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湖北黄冈市2018届高三数学上学期期末调研试卷(理科带答案)

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湖北黄冈市2018届高三数学上学期期末调研试卷(理科带答案)

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黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
 数 学 试 题(理科)
试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分钟.
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题包括12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.设z= i+1i-1 ,f(x)=x2-x+1,则f(z)=                        (  )
  A.i            B.-i           C.-1+i              D.-1-i
2.已知集合M={y|y=log12(x+1) ,x≥3},N={x|x2+2x-3≤0},则M∩N=  (  )
  A.[-3,1]         B.[-2,1]           C.[-3,-2]             D.[-2,3]
3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,且S13=52,则a4+a8+a9=      (  )
  A.8            B.12            C.16                D.20
4.设双曲线x2a2 - y2b2 = 1 (a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2= 3相切,则双曲线的离心率为(  )
  A.43 3          B.23 3             C.3                  D.23
5.从图中所示的矩形OABC区域内任取一点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为  (  )
  A.13             B.12            
  C.14             D.23

6.函数y= x2+xex 的大致图象是                          ()
 
7.已知函数f(x)=asin(π2 x+α)+bcos(π2 x+β),且f(8)=m,设从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为t,s,共可得到lg t-lg s的不同值的个数是m,则f(2 018)的值为( )
A.-15   B.-16   C.-17   D.-18
8.一个几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )
   A.23              B.43
C.73              D.83                     


9.若a>b>1,-1<c<0,  则(  )
  A.abc<bac         B.ac>bc       C.loga|c| <logb|c|       D.bloga|c| >alogb|c|
10.执行右面的程序框图,如果输入的x∈[-1,4],则输出的y属于 (  )
A.[-2,5]                             
B.[-2,3)
C.[-3,5)
D.[-3,5]

 

11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y23 -x2=1相交于M,N两点,若△MNF为直角三角形,其中F为直角顶点,则p=                                      (  )
  A.23          B.3            C.33              D.6
12.若函数f(x)= - 56 x- 112 cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减,则m的取值范围是(  )
A.[-12 ,12 ]      B.[- 2 3 ,2 3 ]      C.[-3 3 , 3 3 ]   D.[-2 2 ,2 2 ]

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
(本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23 题为选考题,考生根据要求作答)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题中的横线上)
13.设向量a→=(-1,2),b→=(1,m)(m>0),且(a→+b→)•(a→-b→)=|b→|2-|a→|2,则抛物线y2=-2mx的焦点坐标是_____.
14.设(1-ax)2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018,若a1+2a2+3a3+…+2018a2018=2018a(a≠0),则实数a=_________.
15.设等比数列{an}满足an>0,且a1+a3= 516 ,a2+a4= 58 ,则log2(a1a2…an) 的最小值为________.
16.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题。根据该问题我们拓展改编一题:今有边长为12 尺的正方形水池的中央生长着芦苇,长出水面的部分为2尺,将芦苇牵引向池岸,恰巧与水岸齐接。如图,记正方形水池的剖面图为矩形ABCD,芦苇根部O为池底AB的中点,顶端为P(注:芦苇与水面垂直),在牵引顶端P向水岸边点D的过程中,当芦苇经过DF的三等分点E(靠近D点)时,设芦苇的顶端为Q,则点Q在水面上的投影离水岸边点D的距离为____尺.(注: 5 ≈2.236,3  ≈1.732,精确到0.01尺)

 

 

 

 

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分) 已知集合A={ x |(13 )x2-x-6≤1},B={x|log3(x+a)≥1},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

 

 


18.(本题满分12分)如图,在锐角△ABC中,D为BC边的中点,且AC=3 ,AD=11 2 ,0为△ABC外接圆的圆心,且cos∠BOC= - 13 .
(1)求sin∠BAC的值;
  (2)求△ABC的面积.                   

 

 


19.(本题满分12分)设同时满足条件:①bn+bn+2≥2bn+1;②bn≤M(n∈N*,M是常数)的无穷数列{bn}叫“欧拉”数列.已知数列{an}的前n项和Sn满足(a-1)Sn=a (an-1)(a为常数,且a≠0,a≠1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=Snan+1,若数列{bn}为等比数列,求a的值,并证明数列1bn为“欧拉”数列.

 

 

20.(本题满分12分)2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等,该国质量检验部门为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试,结果统计如下图所示.
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是乙品牌的概率.
(3)从这两种品牌产品中,抽取寿命超过300小时的产品3个,设随机变量X表示抽取的产品是甲品牌的产品个数,求X的分布列与数学期望值.
       
21.(本题满分12分)如图,椭圆C1:x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0)的离心率为5 3 ,抛物线C2:y=-x2+2截x轴所得的线段长等于2 b.C2与y轴的交点为M,过点P(0,1)作直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于D、E.
  (1)求证:MA→•MB→为定值;
  (2)设△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若S1=λ2S2(λ>0),求λ的取值范围.

 

 

 

 

22.(本题满分12分)已知f(x)= 1+lnx2ax (a≠0,且a为常数).
  (1)求f(x)的单调区间;
  (2)若a=12 ,在区间(1,+∞)内,存在x1,x2,且x1≠x2时,使不等式|f(x1)-f(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.

 

 

 

 
黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
                      数 学 试 题(理科)参考答案
一、选择题
 ACBBB  CDBDD  AB
9.D 【解析】本题考查指数函数和对数函数的性质.由-1<c<0得0<|c|<1,又a>b>1,
   ∴logb|c| <loga|c| <0, -logb|c| >-loga|c| >0, a>b>1>0,∴-alogb|c| >-bloga|c| ,
   即bloga|c| >alogb|c| .故选D.
11.A 【解析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质.由题设知抛物线y2=2px的准线为x=- p2 ,代入双曲线方程y23 -x2=1解得 y=±3+3p24  ,由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形,∴∠FMN=π4 ,
 ∴tan∠FMN= p 3+3p24   =1,∴p2=3+3p24 ,即p=23 ,故选A.
12.B【解析】本题考查三角函数变换及导数的应用.由f(x)= - 56 x- 112 cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减知,f′(x)= - 56 + 16 sin2x+m(cosx+sinx)≤0在(-∞,+∞)上恒成立,令t=sinx+cosx,
t∈[-2 ,2 ].则sin2x=t2-1,即16 t2+mt-1≤0对t∈[-2 ,2 ]恒成立,构造函数g(t)= 16 t2+mt-1,则g(t)的图象开口向上,从而函数g(t)在区间[-2 ,2 ]上的最大值只能为端点值,故只需g(-2 )= 13 -2 m-1≤0g(2 )= 13 +2 m-1≤0.
∴-2 3 ≤m≤2 3 ,故选B.
二、填空
13.32  14.2   15.-10  16. 1.53
14.2 【解析】本题考查二项式定理的应用及导数的计算.将(1-ax)2018=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018两边同时对x求导得2018(1-ax)2017(-a)=a1+2a2x+3a3x2+…+2018a2018x2017,令x=1得-2018a(1-a)2017=a1+2a2+3a3+…+2018a2018=2018a,又a≠0,所以(1-a)2017=-1,1-a=-1,故a=2.答案:2.
15.-10【解析】本题考查等比数列的性质及等差数列求和公式.由于{an}是正项等比数列,设an=a1qn-1,其中a1是首项,q是公比.
   则a1+a3= 516 a2+a4= 58   a1+a1q2= 516 a1q+a1q3= 58  ,解得 a1=116 q=2 .故an=2n-5,∴log2(a1a2…an) =log2(2(-4)+(-3)+…+(n-5))
    =(-4)+(-3)+…+(n-5)= 12 n(n-9)= 12 [(n-92 )2- 814 ],∴当n=4或5时, log2(a1a2…an) 取最小值-10.
16.1.53  解析:设水深为x尺,则x2+62 =(x+2)2,解得,x=8 .
∴水深为8 尺,芦苇长为10 尺,
以AB 所在的直线为x 轴,芦苇所在的直线为y 轴,
建立如图所示的平面直角坐标系,在牵引过程中,
 P的轨迹是以O为圆心,半径为10 的圆弧,其方程为
x2 +y2=100(-6≤x≤6,8≤y≤10),①
E点的坐标为(- 4,8),∴OE所在的直线方程为 y=- 2x,②
设Q点坐标为(x,y),由①②联立解得 x=-25 ,DG=6-25 ≈1.53
 故点Q在水面上的投影离水岸边点D的的距离为1.53.
三、解答题
17. 解析:由(13 )x2-x-6≤1,得x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,故A={x| x≤-2或x≥3} .………3分
由log3(x+a)≥1,得x+a≥3故B={x|x≥3-a}.………………5分
由题意,可知B ≠ A,所以3-a≤-2或3-a≥3,…………………8分
解得a≥5或a≤0.………………………………………………………10分
18.解:(1)由题设知∠BOC=2∠BAC,…………………………………1分
∴cos∠BOC=cos2∠BAC=1-2sin2∠BAC= - 13 …………………3分
∴sin2∠BAC= 23 ,sin∠BAC= 6 3 .………………5分
(2)延长AD至E,使AE=2AD,连接BE,CE,则四边形ABEC为平行四边形,∴CE=AB.…………6分
  在△ACE中,AE=2AD=11 ,AC=3 ,∠ACE=π-∠BAC,cos∠ACE=-cos∠BAC=- 3 3 .……7分
  ∴由余弦定理得,AE2=AC2+CE2-2AC•CE•cos∠ACE,
   即(11 )2=(3 )2+CE2-2×3 •CE×(-3 3 ),
解得CE=2,∴AB=CE=2, ………………………………………………9分
∴S△ABC=12 AB•AC•sin∠BAC=12 ×2×3 ×6 3 =2 .…………12分
19.解:(1)由(a-1)Sn=a (an-1)得,S1=aa-1(a1-1)=a1,
所以a1=a.………………………………………2分
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=aa-1(an-an-1),整理得anan-1=a,………………4分
即数列{an}是以a为首项,a为公比的等比数列.
所以an=a• an-1=an.…………………………………………………………6分
(2)由(1)知,bn=aa-1an-1an+1=2a-1an-aa-1an,①
由数列{bn}是等比数列,则b22=b1•b3,故2a+1a2=2•2a2+a+1a2,解得a=12 ,………9分
再将a=12 代入①式得bn=2n,故数列{bn}为等比数列,且a=12 .
由于1 bn +1 bn+2 =12n +12n+2 >212n •12n+2  =2×12n+1 = 2•1bn+1,满足条件①;由于1bn=12n≤12 ,故存在M≥12 满足条件②.故数列1bn为“欧拉”数列.…………………………………12分
20. 解: (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为20+60300=415,用频率估计概率,所以,甲品牌产品寿命小于200小时的概率为415.………………………………………(3分)
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有220+210=430个,其中乙品牌产品是210个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为210430=2143,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为2143.………………………………(7分)
 (3)由题意知X可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=C040 •C340 C380  = 19158 ,P(X=1)= C140 •C240 C380  = 60158 ,
  P(X=2)= C240 •C140 C380  = 60158 , P(X=3)= C340 •C040 C380  = 19158 .…………………(9分)
X 0 1 2 3
P 19158
60158
60158
19158

  ∴X的分布列为
 


  故E(X)= 0×19158 +1×60158 +2×60158 +3×19158 = 237158 .……………………………(12分)
21. 解:(1)由题设得2 b=22 ,(b>0),∴b=2,又e= ca =5 3 ,∴c2=59 a2=a2-4,解得a2=9.
   因此椭圆C1和方程为x29 + y24 =1.由抛物线C2的方程为y=-x2+2,得M(0,2).………(2分)
   设直线l的方程为 y=kx+1(k存在),A(x1,y1),B(x2,y2).于是.
由y=-x2+2y=kx+1 消去y得x2+kx-1=0,∴x1+x2=-kx1x2=-1 ,①………………………(3分)
∴ MA→•MB→=(x1,y1-2)•(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1,
∴将①代入上式得MA→•MB→=-1-k2+k2+1=0(定值).……………………(5分)
(2)由(1)知,MA⊥MB,∴△MAB和△MDE均为直角三角形,设直线MA方程为y=k1x+2,直线MB方程为y=k2x+2,且k1k2=-1,由y=k1x+2y=-x2+2 解得x=0y=2 或x=-k1y=-k12+2 ,∴A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2),………(7分)
  ∴S1=12 |MA|•|MB|= 12 1+k12 •1+k22 |k1||k2|.………………………………(8分)
  由y=k1x+2x29 + y24 =1 解得x=0y=2 或x= -36k14+9k12 y= 8-18k124+9k12  ,∴D(-36k14+9k12 ,8-18k124+9k12 ),
同理可得E(-36k24+9k22 ,8-18k224+9k22 ),………………………………………………………(9分)
  ∴S2=12 |MD|•|ME|= 12 •361+k12 |k1|4+9k12 •361+k22 |k2|4+9k22 ,………………………(10分)
   ∴λ2= S1S2 = 1362 (4+9k12)(4+9k22)= 1362 (16+81k12k22+36k12+36k22)
= 1362  (97+ 36k12+ 36k12 )≥132362 ,又λ>0,∴λ≥1336
      故λ的取值范围是[1336 ,+∞)………………………………………………………(12分)
22.解:(1)∵f(x)= 1+lnx2ax  (a≠0,且a为常数),∴f′(x)= -2alnx(2ax)2 = - lnx2ax2 .………………(1分)
∴①若a>0时,当 0<x<1, f′(x)>0;当x>1时, f′(x)<0.
  即a>0时,函数f(x)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).………………(3分)
  ②若a<0时,当 0<x<1, f′(x)<0;当x>1时, f′(x)>0.
  即a<0时,函数f(x)单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).………………(5分)
  (2)由(1)知, f(x)= 1+lnxx 在区间(1,+∞)上单调递减,不妨设x2>x1>1,则f(x1)>f(x2),
   ∴不等式|f(x1)-f(x2)|≥k|lnx1-lnx2|可化为f(x1)-f(x2)≥k(lnx2-lnx1).………………………(8分)
   即f(x1)+kx1≥f(x2)+kx2,令F(x)=f(x)+klnx,则F(x)在区间(1,+∞)上存在单调递减区间,
   ∴F′(x)= f′(x)+ kx =-lnxx2 +kx = -lnx+kxx2 <0有解,即kx<lnx(x>1),
   ∴k<lnxx 有解,令G(x)= lnxx ,则G′(x)= 1-lnxx2 ,由G′(x)=0得x=e,………………………(10分)
当x∈(1,e)时,G′(x)>0,G(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时, G′(x)<0,G(x)单调递减.
∴G(x)max=G(e)= 1e ,故k<1e .……………………………………………………………………(12分)

 

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