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江苏海安高中2018届高三数学1月月考试卷(带答案)

作者:佚名 试题来源:网络 点击数:

江苏海安高中2018届高三数学1月月考试卷(带答案)

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江苏省海安高级中学2018届阶段检测(三)
数  学
Ⅰ卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答卷规定的横线上)
1.已知集合 , ,若 ,则实数 的值为      ▲      .
2.复数 在复平面内对应的点位于第      ▲      象限. 
3.根据如图所示的伪代码,当输入 的值为 时,输出的 值为      ▲      .

 

 

 

                                 
4.从某小学随机抽取 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在 , , 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 人参加一项活动,则从身高在 内的学生中选取的人数应为       ▲    . 
5.如图,正方形 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的
黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一
点,则此点取自黑色部分的概率是      ▲    .  


6.若命题“存在 , ”为假命题,则实数 的取值范围是      ▲     .
7.已知函数 与  ( ),它们的图象有一个横坐标为 的交点,则 的值是     ▲     .
8.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率为      ▲       .
9.已知向量 , ,则 与 的夹角的大小为      ▲       .
10.已知一个圆锥母线长为2,其侧面展 开图是半圆,则该圆锥的体积为      ▲       .
11.已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则       ▲       . 
12.已知  上的动点,则 的最小值为      ▲       .
13.若 是 与 的等比中项,则 的最大值为      ▲       .
14. 在 中,角 的对边依次为 ,若 为锐角三角形,且满足 则 的取值范围是     ▲      .
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
如图,在几何体中,四边形 为菱形,对角线 与 的交点为 ,四边形 为梯形, ∥ , .
(1)若 ,求证: ∥平面 ;
(2)求证:平面 平面 .
 

 

 

 

16.(本小题满分14分)
已知函数 .
(1)求函数 的最大值和最小正周期;
(2)设 的角 的对边分别为 ,且 , ,若 ,求边 , 的值.

 

 

17.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: 的离心率为 ,且点 在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设 ,直线AD与椭圆C的另一个交点为B,若PA⊥PB,求实数λ的值.

 

 

 


18.(本小题满分16分)
一块圆柱形木料的底面半径为12cm,高为32cm,要将这块木料加工成一只毛笔筒,在木料一端正中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一,设小圆柱底面半径为r cm,高为h cm,要求笔筒底面的厚度超过2cm.
(1)求 与 的关系,并指出 的取值范围;
(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/ cm2),桶内侧面喷漆费用为2a
(元/cm2),而桶内底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/ cm2)(其中a为正常数).
①将笔筒的后续加工费用 (元)表示为 的函数;
②求出当 取何值时,能使笔筒的后续加工费用 最小,并求出 的最小值.

19.(本小题满分16分)
已知数列 中,首项 , , 对任意正整数 都成立,数列  的前 项和为 .
(1)若 ,且 ,求实数 的值;
(2)是否存在实数 ,使数列 是公比不为 的等比数列,且任意相邻三项 , , 按某顺序排列后成等差数列.若存在,求出所有的 的值;若不存在,请说明理由;
(3)若 ,求 (用 , 表示).

20.(本小题满分16分)
已知函数 ( ).
(1)求函数 的单调区间 ;
 (2)若存在两条直线 , ( )都是曲线 的切线,求实数 的取值范围;
(3)若 ,求实数 的取值范围.

Ⅱ卷(附加题)
21.B【矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵 ,若 ,求矩阵 的特征值.
C【坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系 中,直线l的参数方程为 ( 为参数).在以原点 为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 的方程为 .
①写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程;
②若点 坐标为(1,1),圆 与直线 交于 , 两点,求 的值.

 

22.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系 中,已知直线 : ,抛物线 :  ( ).
(1)若直线 过抛物线 的焦点,求抛物线 的方程;
(2)已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 .
①求证:线段PQ的中点坐标为 ;
②求 的取值范围.

 

 

23.(本小题满分10分)已知 ( , 为常数).
(1)求 ;
(2)我们知道二项式 的展开式 ,若等式两边对 求导得 ,令 得 .利用此方法解答下列问题:
①求 ;
②求 .

 
答案:
1.2  
2.四 
3.28 
4.3 
5.  
6.a>2  
7.  
 8.  
9.  
10.  
 11.448 
12.  
13.  
14.
15.【解析】
(Ⅰ)证明:取 的中点 ,连接 、 ,
因为 为对角线 与 的交点,则 为  中点,
所以 ∥ ,且 .
又因为 ∥ ,且 ,
所以 ∥ , ,则四边形 为平行四 边形,----------3分
所以 ∥ . 
又因为 平面 , 平面 , ∥ ,
所以 ∥平面 ;-------------------------------------------------------------------6分
(Ⅱ)证明:因为四边形 为菱形,所以 ,--------------------------7分
又因为 , 是 的中点,所以 ,------------------8分
又有 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,----------------------------------------------12分
又因为 平面 ,
所以平面 平面 .----------------------------------------14分
16.【解析】(Ⅰ)因为
 -------------------------------------------------------------------4分
当且仅当 时, --------------------------------------6分
最小正周期分别为和 .------------------------------------------------7分
(Ⅱ)因为 ,即 ,因为 ,所以
 , 于是 ,即 .------------------------------10分
因为 ,由正弦定理得 ,-------------------------------------12分
由余弦定理得 ,即 ,
联立 ,解得 .-------------------------------------------14分
17.解:(1)因为点 在椭圆C上,则 ,------------------------------1分
又椭圆C的离心率为 ,可得 ,即 ,
所以  ,代入上式,可得 ,
解得 ,故 .
所以椭圆C的方程为  5分
(2)设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),Q(x0,-y0).
因为 =λ ,则(0,yD-y0)=λ(0,-2y0),故yD=(1-2λ)y0.
所以点D的坐标为(x0,(1-2λ)y0). 7分
设B(x1,y1),
    9分

故 .----------------------------------------------------------------------11分
又PA⊥PB,且 ,
所以 ,即 ,解得 .
所以  14分
18.【解析】(Ⅰ)据题意, ,所以 ,----------------------3分
因为 ,所以
即 ,解得 ,----------------------------------------------------------5分
又 ,所以 ;----------------------------------------------------------6分
(Ⅱ)①据题意,笔筒的后续加工费用 ,
整理得
 
 ,定义域为 ;----------------------11分
                ②由①知, ,令 得 ,
     
 
     递减     极小值      递增
                 由表知,当 时, 取极小值即最小值 .------------------------15分
答:当 时,能使笔筒的后续加工费用 最小,最小值为 元.----16分
19.【解析】(Ⅰ)当 时,由 得 ,    
即 ,所以数列  为等差数列,--------------------1分
公差为 ,数列 的前 项和为
 ,由 得 ,
解得 ;---------------------------------------------------------3分
(Ⅱ)设数列 为等比数列,则其公比为 , , , .
        若 为等差中项,则 即 ,解得 ,与已知不符,舍去;
        若 为等差中项,则 即 ,即 ,解得
或 (舍),此时由 得 即 ,故 ;
        若 为等差中项,则 即 ,即 ,解得 或 (舍),仿 得 .-------------- -------------------------------------8分
综上,满足要求的实数 有且仅有一个, ;---------------------------------9分
      (Ⅲ )当 时, ,所以 ,
于是  .----------------------------------------11分
  当 为偶数时, ;
---------------------------------------------------------------------------------13分
  当 为奇数时,
 ( ),当 时,也适合该式,
所以 .-----------------------------------------------16分
20.【解析】(Ⅰ) ( ).
当 时, , 的递减区间为 ;----------------------------1分
当 时,由 得 ,列表得:
  
   
     
  

    
 
   
  

    
  递减   极小值    递增
所以,函数 的递减区间为 ,递增区间为 ;-----------------------4分
(Ⅱ)因为存在两条直线 、 ( )都是曲 线 的切线,
所以 至少有两个不等的正根,-----------------------------------------------5分
令 ,得 ,记其两个根为 、 ( ),
则 ,解得 ,------------------------------------------------------------------------------------7分
而当 时,曲线 在点 、 处的切线分别为 、 ,设 ( ),由
 知,当 时, 即 在区间 上是单调函数,因此 ,所以 、 不重合,即 、 ( )是曲线 的两条不同的切线,故 ;----------------10分
(Ⅲ)当 时,函数 是 内的减函数,因为 ,而
 ,不符合题意;----------------------------------------------------------12分
当 时,由(Ⅰ)知 的最小值为 .
   若 即 时, ,所以 符合题意;
 若 即 时, ,所以 符合题意;
 若 即 时, ,而 ,函数 在 内 递增,所以当
 时, ,又因为 的定义域为 ,所以 ,符合题意.
综上,实数 的取值范围为 .----------------------------------------------16分
 
【解析】因为 ,所以 ,解得 ,
所以 ,--------------------------------------------------------------------------------5分
其特征多项式为 ,
令 ,解得特征值为 , .----------------------------10分
【解析】(Ⅰ)直线 的参数方程为 ( 为参数).
消去参数 可得直线 的普通方程为 ;------------------------- --------------2分
圆 的方程为  ,即 ,
可得圆 的直角坐标方程为 .------------------------------------------4分
(Ⅱ)将 代入 得 ,
设 、 两点对应的参数分别为 、 ,
则 , ,所以 .------10分
另解:由 得 ,则 ,---------------------------------------6分
不妨取 ,则 ,---------------------------------------------------------------8分
 ,
 ,
所以
 --------------------------------------------------10分
【解析】(Ⅰ)抛物线 :  ( )的焦点为 ,
由点 在直线 : 上得 ,即 ,
所以抛物线 的方程为 ;-------------------------------------------------2分
(Ⅱ)设 、 ,线段 的中点 .
因为点 和 关于直线 对称,所以直线 垂直平分线段 ,
于是 的方程可设为 .
①证明:由 得 ……(﹡),
因为 和 是抛物线 上相异两点,所以 ,
从而 ,化简得 ,方程(﹡)的两根为
 ,从而 .
因为 在直线 上,所以 ,
因此,线段 的中点坐标为 ;--------------------------6分
②因为 在直线 上,
所以 ,即 .
由①知 ,于是 ,所以 ,
即 的取值范围为 .-------------------------------------------10分
【解析】(Ⅰ)对于 ,
取 得 ;-------------------------------------------------------------2分
(Ⅱ)①对 两边求导得
      ,
取 得 ;--------------------------------6分
②将 两边乘以 得
 ,两边求导得
 ,
取 得 .-----------------------10分

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