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2016-2017高二数学下学期期末试卷(含答案江苏省宿迁市)

作者:佚名 试题来源:网络 点击数:

2016-2017高二数学下学期期末试卷(含答案江苏省宿迁市)

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宿迁市2016~2017学年度第二学期期末考试
高二数学试卷
(考试时间120分钟,试卷满分160分)
参考公式: ; ,其中 , .
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.已知复数 满足 ( 是虚数单位),则 的值为   ▲   .
2.已知点A的极坐标为 ,则点A的直角坐标为   ▲   .
3.若直线 的参数方程为 ( 为参数),则直线 在 轴上的截距是  ▲   .
4.已知向量 ,若 ,则实数 的值是   ▲   .
5.甲、乙、丙三人独立地翻译一密码,若每人译出此密码的概率均为 ,则该密码被译
出的概率为  ▲  .
6.设矩阵 的一个特征值为2,则实数 的值为  ▲   . 
7.若3名学生报名参加数学、物理、化学、计算机四科兴趣小组,每人选报一科,则
不同的报名方法有 ▲  种.
8.设 ,则 的值为   ▲   .
9.在极坐标系下,点P是曲线 : 上的动点,点Q是直线 上
的动点,则线段PQ长的最小值是   ▲   .
10.已知 展开式中的常数项为60,则正实数 的值为  ▲  .
11.在四面体 中,已知点 分别在棱 上,
且 , ,
则 的值为   ▲   .
12.两位同学参加一项比赛,通过综合分析,两人获得一等奖的概率分别为 ,
  且他们是否获得一等奖相互独立.若这两位同学中恰有一位获得一等奖的概率为 ,
  则 的值为   ▲   .
13.已知函数 ,数列 满足 ,对于任意 都满足 ,
且 .若 ,则 的值为  ▲  .
14.祖暅原理:两个等髙的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几
何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.如:设半圆方程为 ,半圆与 轴正半轴交于点 ,作直线 , 交于点 ,连接 ( 为原点),利用祖暅原理可得:半圆绕y轴旋转所得半球的体积与△ 绕 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法,可得半椭圆  绕 轴旋转一周形成的几何体的体积是 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出
       文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知复数 , ,其中 是虚数单位,且 为纯虚数.
(1)求复数 ;
(2)若复数 (b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围.

 

 

 

16.(本小题满分14分)
已知矩阵 的逆矩阵 .
(1)求矩阵 ;
(2)已知曲线 ,在矩阵 对应的变换作用下得到曲线 ,求曲线 
的方程.

 

 

 


17.(本小题满分14分)
在四棱锥 中, 平面 ,底面 为直角梯形, ,  且 ,点 为 的中点.
(1)求 与 所成角的余弦值;
(2)求二面角 的余弦值.

 

 

 

 

 

 


18.(本小题满分16分)
某商场为刺激消费,让消费达到一定数额的消费者参加抽奖活动.抽奖方案是:顾客从一个装有2个红球,3个黑球,5个白球的袋子里一次取出3只球,且规定抽到一个红球得3分,抽到一个黑球得2分,抽到一个白球得1分,按照抽奖得分总和设置不同的奖项.记某位顾客抽奖一次得分总和为X.
(1)求该顾客获得最高分的概率;
(2)求X的分布列和数学期望.

 

 

 

19.(本小题满分16分)
已知函数 ,其中 , .
(1)若 ,求 展开式中含 项的系数;
(2)若 ;求 展开式中含 项的系数;
(3)当i为奇数时, ,当i为偶数时, ,n为正偶数.
求证:当 时, 为正整数.

 

 

 

 

 


20.(本小题满分16分)
如图,由若干个数组成的n行三角形数阵,第一行有1个数,第二行有2个数,依此类推,第i行有i个数.除最后一行外,各行中每个数都等于它下方两个数之和,如: .记第i行的第j个数为aij( , ).
(1)若n=4,当最后一行从左向右组成首项为1,公差为2的等差数列时,求a11;
(2)若第n行从左向右组成首项为1,公比为2的等比数列,求a11(用含有n的式
子表示);
(3)是否存在等差数列{xn},使得 ?
若存在,则求出该等差数列的通项公式;若不存在,则说明理由.

 

 

 

 

 


数学参考答案及评分细则
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1. ;      2. ;     3.7;    4. ;    5. ;   6.2;    7.64或 ; 8.16;      9.1;       10. ;    11. ;  12.   ;13. ;  14. .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1) ,……………………3分
因为 为纯虚数,所以       
所以 .                                ……………………7分
(2)   ,          ……………………9分
由已知                          ……………………11分
解得 ,
所以b的取值范围为 .                 ……………………14分


16.(1)设矩阵 ,
则 ,  即 ,……………………2分
故 ,解得 ,     ………………………………4分
所以矩阵  .                      …………………………………6分
(2)设 是曲线C上任一点,在矩阵 对应的变换下,在曲线 上的对应的点为 ,
则 ,                          ………………10分
即 ∴ ,                             ………………12分
代入曲线C得 ,
所以曲线 的方程为  .                ………………………14分
17.解:(1)以 为原点,建立空间直角坐标系 ,如图所示,
则 ,………………2分
则 ,
设 ,则 ,
由 得 ,……4分
所以 ,则 ,
又因为 , ,………………………6分
所以 ,
故 与 所成角的余弦值为 .………………………8分
(2)  ,设平面 的一个法向量为 ,
由 得 ,
令 得 ,所以 ,      ………………………10分
由条件知 平面 ,所以平面 的一个法向量为 ,
则 ,            ………………………12分
所以 ,
所以二面角 的余弦值为 .     ………………………14分

18解:(1)该顾客抽奖一次,当抽到2个红球1个黑球时,得分总和最高为8分,…2分
得分为8分的概率为  ,     ……………4分
(2)由题意知,袋子中共有10个球,
  , 
  , 
  ,
  ,
  ,                   
                           ……………13分
(X=3,4,8时算对一种得1分,X=5,6,7时算对一种得2分)
所以X的数学期望
   .………15分
答:(1)该顾客获得高分的概率是 ;(2)X的数学期望为5.1. …16分
19解:(1) 若 , 展开式的第r+1项为 ,
∴ 系数为 ;                  ……………………4分
(2)若 ,则 ,
方法1:在8个括号中任选两个,展开式中 项的系数为所有任选的两个括号中x项的系数之积
的和,即
=1(2+3+…+8)+2(3+4+…+8)+3(4+5+…+8)+ …+7×8
 .…10分
方法2:
展开式中 项的系数为:
 .
(3)由题意   ,……12分
设 = ,即  ,
当 时, =
   ,   …………………15分
 为正整数,∴ = 为正整数,
即 为正整数.                        ………………16分

20解:(1)方法1:当n=4时, ,
则 , ,所以 ;     ……………3分
方法2:当n=4时,
= =32.
(2)
=
=…=                  ……………6分
=
=  .                             ……………9分
(3)假设存在等差数列{xn}.
令n=1,得 ;
令n=2,得 ;
猜想 .                ……………11分
证明如下:即证
(方法一):(用数学归纳法证明)
①当n=1时,左边= =1,右边= =1.左边=右边.         ……………11分
②假设当n=k时,等式成立,即 ,
那么当n=k+1时, ,
= ………13分
= ,
即当n=k+1时,等式也成立,
综合①②等式成立.
所以存在等差数列{xn},
即xn=n使得 .     ……………16分
(方法二):
左边=    
=
=
=
=
=…
=                       ……………13分
= =
= = =右边.
           所以存在等差数列{xn},
即xn=n使得 .……16分

 

 


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