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上海黄浦区2018届高三数学二模试卷(有解析)

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上海黄浦区2018届高三数学二模试卷(有解析)

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黄浦区2018年高考模拟考数学试卷    
一、填空题:
1. 已知集合 ,若 ,则非零实数 的数值是_________.
【答案】
【解析】由题,若  则  此时B集合不符合元素互异性,故 
若 则 符合题意;若 则 不符合题意.
故答案为2
2. 不等式 的解集是______________.
【答案】
【解析】 或 .
即答案为 .
3. 若函数 是偶函数,则该函数的定义域是_______________.
【答案】
【解析】因为函数 是偶函数,则 函数 的定义域  解得  故函数的定义域为 .
及答案为 .
4. 已知 的三内角 所对的边长分别为 ,若 ,则内角 的大小是__________.
【答案】
【解析】由已知 ,可得  由余弦定理可得
故答案为 .
5. 已知向量 在向量 方向上的投影为 ,且 ,则 =_______.(结果用数值表示)
【答案】
【解析】由题向量 在向量 方向上的投影为 ,即 
即答案为-6.
6. 方程 的解 _________.
【答案】
【解析】   或 (舍)
即 ,解得
即答案为2.
7. 已知函数 ,则函数 的单调递增区间是________.
【答案】
【解析】由题函数 
则函数 的单调递增区间  解得
  即函数 的单调递增区间为 .
即答案为 .
8. 已知 是实系数一元二次方程 的一个虚数根,且 ,则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】设  , 则  .
则  也是一元二次方程 的一个虚数根,
 
∵实系数一元二次方程 有虚数根,
∴  ,解得  .
∴ 的取值范围是 .
故答案为 .
【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚数根的充要条件及其根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档础题.
9. 已知某市  社区35岁至45岁的居民有450人,46岁至55岁的居民有750人,56岁至65岁的居民有900人.为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况,社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查,若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人,试问这次抽样调查抽取的人数是________人.
【答案】
【解析】根据题意可得抽样比为  则这次抽样调查抽取的人数是 
即答案为140.
10. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,则恰好有3次出现正面向上的概率是_____.(结果用数值表示)
【答案】
【解析】一枚硬币连续抛掷5次,则恰好有3次出现正面向上的概率 
故答案为 .
11. 已知数列 是共有 个项的有限数列,且满足 ,若 ,则 _____________.
【答案】
【解析】由题数列 是共有 个项的有限数列,且满足 ,
则  ,则
 
 
 
……
 
以上  各式子同向相加,将 代入可得
 (舍).
故答案为50.
12. 已知函数 对任意 恒有 成立,则代数式 的最小值是___________.
【答案】
【解析】因为  恒成立,  所以  ,得  又 ,所以  所以
     
 
【点睛】本题主要考查二次函数的性质,基本不等式的应用,以及换元法,其中对所求式子的恒等变形是解题的关键和难点,属于难题.
二、选择题
13. 在空间中,“直线   平面 ”是“直线 与平面 内无穷多条直线都垂直 ”的(    )
A. 充分非必要条件    B. 必要非充分条件
C. 充要条件    D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】若“直线   平面 ”则“直线 与平面 内无穷多条直线都垂直 ”,正确;反之,若“直线 与平面 内无穷多条直线都垂直 ”则“直线   平面 ”是错误的,故直线   平面 ”是“直线 与平面 内无穷多条直线都垂直 ”的充分非必要条件.
故选A.
14. 二项式 的展开式中,其中是有理项的项数共有 (    )
A. 4项    B. 7项    C. 5项    D. 6项
【答案】B
【解析】二项式式 的展开式中,
通项公式为 
  时满足题意,共71个.
故选B.
15. 实数 满足线性约束条件  则目标函数 的最大值是(    )
A. 0    B. 1    C.      D. 3
【答案】D
【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示,
然后平移直线  ,当直线  过点  时, 最大值为6.则目标函数 的最大值是 
故选D.
16. 在给出的下列命题中,是假命题的是(    )
A. 设 是同一平面上的四个不同的点,若 ,则点 必共线
B. 若向量 是平面 上的两个不平行的向量,则平面 上的任一向量 都可以表示为 ,且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量 满足 ,且 ,则 是等边三角形
D. 在平面 上的所有向量中,不存在这样的四个互不相等的非零向量 ,使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
【答案】D
【解析】由  则点 必共线,故A正确;
由平面向量基本定理可知B正确;
由  可知 为 的外心,由 可知 为 的重心,故 为 的中心,即 是等边三角形,故C正确;
故选D.
三、解答题
17. 在四棱锥 中, 平面 ,   , .
   
(1)画出四棱锥 的主视图;
(2)若 ,求直线 与平面 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
【答案】(1)正视图见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)根据三视图的画法,画出四棱锥 的主视图;
(2) 如图所示建立空间直角坐标系,求出相应点和向量的坐标,求出平面平面 的法向量 ,可求出直线 与平面 所成角的大小.
试题解析:(1)主视图如下:
                                           
 (2) 根据题意,可算得 .                                     
     又 ,
  按如图所示建立空间直角坐标系,                                       
 
可得, .    
于是,有  .  
设平面 的法向量为 ,                   
则 即                            
令 ,可得 ,故平面 的一个法向量为 .          
设直线 与平面 所成角的大小为 ,则 .    
所以直线 与平面 所成角的大小为 .
18. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形 挖去扇形 后构成的).已知 ,线段 与弧 、弧 的长度之和为 米,圆心角为 弧度.
 
(1)求 关于 的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为 ,试问 取何值时, 的值最大?并求出最大值.
【答案】(1) ;(2)当 米时铭牌的面积最大,且最大面积为 平方米.
【解析】试题分析:(1)更具体求出扇形的周长,即可得到 关于 的函数解析式;;
(2)根据扇形面积公式,求出函数解析式利用二次函数求出 的值最大.
试题解析:(1)根据题意,可算得弧 ( ),弧 ( ).               
  又 ,
  于是, ,                              
  所以, .                                        
(2) 依据题意,可知                    
   化简,得                                           
               .                                       
于是,当 (满足条件 )时, ( ).                   
答 所以当 米时铭牌的面积最大,且最大面积为 平方米.
19. 已知动点 到点 的距离为 ,动点 到直线 的距离为 ,且 .
(1)求动点 的轨迹 的方程;
(2)过点 作直线 交曲线 于 两点,若 的面积 ( 是坐标系原点),求直线 的方程.
【答案】(1) ;(2) .
 .....................
试题解析:(1)结合题意,可得 .                      
 又 ,于是, ,化简得
     .                                                    
  因此,所求动点 的轨迹 的方程是 .                                                                 
   (2) 联立方程组                                           
    得 .                                 
设点 ,则                      
于是,弦 ,
点 到直线 的距离 .                                       
由 ,得     ,化简得    
 ,解得 ,且满足 ,即 都符合题意.      
因此,所求直线的方程为 .
20. 已知函数 
(1) 求函数 的反函数 ;
(2)试问:函数 的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若方程 的三个实数根 满足:  ,且 ,求实数 的值.
【答案】(1) ;(2)存在点 关于原点对称;(3) .
【解析】试题分析:(1)根据分段函数的反函数的求法求出函数 的反函数 ;
(2)设点 是函数图象上关于原点对称的点,   
则 ,即 ,  解方程求出 ,即可说明:函数图象上存在两点关于原点对称.
(3) 根据函数 与函数 的图象,可得
当 时, ,且 .;
当 时,  ,于是, .                            
 由 ,解得 . ,满足条件.因此,所求实数 .
试题解析:(1)  
 当 时, .
由 ,得 ,互换 ,可得 .     
当 时, .
 由 ,得 ,互换 ,可得 .  
                                          
 (2) 答:函数图象上存在两点关于原点对称.
设点 是函数图象上关于原点对称的点,   
则 ,即 ,                           
解得 舍去),且满足  .                
因此,函数图象上存在点 关于原点对称.
(3) 考察函数 与函数 的图象,可得
当 时,有 ,原方程可化为 ,解得
 ,且由 ,得 .
当 时,有 ,原方程可化为 ,化简得
 ,解得 (当 时, ).
于是, .                            
 由 ,得 ,解得 .
 因为 ,故 不符合题意,舍去;
 ,满足条件.因此,所求实数 .
21. 定义:若数列 和 满足 则称数列 是数列 的“伴随数列”.
已知数列 是数列 的伴随数列,试解答下列问题:
(1)若 , ,求数列 的通项公式 ;
(2)若 , 为常数,求证:数列 是等差数列;
(3)若 ,数列 是等比数列,求 的数值.
【答案】(1) ;(2)证明见解析;(3) .
【解析】试题分析:(1)根据题意,由 , ,代入 .                                
可求得 , .                                            
(2)由  ,代入 ,   
可得 , .即可证明数列 是首项为 公差为 的等差数列. 
(3).由题意可得) .  由 是等比数列,且 ,设公比为 ,则 .
 可证明当 , 和 时均不成立.故  , ( ).           
根据数列 是等比数列,有 . .根据
 可化为
 , .  可知关于 的一元二次方程 有且仅有两个非负实数根.可证明 , , .  由 ,得 . 把 ,代入 可得 .. 
试题解析:(1)根据题意,有 .            
由 , ,得
 , .                        
所以 , .                                            
(2)    , ,
∴ , , .     
∴ , .                                    
∴数列 是首项为 、公差为 的等差数列.                
(3)    ,  ,
由 ,得 .        
    是等比数列,且 ,设公比为 ,则 .
 ∴当 ,即 ,与 矛盾.因此, 不成立.           
 当 ,即 ,与 矛盾.因此, 不成立.
    ,即数列 是常数列,于是, ( ).           
 .
 ,数列 也是等比数列,设公比为 ,有 .
 可化为
 , .          
   ,
 关于 的一元二次方程 有且仅有两个非负实数根.
一方面, ( )是方程 的根;另一方面,
若 ,则无穷多个互不相等的  都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾!
   ,即数列 也是常数列,于是, , .            
   由 ,得 .
  把 ,代入 解得 .    . 
【点睛】本题新定义题型,考查的知识是数列的递推式,是数列知识较为综合的应用,,解题时要认真审题,注意数列性质的合理运用.
 

 

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