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广东汕头金山中学2017-2018高一数学下学期期末试题(理科有答案)

作者:佚名 试题来源:网络 点击数:

广东汕头金山中学2017-2018高一数学下学期期末试题(理科有答案)

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汕头市金山中学2017-2018学年度第二学期期末考试
高一理科数学   试题
试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题  共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集 ,集合 , ,则 (   )
A.       B.          C.             D.
2.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是(   )
A.           B.             C.        D.
3.设 , , ,则 的大小关系是(   )
A.        B.         C.        D.
4.在边长为 的菱形 中, ,则 在 方向上的投影为(   )
A.               B.            C.                 D.
5.函数 的零点所在的区间是(   )
A.           B.           C.             D.
6.设 ,若 ,则 (   )
A.2               B.4               C.6                D.8
7.为了研究某班学生的脚长 (单位厘米)和身高 (单位厘米)的关系,从该班随机抽取 名学生,根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为 .已知 , , .该班某学生的脚长为 ,据此估计其身高为(   )
                                               
8.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行,则它在离三个顶点距离都大于 的区域内的概率为(   )
A.         B.                C.             D.
9.执行如图的程序框图,已知输出的 。若输入的 ,则实数 的最大值为(   )
A.1               B.2                C.3               D.4
10.若函数 ,又 ,且 的最小值为 ,则正数 的值是(   )
A.        B.       C.        D.
11.各项均为正数的等差数列 中,前 项和为 ,当 时,有 ,则 的值为(   )
A.        B.       C.        D.
12.已知函数 有唯一零点,则负实数 (   )
A.             B.              C.-3               D.-2

第Ⅱ卷 (非选择题  共90分)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如果 ,且 是第四象限的角,那么               。
14.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为               。
15.若实数 满足 ,则 的最大值为              。
16.非零向量 的夹角为 ,且满足 ,向量组 由一个 和两个 排列而成,向量组 由两个 和一个 排列而成,若 所有可能值中的最小值为 ,则           .


三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
如图 中,已知点 在 边上,且 , .
(1)求 的长;
(2)求 .


18.(本小题满分12分)
设数列 的前 项和为 ,已知 ,  .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ,求数列 的前 项和 。


19.(本小题满分12分)
已知某山区小学有100名四年级学生,将全体四年级学生随机按00~99编号,并且按编号顺序平均分成10组.现要从中抽取10名学生,各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.
(1)若抽出的一个号码为22,则此号码所在的组数是多少?据此写出所有被抽出学生的号码;
(2)分别统计这10名学生的数学成绩,获得成绩数据的茎叶图如图所示,求该样本的方差;
(3)在(2)的条件下,从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生,求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率.

 

20.(本小题满分12分)
某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量 (小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量 (百斤)与使用某种液体肥料 (千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合 与 的关系?请计算相关系数 并加以说明(精确到0.01).(若 ,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量 限制,并有如下关系:
周光照量 (单位:小时)
 
 
 

光照控制仪最多可运行台数 3 2 1
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪,求商家在过去50周周总利润的平均值.
附:相关系数公式 ,参考数据 , .

21.(本小题满分12分)
在数列 中, , , , 。
(1)证明数列 是等比数列,并求数列 的通项公式;
(2)设 , ,求数列 的前 项和 .

22.(本小题满分12分)
设 为实数,函数 .
(1)若 ,求 的取值范围;
(2)讨论 的单调性;
(3)当 时,讨论 在区间 内的零点个数.
汕头市金山中学2017-2018学年度第二学期期末考试
高一理科数学   参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C C D C B C C A D B A C
二、填空
13. .          14. 3              15.               16. 
三、解答题
17.解:(1)因为 ,所以 ,
所以 . …………………………………………………………………………………1分
在 中,由余弦定理可知,
即 , ………………………………………………………………………………3分
解之得 或 , 由于 ,所以 .………………………………………5分
(2)在 中,由正弦定理可知, ,
  又由 可知  ………………………………………………………7分
  所以  ……………………………………………………………8分
  因为 ,即 …………………………………………10分
18.解:(1)∵当 时,  ,∴ . ∴ . ……2分
∵ , ,∴ . ……………………………………………………………………………3分
∴数列 是以 为首项,公比为 的等比数列. ……………………………………………………4分
∴ . ………………………………………………………………………………………6分
(2)由(1)得 ,  ………………………8分
当 时,  ……………………………………………………10分
∴ 。 ……………………………12分
19. 解:(1)由题意,得抽出号码为22的组数为3. ………………………………………………………………………………………1分
因为2+10×(3-1)=22,所以第1组抽出的号码应该为02,抽出的10名学生的号码依次分别为:02, 12, 22, 32, 42,52,62,72,82,92. ………………………………………………………………………3分
(2)这10名学生的平均成绩为:   ×(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,
故样本方差为: (102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52. ………………………6分
(3)从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生,共有如下10种不同的取法:
(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81). ……………………………………………………………………………………………………8分
其中成绩之和不小于154分的有如下7种:(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81).  ……………………………………………………………………………………………10分
故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为: 。 ………………………………12分
20.解:(1)由已知数据可得 , .…………………1分
因为   …………………………………………2分
  …………………………………………………3分
  ………………………………………………………4分
所以相关系数 .…………………5分
因为 ,所以可用线性回归模型拟合 与 的关系.……………………………………………6分
(2)记商家周总利润为 元,由条件可得在过去50周里:
当 时,共有10周,此时只有1台光照控制仪运行,周总利润 =1×3000-2×1000=1000元…8分
当 时,共有35周,此时2台光照控制仪运行,周总利润 =2×3000-1×1000=5000元.9分
当 时,共有5周,此时3台光照控制仪都运行,周总利润 =3×3000=9000元.……………10分
所以过去50周周总利润的平均值 元,
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.  …………………………………………………12分
21.解析:(1)由  ,得 ,………………………………2分
又 ,  ,所以 ,……………………………………………………………………3分
所以 是首项为 ,公比为 的等比数列.所以 , ……………………………4分
所以 . ……………………………6分
(2) , , ……………………………………………7分
 ,………………………………………………………………………………………8分
又  ………………………………………………………………10分
 
所以数列 的前 项和为 . …………………………………………………………………12分
22.解:(1) ,因为 ,所以 ,
当 时, ,显然成立;……………………………………………………………………………1分
当 ,则有 ,所以 .所以 .……………………………………………………2分
综上所述, 的取值范围是 .………………………………………………………………………3分
(2) …………………………………………………………………4分
对于 ,其对称轴为 ,开口向上,
所以 在 上单调递增;…………………………………………………………………………5分
对于 ,其对称轴为 ,开口向上,
所以 在 上单调递减. …………………………………………………………………………6分
综上所述, 在 上单调递增,在 上单调递减. ………………………………………7分
(3)由(2)得 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 .8分
(i)当 时, ,
令 ,即 ( ).
因为 在 上单调递减,所以
而 在 上单调递增, ,所以 与 在 无交点.
当 时, ,即 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,即当 时, 有一个零点 .………9分
(ii)当 时, ,
当 时, , ,而 在 上单调递增,
当 时, .下面比较 与 的大小
因为
所以 …………………………………………………………………………………10分
结合图象不难得当 时, 与 有两个交点. ………………………………………11分
综上所述,当 时, 有一个零点 ;当 时, 有两个零点. ………12分


 

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