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河南省2017届高三数学下学期质量检测(理科附答案)

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河南省2017届高三数学下学期质量检测(理科附答案)

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河南省高三质量检测考试
数学试卷(理科)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.
2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ,若 ,则 的值可以是(    ) 
A.    B.    C.    D.
2.已知复数 ,在复平面对应的点在第四象限,则实数 的取值范围是 (    )
A.    B.    C.    D. 
3.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 (    )
 
4. 已知 ,且 ,则 等于(    )
A.    B.    C.    D. 
5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有器中米,不知其数,请人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升,问,米几何?”右图示解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出点 (单位:升)则输入 的值为 (    )
 
A.    B.    C.    D.
6. 已知双曲线 过点 ,过点 的直线 与双曲线 的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为 ,则双曲线 的实轴长为(    )
A.    B.    C.    D.
7. 若 为奇函数,且 是函数 的一个零点,额下列函数中, 一定是其零点的函数是(    )
A.    B.    C.    D.
8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(    )
 
A.    B.    C.    D.
9. 在 中, 是 上一点,且 ,则 等于(    )
A.    B.    C.    D.
10. 已知椭圆 的右焦点为 为坐标原点, 为 轴上一点,点 是直线 与椭圆 的一个交点,且 ,则椭圆 的离心率为(    )
A.    B.    C.    D.
11. 如图,矩形 中, 为边 的中点,将 直线 翻转成 平面 ),若 分别为线段 的中点,则在 翻转过程中,下列说法错误的是(    )
A.与平面 垂直的直线必与直线垂直  
B.异面直线 与 所成角是定值  
C.一定存在某个位置,使    
D.三棱锥 外接球半径与棱 的长之比为定值
 
12.若曲线 和 上分别存在点 ,使得 是以原点 为直角顶点的直角三角形,且斜边 的中点 轴上,则实数 的取值范围是 (    )
A.    B.    C.    D. 
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知实数 满足条件 ,则 的最小值为          .
14.把3男2女工5名新生分配到甲、乙两个班,每个班分别的新生不少于2名,且甲班至少分配1名女生,则不同的分配方案种数为          .
15.函数 的部分图象如图所示,将函数 的图象向右平移 个
单位后得到函数 的图象,若函数 在区间 上的值域为 ,
则            .
 
16.在 中, 分别是角 的对边, 的面积为 ,
且 ,则           .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)
已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,在等比数列 中, .
(1)求数列 及 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和为 ,且 ,求 .
18. (本小题满分12分)
 某地区拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标,现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知6个招标问题中,甲公司可正确回答其中的4到题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ,甲、乙两家公司对每道的回答都是相互独立、互不影响的.
(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;
(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
19. (本小题满分12分)
  如图,四棱锥 中, 底面 ,底面 是直角梯形, ,
 ,点 在 上,且 .
(1)已知点 在 ,且 ,求证:平面 平面 ;
(2)当二面角 的余弦值为多少时,直线 与平面 所成的角为 ?
 
20. (本小题满分12分)
 已知 是抛物线 上的一点,以点 和点 为直径的圆 交直线 于 两点,直线 与 平行,且直线 交抛物线于 两点.
(1)求线段 的长;
(2)若 ,且直线 与圆 相交所得弦长与 相等,求直线 的方程.
 
21. (本小题满分12分)
 设函数 .
(1)若直线 和函数 的图象相切,求 的值;
(2)当 时,若存在正实数 ,使对任意 ,都有 恒成立,
求 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号.
23. (本小题满分10分)选修4-4:极坐标与参数方程
 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数, ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 的极坐标方程为 .
 (1)设 是曲线 上的一个动点,当 时,求点 到直线 的距离的最小值;
 (2)若曲线 上的所有点均在直线 的右下方,求 的取值范围.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(1)若关于 的不等式 有解,求实数的取值范围;
(2)若关于 的不等式 的解集为 ,求 的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


试卷答案
一、选择题
1-5:DCDCB       6-10: ABACD     11、C  12:B
二、填空
13.            14.            15.             16.  
三、解答题
17. 解:(1) , ,所以 且 ,  ①
所以 ,  ②
因为数列 是等差数列,所以 ,即 ,
由①②得 ,所以 ,
所以 ,则 .
(2)因为 ,所以 ,
所以 
 
 .
18.解:(1)由题意可知,所求概率 ,
(2)设甲公司正确完成面试的题数为 ,则 的取值分别为 ,
 ,
则 的分布列为:
 
 ,
设乙公司正确完成面试的题数为 ,则 取值分别为 ,
 ,
 
则 的分布列为:
 
所以 (或因为 ,所以 )
 ,
由 可得,甲公司成功的可能性更大.
19.证明:因为 ,所以C,
因为底面 是直角梯形, ,
所以 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 .
所以四边形 是平行四边形,则 ,
所以 ,
因为 底面 ,所以 ,
因为 ,
所以 平面 ,因为 平面 ,所以平面 平面 .
(2)因为 ,所以 平面 ,则 为直线 与平面 所成的角,
若 与平面 所成角为 ,则 ,即 .
取 的中点为 ,连接 ,则 ,以 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量 ,则 ,
即 ,令 ,则 , ,
因为 是平面 的一个法向量,
所以 ,
即当二面角 的余弦值为 时,直线 与平面 所成的角为 .
 
20.解:(1)设 ,圆 的方程 ,
令 ,得 ,所以  ,
 
(2)设直线 的方程为 ,则
由  消去 ,得 .
 ,
因为 ,所以 ,则 ,
所以 ,解得 或 ,
当 或 时,点 到直线 的距离为 ,
因为圆心 到直线 的距离等于到直线 的距离,所以 ,
又 ,消去 得 ,求得 ,
此时 ,直线 的方程为 ,
综上,直线 的方程为 或 .
21.(1)设切点的坐标为 ,由 ,得 ,
所以切线方程为 ,即 ,
由已知 和 为同一条直线,所以 ,
令 ,则 ,
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
所以 ,
当且仅当 时等号成立,所以 .
(2)①当 时,有(1)结合函数的图象知:
存在 ,使得对于任意 ,都有 ,
则不等式 等价 ,即 ,
设  ,
由 得 ,由 得 ,
若 ,因为 ,所以 在 上单调递减,
因为 ,
所以任意 ,与题意不符,
若 ,所以 在 上单调递增,
因为 ,所以对任意 符合题意,
此时取 ,可得对任意 ,都有 .
②当 时,有(1)结合函数的图象知 ,
所以 对任意 都成立,
所以 等价于 ,
设 ,则 ,
由 得 得, ,
所以 在 上单调递减,注意到 ,
所以对任意 ,不符合题设,
总数所述, 的取值范围为 .
22.(1)由 ,得 ,
化成直角坐标方程,得 ,即直线 的方程为 ,
依题意,设 ,则
 到直线 的距离 ,
当 ,即 时, .
(2)因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方,
所以对 ,有 恒成立,
即  (其中 )恒成立,
所以 ,又 ,解得 ,
故的取值范围为 .
23.解:(1)当 时, 取得最大值为 ,
因为 ,当且仅当 取最小值4,
因为关于 的不等式 有解,
所以 ,即实数 的取值范围是 .
(2)当 时, ,
则 ,解得 ,
所以当 时, ,
令 ,得 ,
所以 ,则 .

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