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山西太原市2017届高三数学模拟试卷(一)理科含答案

作者:佚名 试题来源:网络 点击数:

山西太原市2017届高三数学模拟试卷(一)理科含答案

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山西省太原市2017届高三模拟考试(一)理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 , ,则  (   )
A.          B.        C.          D.
2. 已知 ,则复数 在复平面内对应的点的坐标是(   )
A.          B.        C.          D.
3.已知 是等差数列 的前 项和,则 ,则 (   )
A. 66        B.55       C.44         D.33
4.已知 ,且 ,若 ,则 (   )
A.          B.        C.          D.
5.函数 的图像大致为(   )
                
A.                    B.               C.              D.
6. 已知圆 ,直线 ,在 上随机选取一个数 ,则事件“直线 与圆 相离”发生的概率为(   )
A.          B.        C.          D.
7. 执行如图的程序框图,已知输出的 。若输入的 ,则实数 的最大值为(   )
 
A.1         B.2       C.3         D.4
8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(   )
 
A.          B.        C.          D.
9. 已知 ,给出下列四个命题:
 
 
 
 
其中真命题的是(   )
A.          B.        C.           D.
10. 已知抛物线 的焦点为 ,过焦点 的直线交抛物线于 两点, 为坐标原点,若 的面积为 ,则 (   )
A.6         B.8       C. 12        D.16
11. 已知函数 ,若方程 在 上有且只有四个实数根,则实数 的取值范围为(   )
A.          B.        C.           D.
12. 设函数 与 有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数 的最大值为(   )
A.          B.        C.          D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 已知 ,若 ,则实数           .
14. 已知双曲线经过点 ,其一条渐近线方程为 ,则该双曲线的标准方程为          .
15. 已知三棱锥 中, ,则该三棱锥外接球的体积为          .
16. 已知数列 中, ,则其前 项和           .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知 分别是 的内角 所对的边, .
(1)证明:  ;
(2)若 ,求 .
18. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵。某汽车经销商退出 三种分期付款方式销售该品牌汽车,并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图。已知从 三种分期付款销售中,该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元,2万元,3万元。现甲乙两人从该汽车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆。以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率。
 
(Ⅰ)求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率;
(Ⅱ)记 (单位:万元)为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润,求 的分布列和期望。
19. 如图,在几何体 中,四边形 是菱形, 平面 ,  , .
 
(1)证明:平面 平面 .
(2)若二面角 是直二面角,求 与平面 所成角的正切值。
20. 已知椭圆 的左右焦点与其短轴得一个端点是正三角形的三个顶点,点 在椭圆 上,直线 与椭圆交于 两点,与 轴, 轴分别相交于点 合点 ,且 ,点 时点 关于 轴的对称点, 的延长线交椭圆于点 ,过点 分别做 轴的垂线,垂足分别为 .
(1) 求椭圆 的方程;
(2)是否存在直线 ,使得点 平分线段 ?若存在,请求出直线 的方程;若不存在,请说明理由。
21. 已知函数 在 处的切线经过点
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ,其中 为参数,曲线 ,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 与曲线 分别交于点 (均异于原点 )
(1)求曲线 的极坐标方程;
(2)当 时,求 的取值范围.
23.已知函数
(1)若不等式 恒成立,求实数 的最大值
(2)当 时,函数 有零点,求实数 的取值范围.

 

 

试卷答案
一、选择题
1-5: CADBD      6-10: CDDCA     11、12:BA
二、填空
13. -1         14.            15.            16.
三、解答题
17.(1)∵ ,
∴由正弦定理得 .
∴ 或
当 时, ,即 与 矛盾,舍去.

(2)由 及余弦定理及诱导公式得 ,
即 ,∴
18.(Ⅰ) , ,
甲乙两人采用不同分期付款方式的概率为:
(Ⅱ)
 
19.(1)证明:∵四边形 是菱形,∴
∵ 平面 ∴
∴ 平面
∵ 平面 ∴平面 ⊥平面
(2)(向量)解:以点 为原点, 方向为 轴, 方向为 轴, 方向为 轴建立空间直角坐标系,如图。做 的中点 ,连接 ,因为 平行且等于 , .
所以四边形 为平行四边形
因为在 中, ,所以 ,所以
 
设 长为 ,则各点坐标为
 ; ; ;
所以 ; ;
设 为面 的法向量; 为面 的法向量。
所以 ;

令 得
同理得
因为二面角 是直二面角,所以

由题可得: 为 与平面 所夹角
因为
所以
(几何)
∵四边形 是菱形,∴
∴ ,∴
过 作 ,连接 ,则 为 二面角的平面角
 
设菱形的边长为
∵ , ,∴ 
在 中, ,∴
∵ 二面角为直角,∴ 为直角

在 中, ,设 ,则
 
   ∴
 与平面 所成角为

20.(1)由题意知 ,即 , ,即
∵ 在椭圆上,∴ ,
 
所以椭圆 方程为
(2)存在
设 ,∵
∴ ,
   ∴ ①
∴ ,
 
联立   ∴ ②



若 平分线段 ,则
即 , ,  ∴
∵  把①,②代入,得
所以直线 的方程为 或
21.(1)
令 ∴
∴   设切点为
 代入
   ∴

∴ 在 单调递减
(2) 恒成立
 

 
∴ 在 单调递减


∴ 在 恒大于0

22.(1) 的普通方程为 , 的极坐标方程为
 的极坐标方程为
(2)联立 与 的极坐标方程得
联立 与 的极坐标方程得

 
则 ,在 上单调递增,
∴ .
23.(1)
∵   ∴ , 的最大值为1
(2)

 在 处取到最小值,即 , ,通分后的
解集为 与题干中 取交集得


 

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