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北京西城区2016-2017高二数学下学期期末试卷(理科附答案)

作者:佚名 试题来源:网络 点击数:

北京西城区2016-2017高二数学下学期期末试卷(理科附答案)

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北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷
           高二数学(理科)      2017.7
试卷满分:150分  考试时间:120分钟

题号 一 二 三 本卷总分
   15 16 17 18 19 20 
分数         

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1. 复数 (    ) 

(A)
(B)
(C)
(D)


2. 已知函数 ,则 (    )

(A)
(B)
(C)
(D)


3. 甲射击命中目标的概率为 ,乙射击命中目标的概率为 . 现在两人同时射击目标,则
目标被击中的概率是(    )
(A)
(B)
(C)
(D)


4. 已知函数 在 上可导,其部分图象如图所示,设 ,则下列不等式正确的是(  )
(A)
(B)
(C)
(D)


5.  直线 与抛物线 所围成的封闭图形的面积是(    )

(A)
(B)
(C)
(D)

 

6.  用 四个数字组成无重复数字的四位数,其中比 大的偶数共有(    )

(A) 个
(B) 个
(C) 个
(D) 个


7. 函数 在区间 上的最大、最小值分别为(    )

(A)
(B)
(C)
(D)


8.  5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是(  )
(A)总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多
(B)总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多
(C)总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个
(D)总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9.  曲线 在 处切线的斜率为______.
10.  展开式中的常数项是_______.(用数字作答)
11. 离散型随机变量 的分布列为:
 
 
 
 

 
 
 
 

且 ,则 _________;  _________.
12. 某班举行的联欢会由 个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻,则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种.

13. 若函数 在区间 上恰有一个极值点,则 的取值范围是_____.

14. 已知,对于任意 , 均成立.
①若 ,则 的最大值为__________;
②在所有符合题意的 中, 的最小值为_________.

 

 

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在数列 中, , ,其中 .
(Ⅰ) 计算 , , , 的值;
(Ⅱ) 根据计算结果,猜想 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

 

 

 

16.(本小题满分13分)
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 ,且乙投球2次均未命中的概率为 .
(Ⅰ)求甲投球 次,至少命中 次的概率;
(Ⅱ)若甲、乙两人各投球 次,求两人共命中 次的概率.

 

 


17.(本小题满分13分)
已知函数 .
(Ⅰ) 若 ,求 的极值点和极值;
(Ⅱ) 求 在 上的最大值.

 

 

 

 


18.(本小题满分13分)
一个袋中装有黑球,白球和红球共 ( )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出 个球,得到黑球的概率是 . 现从袋中任意摸出 个球.
(Ⅰ) 用含 的代数式表示摸出的 球都是黑球的概率,并写出概率最小时 的值.(直接写出 的值)
(Ⅱ) 若 ,且摸出的 个球中至少有 个白球的概率是 ,设 表示摸出的 个球中红球的个数,求随机变量 的分布列和数学期望.

 

 

 


19.(本小题满分14分)
已知函数 和 .
(Ⅰ) 若 ,求证: 的图象在 图象的上方;
(Ⅱ) 若 和 的图象有公共点 ,且在点 处的切线相同,求 的取值范围.

 

 

 

 

 

20.(本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的单调区间;
(Ⅱ)证明:当 时,方程 在区间 上只有一个解;
(Ⅲ)设 ,其中 .若 恒成立,求 的取值范围.


北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷
高二数学(理科)参考答案及评分标准2017.7

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1. A;  2.D;   3. C ;  4. B ;  5. C;  6. D;  7. C; 8. B .
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.  ;         10.  ;        11.  ;       12.  ;
13.  ;   14.  ; .
注:一题两空的题目,第一空2分,第二空3分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.
15.(本小题满分13分)
解: (Ⅰ) 根据已知, ; ; ; .           …………… 4分
 (Ⅱ)猜想 .                                               …………… 6分
证明:① 当 时,由已知 ;
由猜想, ,猜想成立.                                …………… 8分
②假设当 ( )时猜想成立,即 ,             ……………10分
则 时,  .
所以,当 时,猜想也成立.                             ……………12分
由①和②可知, 对任意的 都成立.                  ……………13分
16.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件 ,  则 .                                       …………… 2分
故甲投球 次至少命中  次的概率为 . …………5分
 (Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件 .
由题意得 ,                          ……………7分
解得 或 (舍去),                                      
所以 .                                      ……………8分

甲、乙两人各投球 次共命中 次有两种情况:甲中两次,乙中一次;甲中一次,乙中两次.                                                            ……………9分
甲中两次,乙中一次的概率为 .…11分
甲中一次,乙中两次的概率为 .…12分
事件“甲中两次,乙中一次”与“甲中一次,乙中两次”是互斥的,所以,所求事件概率为 .
所以甲、乙两人各投 次,共命中 次的概率为 .                ……………13分
17.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ) 当 时, , .           ……………2分
令 ,得 或 .
 与 在 上的情况如下:
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

……………4分
所以,函数 的极大值点为 ,极大值为 ;极小值点为 ,极小值为 .
……………6分
(Ⅱ)  .                               ……………7分
①当 时, (仅当 时, ),函数 是增函数,
 在 上的最大值为 .                   ……………8分
②当 时,在区间 上 ,函数 是增函数.
 在 上的最大值为 .                     ……………10分
③当 时, 与 在区间 上的情况如下:
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

……………11分
此时, , .
当 ,即 时, 在 上的最大值为 . 12分
当 ,即 时, 在 上的最大值为 .   ………13分
综上,当 时, 在 上的最大值为 ;当 时, 在 上的最大值为 .
18.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ) 依题意有 个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件 ,
则 .                         ……………4分
 最小时 .                                             ……………5分
(Ⅱ) 依题意有 个黑球.                                    ……………6分
设袋中白球的个数为 (个),记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件 ,
则 ,整理得 ,
解得 或 (舍).                                     ……………8分
所以袋中红球的个数为 (个).随机变量 的取值为 .         ……………9分
 ; ; .
 的分布列为:
 
 
 
 

 
 
 
 

 

…………12分

数学期望 .                    ……………13分
19.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ) 当 时, .
设 , .                                 ……………1分
则 ,              ……………2分
所以,在区间 上 , 是减函数;在区间 上 , 是增函数.                                                        ……………4分
所以, 的最小值为  ,又 ,所以 恒成立.
即 的图象在 图象的上方.                              ……………5分
 (Ⅱ) 设 ,其中 .由已知 , .
因为在点 处的切线相同,
所以 .                     ……………7分
消去 得 .
根据题意,方程 有解.                           ……………8分
设 ,则 在 上有零点.
 ,
当 时, ,函数 在 上单调递增.
    当 时, , , 有零点.
    当 时, , , 有零点.   …11分
当 时,令 ,解得 .
 与 在区间 上的情况如下:
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 
 
 

令 ,得  .
此时 .所以 有零点.                         ……………13分
综上,所求 的取值范围为 .                         ……………14分

20.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由已知 .                        ……………2分
所以,在区间 上 ,函数 在 上单调递减,
在区间 上 ,函数 在区间 上单调递增.  ……………4分
(Ⅱ)设 , .                     ……………5分
 ,由(Ⅰ)知,函数 在区间 上单调递增.
且 , .
所以, 在区间 上只有一个零点,方程 在区间 上只有一个解.                                                              ……………8分
(Ⅲ)设 , , 定义域为 ,
 ,       ……………9分
令 ,则 ,

由(Ⅱ)知, 在区间 上只有一个零点,是增函数,
不妨设 的零点为 ,则 ,                 ……………11分
所以, 与 在区间 上的情况如下:
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 
 
 

所以,函数 的最小值为 ,
 , 
由 ,得 ,
所以 .                 ……………13分
依题意 ,即 ,解得 ,
所以, 的取值范围为 .                                   ……………14分


 

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