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北京西城区2018届高三数学5月二模试题(理科有答案)

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北京西城区2018届高三数学5月二模试题(理科有答案)

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西城区高三模拟测试
          数学(理科)       2018.5
第Ⅰ卷(选择题  共40分)
一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出
符合题目要求的一项.
1.若集合 , ,则下列结论中正确的是

(A) 
(B)

(C)
(D)

2.若复数 满足 ,则

(A)
(B)
(C)
(D)

3.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是

(A)
(B)
(C)
(D)

4.某正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,该正四棱锥的
侧面积是
(A) 
(B)
(C) 
(D)

5.向量 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 与 
共线,则实数

(A)
(B)
(C)
(D)

6.已知点 , .若椭圆 上存在点 ,使得△ 为等边三角形,
则椭圆 的离心率是

(A)
(B)
(C)
(D)


7.函数 .则“ ”是“ ,使 ”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
8.在直角坐标系 中,对于点 ,定义变换 :将点
变换为点 ,使得  其中 .这样变
换 就将坐标系 内的曲线变换为坐标系 内的曲线.
则四个函数 , , ,
 在坐标系 内的图象,变换为坐标系 内
的四条曲线(如图)依次是
(A)②,③,①,④
(B)③,②,④,①

(C)②,③,④,①
(D)③,②,①,④

 

 

 

第Ⅱ卷(非选择题  共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知圆 的参数方程为 ( 为参数),则圆 的面积为____;圆心 到直线
 的距离为____.

10. 的展开式中 的系数是____.

11.在△ 中, , , ,则 ____.

12.设等差数列 的前 项和为 .若 , ,则数列 的通项公式可以是____.

13.设不等式组   表示的平面区域为 .若直线 上存在区域 上的点,则
实数 的取值范围是____.

14.地铁某换乘站设有编号为 A,B,C,D,E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散1000名乘客所需的时间如下:
安全出口编号 A,B B,C C,D D,E A,E
疏散乘客时间(s) 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____.

 

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的定义域;
(Ⅱ)若 ,且 ,求 的值.

 

16.(本小题满分14分)
如图,梯形 所在的平面与等腰梯形 所在的平面互相垂直, , . , .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值;
(Ⅲ)线段 上是否存在点 ,使得 平面 ?
请说明理由.


17.(本小题满分13分)
在某地区,某项职业的从业者共约8.5万人,其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图:
(Ⅰ)求样本中患病者的人数和图中a,b的值;
(Ⅱ)在该指标检测值为4的样本中随机选取2人,求这2人中有患病者的概率;
(III)某研究机构提出,可以选取常数 ,若一名从业者该项身体指标检测值大于 ,则判断其患有这种职业病;若检测值小于 ,则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的 的值及相应的概率(只需写出结论).


18.(本小题满分14分)
已知直线 与抛物线 相切于点 .
(Ⅰ)求直线 的方程及点 的坐标;   
(Ⅱ)设 在抛物线 上, 为 的中点.过 作 轴的垂线,分别交抛物线 和直线 于 , .记△ 的面积为 ,△ 的面积为 ,证明: .

 


19.(本小题满分13分)
已知函数 ,曲线 在 处的切线经过点 .
(Ⅰ)求实数 的值;
(Ⅱ)设 ,求 在区间 上的最大值和最小值.

20.(本小题满分13分)
数列 : 的各项均为整数,满足: ,且 ,其中 .
(Ⅰ)若 ,写出所有满足条件的数列 ;
(Ⅱ)求 的值;
(Ⅲ)证明: .

 

 

 

 

 

 

 

西城区高三模拟测试
数学(理科)参考答案及评分标准
                                                     2018.5
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C                2.A                 3.D                4.B
5.D                6.C                 7.A                8.A

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. ,                         10.                     11.
12. (答案不唯一)           13.                           14.D
注:第9题第一空3分,第二空2分.

三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)因为函数 的定义域是 ,
所以 的定义域为 .               ……………… 4分
(Ⅱ)
                                     ……………… 5分
                                      ……………… 6分
                                     ……………… 7分
 .                                  ……………… 8分
         由 ,得 .                          ……………… 9分
         因为  ,所以 ,                     ………………10分
         所以  ,或 .                           ………………11分
         解得  ,或 (舍去).                             ………………13分
16.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)因为  ,且 ,
         所以 四边形 为平行四边形,
所以  .      …… 2分
         因为  平面 ,…… 3分
所以  平面 .…… 4分
(Ⅱ)在平面 内,过 作 .
因为 平面 平面 ,平面 平面 ,
又  平面 , ,
所以  平面 ,
所以  , , .
如图建立空间直角坐标系 .                          ……………… 5分
由题意得, , , , , .
所以  , .
设平面 的法向量为 ,
则     即   
令 ,则 , ,所以  .                ……………… 7分
平面 的一个法向量为  ,                       ……………… 8分
则  .
所以 二面角 的余弦值 .                       ………………10分
(Ⅲ)线段 上不存在点 ,使得 平面 ,理由如下:      ………………11分
解法一:设平面 的法向量为 ,
则     即   
令 ,则 , ,所以  .        ………………13分

因为  ,
所以 平面 与平面 不可能垂直,
从而线段 上不存在点 ,使得 平面 .            ………………14分
解法二:线段 上不存在点 ,使得 平面 ,理由如下:  …………11分
假设线段 上存在点 ,使得 平面 ,
设  ,其中 .
设  ,则有 ,
所以  , , ,从而  ,
所以  .                             ………………13分
因为  平面 ,所以  .
所以有  ,
因为 上述方程组无解,所以假设不成立.
所以 线段 上不存在点 ,使得 平面 .           ………………14分

17.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)根据分层抽样原则,容量为100的样本中,患病者的人数为 人.… 2分
 ,
 .                             ……………… 4分
(Ⅱ)指标检测数据为4的样本中,
有患病者 人,未患病者 人.           ……………… 6分
设事件A为“从中随机选择2人,其中有患病者”.
则  ,                                      ……………… 8分
所以  .                                ……………… 9分
(Ⅲ)使得判断错误的概率最小的 .                        ………………11分      当 时,判断错误的概率为 .                      ………………13分
18.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由     得  .     ①          ……………… 2分
依题意,有 ,且 .
解得  .                                              ……………… 3分
         所以直线 的方程为 .                               ……………… 4分
         将   代入①,解得  ,
         所以点 的坐标为 .                                   ……………… 5分
(Ⅱ)设  , 则  ,所以  .            ……………… 7分
依题意,将直线  分别代入抛物线 与直线 ,
得  , .                        ……………… 8分
因为  ,    ……… 10分
 
 ,              ………………12分
所以  .                                        ………………13分
又  为 中点,所以 两点到直线 的距离相等,
所以  .                                             ………………14分

19.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ) 的导函数为 ,                        ……………… 2分
所以 .
依题意,有  ,   
即  ,                                         ……………… 4分
解得  .                                              ……………… 5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .
当 时, , ,所以 ,故 单调递增;
当 时, , ,所以 ,故 单调递减.
所以  在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.  ……………… 8分
因为  ,  所以  最大值为 .           ……………… 9分
设  ,其中 .          ………………10分
则  ,
故  在区间 上单调递增.                           ………………11分
所以  , 即  ,                      ………………12分
故  最小值为 .                         ………………13分


20.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)满足条件的数列 为: ; ; ; .    ……………… 3分                                                
(Ⅱ) .                                                  ……………… 4分
否则,假设 ,因为 ,所以 .又 ,因此有
 
 
 ,
这与 矛盾!
所以 .                                             ……………… 8分
(Ⅲ)先证明如下结论: ,必有 .
否则,令  ,
注意左式是 的整数倍,因此  .
所以有:

 
 
 
 ,
这与 矛盾!
所以  .                    ………………10分
因此有:
   
将上述 个不等式相加得  , ①
   又   ,                  ②
两式相减即得  .                         ………………13分
       


 

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