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宁波九校2016年高一数学下学期期末联考试题(附答案)

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宁波九校2016年高一数学下学期期末联考试题(附答案)

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一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知 ,则下列不等式成立的是(    )
A.    B.    C.   D.
2.在等差数列 中, ,则 等于(    )
A.1    B.2    C.3    D.4
3.直线 与圆 的位置关系为(    )
A. 与 相交   B. 与 相切
C. 与 相离   D.以上三个选项都有可能
4.已知 的面积 ,则 等于(    )
A.-4    B.     C.    D.
5.过平面区域 内一点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,记 ,则当 最小时 的值为(    )
A.     B.     C.     D.
6.若 , ,则 (    )
A.    B.    C.     D.
7.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
1  2  3  4  5  …  2013   2014  2015  2016
 3  5  7  9  …      4027  4029  4031
   8  12  16  …        8056  8060
     20  28  …            16116
该表由若干数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为(     )
A.    B.    C.    D.
8.已知关于 的二次方程  在区间 内有两个实根,若 ,则实数 的最小值为(    )
A.1   B.   C.   D.
二、填空题(多空题每题6分,单空题每题4分,满分36分,将答案填在答题纸上)
9.已知直线 ,则原点 关于直线 对称的点是          ;经过点 且纵横截距相等的直线方程是          .
10.对正整数 定义一种新运算“*”,它满足:① ;② ,则2*1=          ;           .
11.已知 , ,且 ,则           ;          .
12.设实数 满足 ,则 的取值范围是          ; 的取值范围是          .
13.直线 被圆 截得弦长为2,则 的最小值为          .
14.已知数列 的前 项和为 ,当数列 的通项公式为 时,我们记实数 为 的最小值,那么数列 , 取到最大值时的项数 为          .
15.已知正实数 满足 ,则 的取值范围是          .
三、解答题 (本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16. (本小题满分14分)
设函数 ,已知不等式 的解集为 .
(1)若不等式 的解集为 ,求实数 的取值范围;
(2)若 对任意的实数 都成立,求实数 的取值范围.
17. (本小题满分15分)
已知 .
(1)求 的值;
(2)若 为直线 的倾斜角,当直线 与曲线 有两个交点时,求直线 的纵截距 的取值范围.
18. (本小题满分15分)
在 中,角 所对的边 满足 .
(1)求角 的大小;
(2)若边长 ,求 的最大值.
19. (本小题满分15分)
已知圆心在 轴正半轴上的圆 与直线 相切,与 轴交于 两点,且 .
(1)求圆 的标准方程;
(2)过点 的直线 与圆 交于不同的两点 ,若设点 为 的重心,当 的面积为 时,求直线 的方程.
备注: 的重心 的坐标为 .
 
20. (本小题满分15分)
已知正项数列 的前 项和为 ,数列 满足 , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和为 ,求证:对任意正整数 ,都有 成立;
(3)数列 满足 ,它的前 项和为 ,若存在正整数 ,使得不等式 成立,求实数 的取值范围.

 

 

 

 

 


参考答案
一、选择题
BCADC  DBD
二、填空
9.   ; 或    
10.       
11.       
12.      
13.      
14. 34     
15. 
16.解:已知 ,解为1,3,则  
(1) ,所以 ,
(2) 恒成立,
 
17.(1)

(2)由题意可知直线 ,而曲线 为圆 的一部分(右半圆),当直线 与圆 有两个交点时, ,故可得 .
又曲线 如图所示,
 
当直线 过点 时, ,
所以参数 的取值范围是 .
18.(1)因为 ,故 .
也即 ,又 ,
所以 ,
又 ,故 .
(2)
 
 
 
令 , ,则
当 时, .
另解:由余弦定理可知:
即 ,

所以 ,
当 时,即 时,
19.(1)解:由题意知圆心 ,且 ,
由 知 中, , ,则 ,
于是可设圆 的方程为
又点 到直线 的距离为 ,
所以 或 (舍),
故圆 的方程为 .
(2) 的面积 ,
所以 ,
若设 ,则 ,即 ,
当直线 斜率不存在时, 不存在,
故可设直线 为 ,代入圆 的方程 中,可得 ,

所以 或
得 或 ,
故满足条件的直线 的方程为 或 .
 
20. (1) ,
当 时, ,
两式相减得: ,
所以 ,
因为数列 为正项数列,故 ,也即 ,
所以数列 为以1为首项1为公差的等差数列,
故通项公式为 .
(2)
 
 
 
所以,对任意正整数 ,都有 成立.
(3)易知 ,则
 ①
 ②
①-②可得:

所以不等式 成立,
若 为偶数,则 ,所以
设 ,则 在 单调递减,
故当 时,
所以
若 为奇数,则 ,所以
设 ,则 在 单调递增,
故当 时,
所以
综上所述, 的取值范围 或 .

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