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2018年全国统考数学文科临考冲刺试卷(一)带解析

作者:佚名 试题来源:网络 点击数:

2018年全国统考数学文科临考冲刺试卷(一)带解析

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普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)
文科数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.  为虚数单位,则复数 (    )
A.  B.  C.  D.
【答案】A
【解析】 ,故选A.
2.已知集合 , ,那么 (    )
A.  B.  C.  D.
【答案】B
【解析】  ,所以 ,
故选B.
3.中人民银行发行了2018中国皮(狗)年金银纪念币一套,如图所示是一枚3克圆形金质纪念币,直径18 ,小米同学为了算图中饰狗的面积,他用1枚针向纪念币上投那500次,其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上,据此可估计装饰狗的面积大约是
 
A.  B.  C.  D.
【答案】B
【解析】由古典概型概率得落在装饰狗的概率为 ,由几何概型概率得落在装饰狗的概率为 ,所以 , ,选B.
4.在 中,角 , , 所对应的边分别为 , , .若角 , , 依次成等差数列,且 , .则 (    )
A.  B.  C.  D.
【答案】C
【解析】∵ , , 依次成等差数列,∴ ,∴由余弦定理得: ,得: ,∴由正弦定理得: ,故选C.
5.如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(    )
 
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】B
【解析】几何体如图,则体积为 ,选B.
 
6.已知函数 是定义在 上的偶函数,且在区间 上单调递增.若实数 满足 ,则 的最大值是(    )
A.1 B.  C.  D.
【答案】D
【解析】根据题意,函数 是定义在 上的偶函数,则 = ,
又由 在区间 上单调递增,则 在 上递减,
则    ,
则有 ,解可得 ,即 的最大值是 ,故选D.
7.已知实数 , 满足条件 ,则 的最小值为(    )
A.  B.  C.  D.
【答案】C
【解析】由约束条件画出可行域如下图,目标函数可变形为 ,即 ,求截距的最小值,过点 时, ,选C.
 
8.已知函数 ,将 的图象向左平移 个单位长度后所得的函数图象经过点 ,则函数 (    )
A.在区间 上单调递减 B.在区间 上单调递增
C.在区间 上有最大值 D.在区间 上有最小值
【答案】B
【解析】由题意,函数 ,将 的图象向左平移 个单位长度后得到: ,又函数图象经过点 ,所以 ,即 , ,解得 , ,又因为 ,所以 ,即 ,
令 , ,即 , ,
当 时,当 ,此时函数单调递增,故选B.
9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其意思为:“今有好田1亩价值300钱;坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷,价值10000钱.问好、坏田各有多少亩?”已知1顷为100亩,现有下列四个程序框图,其中 的单位为钱,则输出的 , 分别为此题中好、坏田的亩数的是(    )
A.  B.
C.  D.
【答案】B
【解析】设好田为 ,坏田为 ,则 , ,
A中 ;B中正确;C中 , ;D中 ,所以选B.
10.函数 的图象大致为(    )
A.  B.
C.  D.
【答案】C
【解析】因为 ,所以 ,令 , ,令 , ,令 , ,所以在 为增函数,在 为减函数,且 是函数的极大值点,结合4个函数的图象,选C.
11.已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为 的球面上,则该圆锥的体积为(    )
A.   B.
C.   D. 或
【答案】D
【解析】由题意圆锥底面半径为 ,球的半径为 如图设 ,
则 ,圆锥的高 或
所以,圆锥的体积为
或 .故选D.
 
12.已知点 是抛物线 的焦点,点 为抛物线的对称轴与其准线的交点,过 作抛物线的切线,切点为 ,若点 恰在以 , 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心离为(    )
A.  B.  C.  D.
【答案】B
【解析】 , , ,因为 , , , ,以 , 为焦点的双曲线可设为 ,所以 , , , ,选B.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知 , , ,若 与 平行,则 __________.
【答案】-3
【解析】已知 , ,若 与 平行则 ,故答案为:-3.
14.已知点 , 若点 是圆 上的动点,则 面积的最小值为__________.
【答案】
【解析】将圆 化简成标准方程 ,
圆心 ,半径 ,因为 , ,所以 ,
要求 面积最小值,即要使圆上的动点 到直线 的距离 最小,而圆心 到直线 的距离为 ,所以 的最小值为 ,故答案为 .
 
15.  _____________.
【答案】
【解析】 ,
 ,故答案为 .
16.设函数 , 是整数集.给出以下四个命题:① ;② 是 上的偶函数;③若 ,则 ;④ 是周期函数,且最小正周期是 .请写出所有正确命题的序号__________.
【答案】①②④
【解析】∵函数 , 是整数集.
∴ ,①正确;
由偶函数定义分 为整数和非整数可知②正确;
取 , ,则 而 ,不满足,故③不正确;
由周期性定义和图象可得最小正周期是1,故④正确.故答案为:①②④
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60分,每个试题12分.
17.已知数列 的前 项和为 ,且满足 , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)令 ,记数列 的前 项和为 ,证明: .
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】(I)当 时,有 ,解得 .……1分
当 时,有 ,则
 ,……3分
整理得: ,……4分
 数列 是以 为公比,以 为首项的等比数列.……5分
  ,
即数列 的通项公式为: .……6分
(2)由(1)有 ,……7分
则 ,……8分
 
 ……10分
 ,故得证.……12分
18.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据:
 
(1)请利用所给数据求违章人数 与月份 之间的回归直线方程 ;
(2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数;
(3)若从表中3、4月份分别抽取4人和2人,然后再从中任选2人进行交规调查,求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式:  , .
【答案】(1) ;(2) 人;(3) .
【解析】(1)由表中数据知, , ,……2分
∴  ,……3分
 ,……4分
∴所求回归直线方程为 .……5分
(2)由(1)知,令 ,则 人.……7分
(3)设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为 , , , ,4月份的驾驶员编号分別为 , .从这6人中任选两人包含以下基本事件 , , , , , , , , , , , , , , ,共15个基本事件;……10分
其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件,……11分
∴所求概率为 .……12分
19.如图,已知多面体 的底面 是边长为2的菱形,且 平面 , ,且 .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)若 ,求点 到平面 的距离.
 
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】(1)证明:连接 ,交 于点 ,设 中点为 ,
连接 , .
因为 , 分别为 , 的中点,所以 ,且 ,
因为 ,且 ,所以 ,且
所以四边形 为平行四边形,所以 ,即 .……2分
因为 平面 , 平面 ,所以 .
因为 是菱形,所以 .
因为 ,所以 平面 ,……4分
因为 ,所以  平面 ,……5分
因为 平面 ,所以平面 平面 .……6分
 
(2)因为 ,所以 是等边三角形,所以 .
又因为 平面 , 平面 , . ,
……7分
因为 面 ,所以 是三棱锥 的高,
 ,
 ,……9分
  平面 , 平面 , , , , , ,……10分
所以点 到平面 的距离 .……12分
20.设 为坐标原点,椭圆 的左焦点为 ,离心率为 .直线 与 交于 , 两点, 的中点为 , .
(1)求椭圆 的方程;
(2)设点 , ,求证:直线 过定点,并求出定点的坐标.
【答案】(1) ;(2)直线 过定点 .
【解析】(1)设椭圆的右焦点为 ,则 为 的中位线.
∴ , ,
∴ ,……3分
∵ ,∴ ,∴ ,
∴椭圆 的方程为: .……5分
 
(2)设 , ,
联立 ,消去 整理得: .
∴ , , ,……7分
∴ ,
 
 ,
∵ , ,
∴ ,……8分
∴ ,……10分
整理得: ,……11分
解得: 或 (舍去),
∴直线 过定点 .……12分
21.已知函数 .
(1)当 时,求函数 的单调区间;
(2)当 时,求函数 在区间 上的最小值.
【答案】(1) 递增,在 递减;
(2) 时, 时, .
【解析】(1)当 时, , , ,……1分
令 ,解得: ;
令 ,解得: ;
 在 递增,在 递减.……4分
(2)由 得:
 , ,
令 , ,解得 ,……5分
① 时,即 时, 对 恒成立,
 在 递增, ;……8分
②当 时,即 时, , , 在 上的情况如下:
  0       1
     0   
   递减 极小值 递增 
 ,……11分
综上, 时, , 时, .……12分
(二)选考题(共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一题计分)
22.在平面直角坐标系 中,曲线 过点 ,其参数方程为 ( 为参数, ),以 为极点, 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(2)求已知曲线 和曲线 交于 , 两点,且 ,求实数 的值.
【答案】(1) , ;(2) 或 .
【解析】(1) 的参数方程 ,消参得普通方程为 ,……2分
 的极坐标方程为 两边同乘 得 即 ;……5分
(2)将曲线 的参数方程 ( 为参数, )代入曲线 ,得 ,……6分
由 ,得 ,……7分
设 , 对应的参数为 , ,由题意得 即 或 ,…8分
当 时, ,解得 ,……9分
当 时, 解得 ,
综上: 或 .……10分
23.选修4-5:不等式选讲
已知 ,使不等式 成立.
(1)求满足条件的实数 的集合 ;
(2)若 ,对 ,不等式 恒成立,求 的最小值.
【答案】(1) ;(2)18.
【解析】(1)令 ,……2分
则 ,……4分
由于 使不等式 成立,有 .……5分
(2)由(1)知, ,
根据基本不等式 ,
从而 ,当且仅当 时取等号,……7分
再根据基本不等式 ,当且仅当 时取等号.
所以 的最小值为6.……10分

 

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