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湖北孝感八校2018届高三数学上学期期末试卷(理科附答案)

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湖北孝感八校2018届高三数学上学期期末试卷(理科附答案)

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2017-2018学年度上学期孝感市八校教学联盟
期末联合考试
高三理科数学试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,集合 ,下列集合中,不可能满足条件的集合 是(     )
A.          B.        C.        D.
2.若复数 为纯虚数,其中 为实数,则 (     )
A. 1        B. 2      C. 3      D.4
3.记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 (     )
A.30         B.40       C. 50       D. 60
4.已知函数 ,其中 为自然对数的底数,则 (     )
A.2         B.3       C.          D.
5.已知函数 ,下列函数中,最小正周期为 的偶函数为(    )
A.          B.        C.          D.
6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图,若输入的 , ,依次输入的 的值分别为-1,-4,2,4,则输出的 的值为(    )
 
A. -2        B. 5      C.  6       D.-8
7.一个用铁皮做的烟囱帽的三视图如图所示(单位: ),则制作该烟囱帽至少要用铁皮(     )
 
A.          B.        C.          D.
8.已知直线 ,直线 经过点 且不经过第一象限,若直线 截圆 所得的弦长为4,则 与 的位置关系为(     )
A.          B.        C.  与 相交但不垂直        D. 与 重合
9.已知 ,则 的值为(     )
A.          B.        C.          D.2
10.当实数 满足约束条件 表示的平面区域为 ,目标函数 的最小值为 ,而由曲线 ,直线 及 轴围成的平面区域为 ,向区域 内任投入一个质点,该质点落入 的概率为 ,则 的值为(      )
A.          B.        C.         D.
11.已知双曲线 :  的右顶点为 ,右焦点为 , 为双曲线在第二象限上的一点, 关于坐标原点 的对称点为 ,直线 与直线 的交点 恰好为线段 的中点,则双曲线的离心率为(     )
A.          B.        C.  2       D.3
12.已知函数 有唯一零点,则负实数 (    )
A.          B.        C. -3        D.-2
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.  的展开式中, 的系数为          .
14.非零向量 满足 , ,则           .
15.已知命题 ,命题 ,且 为假命题,则实数 的取值范围为          .
16.已知函数 ,其中 为自然对数的底数,若 ,则实数 的取值范围为          .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.  的内角 的对边分别为 ,已知 , , .
(1)求角 的大小;
(2)函数 ,求 的单调递增区间.
18. 中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族,各民族有许多优良的传统习俗,如过大年吃饺子,元宵节吃汤圆,端午节吃粽子,中秋节吃月饼等等,让人们感受到浓浓的节目味道,某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子,一家4口人围坐在桌旁吃年夜饭,当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子,其中肉馅饺子4个,蛋馅饺子和素馅饺子各2个,若在桌上上一盘饺子大家共同吃,记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为 ,若每个人各上一盘饺子,记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为 ,假设每个人都吃饺子,且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子.
(1)求随机变量 的分布列;
(2)若 的数学期望分别记为 、 ,求 .
19. 已知抛物线 的焦点也是椭圆 : 的右焦点,而 的离心率恰好为双曲线 的离心率的倒数.
(1)求椭圆 的方程;
(2)各项均为正数的等差数列 中, ,点 在椭圆 上,设 ,求数列 的前 项和 .
20. 如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由矩形 (及其内部)以 边所在直线为旋转轴旋转 得到的,点 是弧 上的一点,点 是弧 的中点.
 
(1)求证:平面 平面 ;
(2)当 且 时,求二面角 的正弦值.
21. 已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)讨论函数 的单调性;
(3)当 时,曲线 与 轴交于点 ,证明: .
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点,以 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,直线 与曲线 交于 两点.
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(2)若点 的极坐标为 ,求 的面积.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数 , .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若不等式 的解集包含 ,求实数 的最小值.

 

 

 

2017-2018学年度上学期孝感市八校教学联盟期末联合考试
高三理科数学参考答案及评分细则
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D C A D B A A B D C

二、13、           14、4          15、        16、
三、17. 解:(1)   .
 ,
 .
 .
 . ,
   .
 ,     .(6分).
(2)由(1)知 又 .
由正弦定理 得
又 ,       .(8分)
 
 
 
 .   (10分)
由 解得 , .
故 的递增区间为   (12分)
18. 解(1)随机变量 的可取值为0,1,2,3,4
     
    
 
故随机变量X的分布列为:
X 0 1 2 3 4

 
 
 
 

(2)随机变量X服从超几何分布: ;
随机变量 .
     (12分)
19.解(1)依题意可得: ,
 , .故椭圆E的方程为 .(5分)
(2) 点 在椭圆E上, ,又 ,
    ,又 是等差数列, .
 或 ,当 时, ,与 矛盾.
 . (9分). .
 .(12分)
20.(1)证明: 在圆B中,点P为 的中点, .
又  平面 , ,而 ,
 平面 ,又
 平面 平面 (6分).
(2)解:以点B为坐标原点,分别以BC,BA为 轴, 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则 .设平面 的法向量

   (8分)
设平面 的法向量 ,

 .(10分)设二面角 的平面角大小为 ,
则 , .
21.解:(1)当 时, ,
 
=
 切线的斜率 ,又 ,
故切线的方程为 ,即 (3分).
(2) 且 ,
( )当 时, , .
 当 时, ;当 时, .
故 在 上单调递减,在 上单调递增.
( )当 , 有两个实数根 .
①当 时, ,故 时, 时
  时, .
故 在 上均为单调增函数,在 上为减函数.
②当 时, ,  ,
当且仅当 时, ,故 在 上为增函数.
③当 时, .当 时, 当 时, 故 在 上为增函数,在(1, )上为减函数,综上所述,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增;当 时, 在
 、 上单调递增,在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增;当 时, 在 、 上为单调递增;在 上单调递减(8分).
(3)当 ,由(2)知, , .
又 .
 .
设 则 .
当 时, 故 在 上递减,而 故当 时, .
又 ,又 在 上单调递减; .
 .
22.解:(1) 直线 的参数方程为 ( 为实数)    ,①+②得 ,故 的普通方程为 .
又曲线 的极坐标方程为 ,即9 ,
  .  ,即 ,(5分)
(2) 点P的极坐标为 , 的直角坐标为(-1,1).
 点P到直线 的距离 .
将 ,代入 中得 .
设交点 、 对应的参数值分别为 ,则 , .
 
∴△PAB的面积 .
23.解:(1)当 时,

故 在 上递减,在 上递增
由 得 ,由 得 .
故当 时, .
 不等式 的解集为 .
(2)由 得 .
由 得
故当 时,
 
 , .故 的最小值为5.

 

 

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