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北京丰台区2018届高三理科数学3月一模试题(带答案)

作者:佚名 试题来源:网络 点击数:

北京丰台区2018届高三理科数学3月一模试题(带答案)

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 丰台区2018年高三年级第二学期综合练习(一)
数学(理科)
2018.03
(本试卷满分共150分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试卷、草稿纸上答题无效。
4.请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集U={x I x < 5},集合 ,则
 (A)   (B)    (C)   (D) 
 (2)已知命题p: x <1, ,则 为
 (A)  x ≥1,   (B)  x <1, 
(C)  x <1,   (D)  x ≥1, 
(3)设不等式组 表示的平面区域为 .则
 (A)原点O在 内
(B)  的面积是1
(C)  内的点到y轴的距离有最大值
(D)若点P(x0,y0)  ,则x0+y0≠0
(4)执行如图所示的程序框图,如果输出的a=2,
那么判断框中填入的条件可以是
(A) n≥5  (B) n≥6    (C) n≥7        (D) n≥8
 
 
 
 (5)在平面直角坐标系xO y中,曲线C的参数方程为 ( 为参数).若以射线Ox为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为
(A)  =sin      (B)  =2sin
(C)  =cos     (D )  =2cos
 (6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
(A)   (B)     (C) 2 (D) 
 (7)某学校为了弘扬中华传统“孝”文化,共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星,现将他们的照片展示在宣传栏中,要求同性别的同学不能相邻,不同的排法种数为
(A)4    (B)8   (C) 12 (D) 24
(8)设函数 ,若函数 恰有三个零点x1, x2, x3 (x1 <x2 <x3),则x1 + x2 + x3的取值范围是
(A)   (B)     (C)   (D) 
 
 
第二部分〔非选择题共110分)
 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长
都为1,点A,B对应的复数分别是 ,则        .
(10)已知数列 的前n项和 =n2+n,则a3 + a4=      .
(11)己知抛物线M的开口向下,其焦点是双曲线 的一个焦点,则M的标准方程为      .
 (12)在△ABC中,a=2,c=4,且3 sin A =2 sin B,则cos C=      .
 (13)函数y = f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示).
 
① 当 时,y的取值范围是      ;
②如果对任意  (b <0),都有 ,那么b的最大值是      .
 (14)已知C是平面ABD上一点,AB⊥AD,CB=CD=1.
①若 = 3 ,则  =      ;
②  = +  ,则 的最小值为      .
 
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
 (15)(本小题共13分)
己知函数
 (Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)的单调递减区间.
 
 
 
 
(16)(本小题共14分)
如图,在四棱锥P一ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD, AB⊥BC, AD//BC, AD=3,PA=BC=2AB=2,
PB= .
(Ⅰ)求证:BC⊥PB;
(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值;
(Ⅲ)若点E在棱PA上,且BE//平面PCD,求线段BE的长.
 
 
(17)(本小题共13分)
某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动.会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分),每多走2千步再积20分(不足2千步不积分).记年龄不超过40岁的会员为A类会员,年龄大于40岁的会员为B类会员.为了解会员的健步走情况,工会从A, B两类会员中各随机抽取m名会员,统计了某天他们健步走的步数,并将样本数据分为[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15), [15,17), [17,19) , [19,21」九组,将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图,B类会员的样本数据绘制成频率分布表(如下所示).
 
 
(Ⅰ)求m和a的值;
(Ⅱ)从该地区A类会员中随机抽取3名,设这3名会员中健步走的步数在13千步以上(含13千步)的人数为x,求x的分布列和数学期望;
(Ⅲ)设该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为 和 ,试比较 和 的大小(只需写出结论).
 
 
(18)(本小题共13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)若函数 在 上有极值,求a的取值范围.
(19)(本小题共14分)
已知点 在椭圆C:   上, 是椭圆的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)椭圆C上不与P点重合的两点D, E关于原点O对称,直线PD,PE分别交y轴于M,N两点,求证:以MN为直径的圆被直线 截得的弦长是定值.
 
 (20)(本小题共13分)
已知无穷数列 的前n项和为 ,记 , ,…, 中奇数的个数为 .
(Ⅰ)若 = n,请写出数列 的前5项;
(Ⅱ)求证:" 为奇数,  (i = 2,3,4,...)为偶数”是“数列 是单调递增数列”的充分不必要条件;
(Ⅲ)若 ,i=1, 2, 3,…,求数列 的通项公式.
 
 
丰台区2018年高三年级第二学期综合练习(一)  
数    学(理科)
2018.03
第一部分 (选择题  共40分)
 
一、 选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
答案 C C D C D A B A
 
第二部分 (非选择题  共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)            (10)              (11)      
(12)              (13) ;       (14) ;
注:第13、14题,第一空3分,第二空2分.
 
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题共13分)
解:(Ⅰ)由  得, , ,
所以 的定义域为 .                       ……………………2分
因为
 
              …………………… 4分
 .          ……………………6分
所以 的最小正周期为 .     ……………………8分
(Ⅱ)由  ,            ……………………10分
可得  ,                    ……………………11分
所以 的单调递减区间为 ,  .………………13分
 
(16)(本小题共14分)
(Ⅰ)证明:因为平面 ⊥平面 ,
且平面 平面 ,
因为 ⊥ ,且 平面
所以 ⊥平面 .   ……………………3分
因为 平面 ,
所以 ⊥ .         ……………………4分
(Ⅱ)解:在△ 中,因为 , , ,
所以 ,所以 ⊥ .                         ……………………5分
 所以,建立空间直角坐标系 ,如图所示.
所以 , , ,
 , ,
 , .
易知平面 的一个法向量为 .                     ……………………6分
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,  即 ,
令 ,则 .                   ……………………8分
设二面角 的平面角为 ,可知 为锐角,
则 ,
即二面角 的余弦值为 .     …………………10分
(Ⅲ)解:因为点 在棱 ,所以 , .       ……………………11分
因为 ,
所以 , .……………………12分
又因为 平面 , 为平面 的一个法向量,
所以 ,即 ,所以 .…………………13分
所以 ,所以 .       ……………………14分
(17)(本小题共13分)
解:(Ⅰ)因为  ,所以  .          ……………………2分
因为  ,所以  ,所以 .   ……………………4分
所以  , .
(Ⅱ)由频率分布直方图可得,从该地区A类会员中随机抽取1名会员,健步走的步数在13千步以上(含13千步)的概率为  .………………5分
所以 ,
 ; ;
 ; . ………………7分
所以, 的分布列为
 
0 1 2 3
 
 
 
 
 

……………………8分
 .             …………………10分
(Ⅲ) .                ……………………13分
 
(18)(本小题共13分)
解:函数 的定义域为 , .            ……………………1分
(Ⅰ)因为 , ,                                  ……………………3分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
即 .             ……………………5分
(Ⅱ) .
(ⅰ)当 时,对于任意 ,都有 ,…………………6分
所以函数 在 上为增函数,没有极值,不合题意.………………8分
(ⅱ)当 时,令 ,则 .         ……………………9分
所以 在 上单调递增,即 在 上单调递增,     …………………10分
所以函数 在 上有极值,等价于     ……………………12分
所以  所以 .
所以 的取值范围是 .                ……………………13分
 
(19)(本小题共14分)
解:(Ⅰ)依题意,椭圆的另一个焦点为 ,且 .     ………………1分
因为 ,   
所以 , ,             ……………………3分
所以椭圆 的方程为 .                  …………………4分
(Ⅱ)证明:由题意可知 , 两点与点 不重合.
因为 , 两点关于原点对称,
所以设 , , .      ……………………5分
设以 为直径的圆与直线 交于 两点,
所以 .                  ……………………6分
直线 : .
当 时, ,所以 .  …………………7分
直线 : .
当 时, ,所以 .……………………8分
所以 , ,  ……………………9分
因为 ,所以 ,           ……………………10分
所以 .     …………………11分
因为 ,即 , ,………………12分
所以 ,所以 .        ……………………13分
所以 , , 所以 .
所以以 为直径的圆被直线 截得的弦长是定值 .   ………………14分
 
(20)(本小题共13分)
(Ⅰ)解: , , , , .            ……………………3分
(Ⅱ)证明:(充分性)
因为 为奇数, 为偶数,
所以,对于任意 , 都为奇数.              ……………………4分
所以 .               ……………………5分
所以数列 是单调递增数列.       ……………………6分
(不必要性)
当数列 中只有 是奇数,其余项都是偶数时, 为偶数, 均为奇数,
所以 ,数列 是单调递增数列.       ……………………7分
所以“ 为奇数, 为偶数”不是“数列 是单调递增数列”的必要条件;……………………8分
综上所述,“ 为奇数, 为偶数”是“数列 是单调递增数列” 的充分不必要条件.
(Ⅲ)解:(1)当 为奇数时,
如果 为偶数,
若 为奇数,则 为奇数,所以 为偶数,与 矛盾;
若 为偶数,则 为偶数,所以 为奇数,与 矛盾.
所以当 为奇数时, 不能为偶数.                          ……………………9分
(2)当 为偶数时,
如果 为奇数,
若 为奇数,则 为偶数,所以 为偶数,与 矛盾;
若 为偶数,则 为奇数,所以 为奇数,与 矛盾.
所以当 为偶数时, 不能为奇数.                        ……………………10分
综上可得 与 同奇偶.
所以 为偶数.
因为 为偶数,所以 为偶数.                  ……………………11分
因为 为偶数,且 ,所以 .
因为 ,且 ,所以 .         ……………………12分
以此类推,可得 .               ……………………13分


 

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