷
一、选择题
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
         
二、填空题:
(11)           ;(12)            ;(13)             ;(14)            .
三、解答题
(15)

 

 


 经济损失不超过
4000元 经济损失超过
4000元 合计
捐款超过
500元 30  
捐款不超
过500元  6 
合计 
 
 经济损失不超过
4000元 经济损失超过
4000元 合计
捐款超过
500元 30  
捐款不超
过500元  6 
合计 
 
 经济损失不超过
4000元 经济损失超过
4000元 合计
捐款超过
500元 30  
捐款不超
过500元  6 
合计 
 
(16)

 

 

 

 

 甲机床 乙机床 合计
优等品   
非优等品   
合计   

 

 

(17)

      

(18)

 

 

(19)

 


解答
1---10:   AACBC  CDBBD
11-14:    1;   4;       ;      2.
15.解:  (Ⅰ)  …………………1分

  …………………5分
 
得 关于 的回归方程为: ……………………7分
(Ⅱ) 把 代入回归方程,得 百万元.
故,预测该产品广告费支出6百万元的产品销售额为108百万元. ……………………8分
16(Ⅰ)解:
当 时,原不等式化为 ;
当 时,原不等式化为 成立, ;
当 时,原不等式化为 ;
综上原不等式的解集为 ,……………………4分
∴不等式 的解集为 .
从而为 方程 的两根, ,………5分
(Ⅱ)由柯西不等式可得:   ,……………8分

17.解:(Ⅰ)设甲机床生产一件零件获得的利润为 元,它的分布列为
 
3 1 

 
0.8 0.14 0.06
       
      
…………2分  
则有 =3×0.8+1×0.14+(-1)×0.06=2.48(元).
所以,甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元. ………5分
(Ⅱ)由表中数据可知:甲机床优等品40个,非优等品10个;乙机床优等品30个,非优等品20个.制作2×2列联表如下:
 甲机床 乙机床 合计
优等品 40 30 70
非优等品 10 20 30
合计 50 50 100

 

 

 = .…………………………8分
    
 约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”.  ………………………10分18. 
19(Ⅰ)函数 的定义域是 .
当 时, 
令 ,即 ,
所以 或 .……………………2分
①当 ,即 时, 在[1,e]上单调递增,
所以 在[1,e]上的最小值是 ,解得 ;…………4分
②当 时, , 在 上的最小值是 ,即 ,令 ,  在在 单调递增, ,故 无解;…………6分
综上可得 .…………7分
 (II)证法一:先证明: (略).
 
 .…………9分
设 , .
 在 上单调递增, .
即 >0.证毕.…………12分
证法二
 
令 ,则
令 ,则 ,故 ,
 , .

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