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江西抚州市2016-2017高二数学上学期期末试题(理科含解析)

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江西抚州市2016-2017高二数学上学期期末试题(理科含解析)

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2016-2017学年江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(理科)
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.如图程序输出的结果是(  )
 
A.3,4 B.4,4 C.3,3 D.4,3
2.命题:“∃x0>0,使2 >10”,这个命题的否定是(  )
A.∀x>0,使2x>10 B.∀x>0,使2x≤10 C.∀x≤0,使2x≤10 D.∀x≤0,使2x>10
3.如图所示的流程图,最后输出n的值是(  )
 
A.3 B.4 C.5 D.6
4.表是某工厂1﹣4月份用电量(单位:万度)的一组数据
月份x 1 2 3 4
用电量y 4.5 4 3 2.5
由表可知,用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 ═﹣0.6x+a,则a等于(  )
A.5.1 B.4.8 C.5 D.5.2
5.由经验得知,在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率如下:
排队人数 0 1 2 3 4 5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至多2个人排队的概率为(  )
A.0.56 B.0.44 C.0.26 D.0.14
6.“0<m<3”是“方程 + =1表示离心率大于 的椭圆”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在一次马拉松比赛中,30名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号,再用系统抽样方法从中抽取6人,则其中成绩在区间[130,151]上的运动员人数是(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.设函数f(x)= (x>0),记f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),fn+1(x)=f[fn(x)].则f2017(x)等于(  )
A.  B.  C.  D.
9.三棱锥S﹣ABC中,∠ASB=∠ASC=90°,∠BSC=60°,SA=SB=SC=2,点G是△ABC的重心,则| |等于(  )
A.4 B.  C.  D.
10.下列命题:
①“若a2<b2,则a<b”的否命题;
②“全等三角形面积相等”的逆命题;
③“若a>1,则ax2﹣2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题;
④“若 x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题.
其中正确的命题是(  )
A.③④ B.①③ C.①② D.②④
11.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1B1BA,且AA1=AB=BC=2,则AC与平面A1BC所成角为(  )
 
A.  B.  C.  D.
12.已知F1、F2是双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦点,P是双曲线C上一点,且|PF1|+|PF2|=6a,△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率e为(  )
A.  B.2  C.  D.  
 
二、填空题(本小题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知平面β的法向量是(2,3,﹣1),直线l的方向向量是(4,λ,﹣2),若l∥β,则λ的值是  .
14.命题“∃x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为  .
15.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C:  + =1(a>b>0且a,b为常数)上关于y轴对称的两点,P是椭圆上的左顶点,且直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN),则kPM•kPN= .类比上述性质,可以得到双曲线的一个性质,并根据这个性质得:若M,N是双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0)上关于y轴对称的两点,P是双曲线C的左顶点,直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN),双曲线的离心率e= ,则kPM•kPN等于  .
16.已知△ABC是一个面积较大的三角形,点P是△ABC所在平面内一点且 + +2 = ,现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内,则落在△PBC内的黄豆数大约是  .
 
三、解答题(本题共70分)
17.设命题p:m∈{x|x2+(a﹣8)x﹣8a≤0},命题q:方程 + =1表示焦点在x轴上的双曲线.
(1)若当a=1时,命题p∧q假命题,p∨q”为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p是命题q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
18.调查某车间20名工人的年龄,第i名工人的年龄为ai,具体数据见表:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ai 29 28 30 19 31 28 30 28 32 31 30 31 29 29 31 32 40 30 32 30
(1)作出这20名工人年龄的茎叶图;
(2)求这20名工人年龄的众数和极差;
(3)执行如图所示的算法流程图(其中 是这20名工人年龄的平均数),求输出的S值.
 
19.已知数列{an}满足a1=2,an+1= (n∈N+).
(1)计算a2,a3,a4,并猜测出{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜测.
20.四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,BC⊥CD,PD=1,AB= ,BC=CD= ,AD=1.
(1)求异面直线AB、PC所成角的余弦值;
(2)点E是线段AB的中点,求二面角E﹣PC﹣D的大小.
 
21.已知椭圆C:  + =1(a>b>0)的离心率e= ,左顶点、上顶点分别为A,B,△OAB的面积为3(点O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点,且 =λ (λ<0),求实数λ的取值范围.
22.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2: ﹣ =1(a>0.b>0)有公共焦点F,且在第一象限的交点为P(3,2 ).
(1)求抛物线C1,双曲线C2的方程;
(2)过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB,CD,弦AB、CD的中点分别为G、H,探究直线GH是否过定点,若GH过定点,求出定点坐标;若直线GH不过定点,说明理由.
 
 

2016-2017学年江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.如图程序输出的结果是(  )
 
A.3,4 B.4,4 C.3,3 D.4,3
【考点】伪代码.
【分析】根据赋值语句的含义对语句从上往下进行运行,最后的a和b就是所求.得到结果.
【解答】解:从所给的赋值语句中可以看出:
a=3,
b=4,
a是b赋给的值,a=4
而b又是a赋给的值,b=4
∴输出的a,b的值分别是4,4.
故选B.
 
2.命题:“∃x0>0,使2 >10”,这个命题的否定是(  )
A.∀x>0,使2x>10 B.∀x>0,使2x≤10 C.∀x≤0,使2x≤10 D.∀x≤0,使2x>10
【考点】命题的否定.
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【解答】解:∵特称命题的否定是全称命题.
∴命题p:“∃x0>0,使2 >10”,的否定是:∀x∈R,∀x>0,使2x≤10.
故选:B
 
3.如图所示的流程图,最后输出n的值是(  )
 
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n的值,当n=5时,满足条件2n=32>n2=25,退出循环,输出n的值为5.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
n=1,n=2
不满足条件2n>n2,n=3
不满足条件2n>n2,n=4
不满足条件2n>n2,n=5
满足条件2n=32>n2=25,退出循环,输出n的值为5.
故选:C.
 
4.表是某工厂1﹣4月份用电量(单位:万度)的一组数据
月份x 1 2 3 4
用电量y 4.5 4 3 2.5
由表可知,用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 ═﹣0.6x+a,则a等于(  )
A.5.1 B.4.8 C.5 D.5.2
【考点】线性回归方程.
【分析】由题中表格数据计算 、 ,根据回归直线方程过样本中心点( , )求出a的值.
【解答】解:由题中表格数据,计算
 = ×(1+2+3+4)=2.5,
 = ×(4.5+4+3+2.5)=3.5,
且回归直线方程 ═﹣0.6x+a过样本中心点( , ),
则a=3.5﹣(﹣0.6)×2.5=5.
故选:C.
 
5.由经验得知,在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率如下:
排队人数 0 1 2 3 4 5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至多2个人排队的概率为(  )
A.0.56 B.0.44 C.0.26 D.0.14
【考点】离散型随机变量及其分布列.
【分析】至多2个人排队的概率为p=p(X=0)+P(X=1)+P(X=2),由此能求出结果.
【解答】解:由在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率表知:
至多2个人排队的概率为:
p=p(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
故选:A.
 
6.“0<m<3”是“方程 + =1表示离心率大于 的椭圆”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】求出“方程 + =1表示离心率大于 的椭圆”的充要条件,根据集合的包含关系判断即可.
【解答】解:m>4时,椭圆的焦点在y轴上,
此时a2=m,b2=4,c2=m﹣4,
故 > ,解得:m> ,
0<m<4时,椭圆的焦点在x轴上,
此时a2=4,b2=m,c2=4﹣m,
故 > ,解得:0<m<3,
故“0<m<3”是“方程 + =1表示离心率大于 的椭圆”的充分不必要条件,
故选:A.
 
7.在一次马拉松比赛中,30名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号,再用系统抽样方法从中抽取6人,则其中成绩在区间[130,151]上的运动员人数是(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】茎叶图.
【分析】根据系统抽样方法的特征,将运动员按成绩由好到差分成6组,得出成绩在区间[130,151]内的组数,即可得出对应的人数.
【解答】解:将运动员按成绩由好到差分成6组,则
第1组为,第2组为,
第3组为,第4组为,
第5组为,第6组为,
故成绩在区间[130,151]内的恰有5组,故有5人.
故选:C.
 
8.设函数f(x)= (x>0),记f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),fn+1(x)=f[fn(x)].则f2017(x)等于(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】由题意,可先求出f1(x),f2(x),f3(x)…,归纳出fn(x)的表达式,即可得出f2017(x)的表达式.
【解答】解:由题意f1(x)=f(x)= ,(x>0),
f2(x)=f(f1(x))= ,
f3(x)=f(f2(x))= = ,…,
fn(x)=f(fn﹣1(x))= ,
∴f2017(x)= ,
故选:A.
 
9.三棱锥S﹣ABC中,∠ASB=∠ASC=90°,∠BSC=60°,SA=SB=SC=2,点G是△ABC的重心,则| |等于(  )
A.4 B.  C.  D.
【考点】棱锥的结构特征.
【分析】如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD,则SD⊥BC,AD⊥BC.由题意,AS⊥平面SBC,SA=2,SD= ,AG=2GD= ,cos∠SAD= .利用余弦定理可得| |.
【解答】解:如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD,则SD⊥BC,AD⊥BC.
由题意,AS⊥平面SBC,SA=2,SD=,AG=2GD= ,cos∠SAD= .
由余弦定理可得| |= = ,
故选D.
 
 
10.下列命题:
①“若a2<b2,则a<b”的否命题;
②“全等三角形面积相等”的逆命题;
③“若a>1,则ax2﹣2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题;
④“若 x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题.
其中正确的命题是(  )
A.③④ B.①③ C.①② D.②④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】结合四种命题的定义,及互为逆否的两个命题,真假性相同,分别判断各个结论的真假,可得答案.
【解答】解:①“若a2<b2,则a<b”的否命题为“若a2≥b2,则a≥b”为假命题,故错误;
②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题,故错误;
③若a>1,则△=4a2﹣4a(a+3)=﹣12a<0,
此时ax2﹣2ax+a+3>0恒成立,
故“若a>1,则ax2﹣2ax+a+3>0的解集为R”为真命题,故其逆否命题为真命题,故正确;
④“若 x(x≠0)为有理数,则x为无理数”为真命题,故其的逆否命题,故正确.
故选:A
 
11.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1B1BA,且AA1=AB=BC=2,则AC与平面A1BC所成角为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】证明AD⊥平面A1BC,得出∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角,求出AC= ,AD= ,即可得出结论.
【解答】解:如图,AB1∩A1B=D,连结CD,
∵AA1=AB,∴AD⊥A1B,
∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,
∴AD⊥平面A1BC,
则CD是AC在平面A1BC内的射影,
∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角,
又BC⊂平面A1BC,
所以AD⊥BC,
因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,
所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB⊂侧面A1ABB1,故AB⊥BC
∵AA1=AB=BC=2,∴AC= ,AD=
∴sin∠ACD= ,∴∠ACD= ,
故选A.
 
 
12.已知F1、F2是双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦点,P是双曲线C上一点,且|PF1|+|PF2|=6a,△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率e为(  )
A.  B.2  C.  D.  
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|,|PF2|,进而确定最小内角,再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出.
【解答】解:设|PF1|>|PF2|,则|PF1|﹣|PF2|=2a,
又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°,
∴(2a)2=(4a)2+(2c)2﹣2×4a×2c× ,
∴ ,解得e= .
故选:C.
 
二、填空题(本小题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知平面β的法向量是(2,3,﹣1),直线l的方向向量是(4,λ,﹣2),若l∥β,则λ的值是 ﹣  .
【考点】平面的法向量.
【分析】由l∥β,知平面β的法向量是与直线l的方向向量垂直,由此能示出结果.
【解答】解:∵平面β的法向量是(2,3,﹣1),直线l的方向向量是(4,λ,﹣2),l∥β,
∴(2,3,﹣1)•(4,λ,﹣2)=8+3λ+2=0,
解得λ=﹣ .
故答案为:﹣ .
 
14.命题“∃x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为 a≤2 .
【考点】命题的真假判断与应用;特称命题.
【分析】若命题“∃x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9<0”为假命题,则命题“∀x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9≥0”为真命题,即命题“∀x∈(0,+∞),a≤ = ”为真命题,结合基本不等式可得答案.
【解答】解:若命题“∃x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9<0”为假命题,
则命题“∀x∈(0,+∞),x2﹣3ax+9≥0”为真命题,
即命题“∀x∈(0,+∞),a≤ = ”为真命题,
∵x∈(0,+∞)时, ≥ =2,
故a≤2,
故答案为:a≤2.
 
15.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C:  + =1(a>b>0且a,b为常数)上关于y轴对称的两点,P是椭圆上的左顶点,且直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN),则kPM•kPN= .类比上述性质,可以得到双曲线的一个性质,并根据这个性质得:若M,N是双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0)上关于y轴对称的两点,P是双曲线C的左顶点,直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN),双曲线的离心率e= ,则kPM•kPN等于 ﹣4 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(﹣m,n),且 ,又设点P的坐标为(﹣a,0),表示出直线PM和PN的斜率,求得两直线斜率乘积的表达式即可
【解答】解:M,N是双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0)上关于y轴对称的两点,
P是双曲线C的左顶点,直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN)
设设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(﹣m,n),则 ,
即n2= ,又设点P的坐标为(﹣a,0),
由kPM= ,kPN= ,
∴kPM•kPN= × =﹣(e2﹣1)(常数).
∴双曲线的离心率e= 时,则kPM•kPN等于﹣4.
故答案为:﹣4
 
16.已知△ABC是一个面积较大的三角形,点P是△ABC所在平面内一点且 + +2 = ,现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内,则落在△PBC内的黄豆数大约是 1500粒 .
【考点】模拟方法估计概率.
【分析】根据向量加法的平行四边形法则,结合共线向量充要条件,得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点.再根据几何概型公式,将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得概率,即可得到本题的答案.
【解答】解:以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC,则 + = ,
∵ + +2 = ,
∴ + =﹣2 ,
得:  =﹣2 ,
由此可得,P是△ABC边BC上的中线AO的中点,
点P到BC的距离等于A到BC的距离的 .
∴S△PBC= S△ABC.
将一粒黄豆随机撒在△ABC内,黄豆落在△PBC内的概率为P= ,
将3000粒黄豆随机抛在△ABC内,则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒.
故答案为1500粒.
 
 
三、解答题(本题共70分)
17.设命题p:m∈{x|x2+(a﹣8)x﹣8a≤0},命题q:方程 + =1表示焦点在x轴上的双曲线.
(1)若当a=1时,命题p∧q假命题,p∨q”为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p是命题q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假.
【分析】(1)分别求出p,q为真时的m的范围,根据p,q一真一假,得到关于m的不等式组,解出即可;
(2)通过讨论a的范围,得到关于m的不等式组,解出即可.
【解答】解:(1)a=1时,x2+(a﹣8)x﹣8a≤0,
即x2﹣7x﹣8≤0,解得:﹣1≤x≤8,
故p:﹣1≤m≤8,
若方程 + =1表示焦点在x轴上的双曲线,
则 ,解得:m>5
故q:m>5;
若命题p∧q假命题,p∨q”为真命题,
则p,q一真一假,
故 或 ,
解得:m∈[﹣1,5]∪(8,+∞);
(2)命题p:m∈{x|x2+(a﹣8)x﹣8a≤0}={x|(x﹣8)(x+a)≤0},
﹣a<8即a>﹣8时,p:[﹣a,8],
﹣a>8,即a<﹣8时,p:[8,﹣a],
q:m>5,
若命题p是命题q的充分不必要条件,
即[﹣a,8]⊊(5,+∞),或[8,﹣a]⊊(5,+∞),
故﹣a>5,解得:a<﹣5.
 
18.调查某车间20名工人的年龄,第i名工人的年龄为ai,具体数据见表:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ai 29 28 30 19 31 28 30 28 32 31 30 31 29 29 31 32 40 30 32 30
(1)作出这20名工人年龄的茎叶图;
(2)求这20名工人年龄的众数和极差;
(3)执行如图所示的算法流程图(其中 是这20名工人年龄的平均数),求输出的S值.
 
【考点】程序框图;茎叶图.
【分析】(1)根据画茎叶图的步骤,画图即可;
(2)根据众数和极差的定义,即可得出;
(3)利用方差的计算公式,代入数据,计算即可.
【解答】解:(1)茎叶图如下:
 
(2)这20名工人年龄的众数为30,极差为40﹣19=21;
(3)年龄的平均数为:  = =30.
模拟执行程序,可得:S=  [(19﹣30)2+3×(28﹣30)2+3×(29﹣30)2+5×(30﹣30)2+4×(31﹣30)2+3×(32﹣30)2+(40﹣30)2]=12.6.
 
19.已知数列{an}满足a1=2,an+1= (n∈N+).
(1)计算a2,a3,a4,并猜测出{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜测.
【考点】数学归纳法;数列递推式.
【分析】(1)由an+1= ,分别令n=1,2,3,能求出a2,a3,a4的值,根据前四项的值,总结规律能猜想出an的表达式.
(2)当n=1时,验证猜相成立;再假设n=k时,猜想成立,由此推导出当n=k+1时猜想成立,由此利用数学归纳法能证明猜想成立.
【解答】解:(1)a1=2,an+1= ,
当n=1时,a2= = ,
当n=2时,a3= =0,
当n=4时,a4= =﹣ ,
∴猜想an= ,(n∈N+).
(2)①当n=1时,a1= =2,等式成立,
②假设n=k时,猜想成立,即ak= ,
那么当n=k+1时,ak+1= = = ,等式成立,
由①②可知,an= ,(n∈N+).
 
20.四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,BC⊥CD,PD=1,AB= ,BC=CD= ,AD=1.
(1)求异面直线AB、PC所成角的余弦值;
(2)点E是线段AB的中点,求二面角E﹣PC﹣D的大小.
 
【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.
【分析】(1)以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,过C点作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AB、PC所成角的余弦值.
(2)求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量,利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的大小.
【解答】解:(1)以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,过C点作平面ABCD的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,
A( , ,0),B(0, ,0),C(0,0,0),
P( ),
 =(﹣ ,0,0), =(﹣ ),
设异面直线AB、PC所成角为θ,
则cosθ= = = ,
∴异面直线AB、PC所成角的余弦值为 .
(2)E( , ,0), =( , ,0), =( ), =(0, ),
设平面PCE的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x= ,得 ,
设平面PCB的法向量 =(a,b,c),
则 ,取a= ,得 =( ),
设二面角E﹣PC﹣D的大小为θ,
则cosθ= = = .
θ=arccos .
∴二面角E﹣PC﹣D的大小为arccos .
 
 
21.已知椭圆C:  + =1(a>b>0)的离心率e= ,左顶点、上顶点分别为A,B,△OAB的面积为3(点O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点,且 =λ (λ<0),求实数λ的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由e= ,s△OAB= =3,a2﹣b2=c2,求得a2,b2即可.
(2)由(1)得直线AB的方程为:2x﹣3y+6=0.
由 得P( ,y1).由 得Q( ,y2)
由 =λ (λ<0)得λ= =﹣ =﹣ 即可求解.
【解答】解:(1)∵e= ,s△OAB= =3,a2﹣b2=c2∴a2=9,b2=4.
椭圆C的方程为: .
(2)由(1)得A(﹣3,0),B(0.2),∴直线AB的方程为:2x﹣3y+6=0.
∵P、Q分别是AB、椭圆C上的动点,且 =λ (λ<0),∴P、O、Q三点共线,
设直线PQ的方程为:y=kx (k<0)
由 得P( ,y1).
由 得Q( ,y2)
由 =λ (λ<0)得
λ= =﹣
=﹣
∵k<0∴9k+ ,∴﹣1<λ<≤﹣ ,
当直线PQ的斜率为0或不存在时,λ=﹣1,
综上:实数λ的取值范围:[﹣1,﹣ ]
 
22.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2: ﹣ =1(a>0.b>0)有公共焦点F,且在第一象限的交点为P(3,2 ).
(1)求抛物线C1,双曲线C2的方程;
(2)过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB,CD,弦AB、CD的中点分别为G、H,探究直线GH是否过定点,若GH过定点,求出定点坐标;若直线GH不过定点,说明理由.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)P(3,2 )代入抛物线C1:y2=2px(p>0),可得p,求出抛物线方程.焦点F(2,0),则 ,求出a,b,可得双曲线C2的方程;
(2)欲证明直线GH过定点,只需求出含参数的直线GH的方程,观察是否过定点即可.设出A,B,G,H的坐标,用A,B坐标表示G,H坐标,求出直线GH方程,化为点斜式,可以发现直线必过点(3,0).
【解答】解:(1)P(3,2 )代入抛物线C1:y2=2px(p>0),可得p=4,∴抛物线C1:y2=8x;
焦点F(2,0),则 ,∴a=1,b= ,∴双曲线C2的方程 =1;
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4)
把直线AB:y=k(x﹣2)代入y2=8x,得:
k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,∴x3=2+ ,y3=k(x3﹣2)= ,
同理可得,x4=2+4k2,y4=﹣4k,
∴kGH= ,
∴直线GH为y﹣ = (x﹣2﹣ ),即y= (x﹣3),过定点P(3,0).
2017年2月10日

 

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来源 天添
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