单调性与最大(小)值(三)

（三）1.3.1单调性与最大(小)值 【教学重点】【教学目标】【教学难点】课程目标理解增函数、减函数的概念掌握判断某些函数增减性的方法步渗透数形结合的数学方法函数单调性概念的理解及应用函数单调性的判定及证明教法:自学辅导法、讨论法、讲授法学法:归纳—讨论—练习【教学方法】【教学手段】多媒体电脑与投影仪 ☞判断函数在区间(-1,1)上的单调性.解:设则f(x1)－f(x2)∵－1＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函数在(-1,1)上是减函数.课前热身 利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值2.利用图象求函数的最大(小)值3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 1.增函数与减函数一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1-b,b>-a.又因为f(x)是R上的增函数,∴f(a)>f(-b),①f(b)>f(-a),②①+②得f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).练一练 分析:设则确定正负号的关键,是确定的正负号.由于x1,x2在同一区间内,要使则需要使则需例5.求函数的最大值.五、求函数的最大(小)值或值域 例5.求函数的最大值.解:任取x1,x2,x1,x2∈[2,4],且x1f(3-a),求实数a的取值范围 练一练 【例3】求f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值.解:f(x)=(x-a)2+2-a2,①当a＜2时,②当2≤a＜4时，③当a≥4时,∴f(x)min=f(2)=6－4a;f(x)在[2,4]上是增函数,∴f(x)min=f(a)=2－a2.f(x)在[2,4]上是减函数.∴f(x)min=f(4)=18－8a.几何画板七、有关最值讨论题 求最大值：①当a＜3时，②当a≥3时，f(x)max=xyo24x=3f(x)max=f(4)=18－8af(x)max=f(2)=6－4a 例6.已知f(x)=x2－4x－4,x∈[t,t+1](t∈R)，求f(x)的最小值g(t)的解析式.解:f(x)=(x－2)2－8(1)当2∈[t,t+2],即1≤t≤2时，g(t)=f(2)=－8;(2)当t＞2时，∴g(t)=f(t)=t2－4t－4;(3)当t+1＜2,即t＜1时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.综上所述:g(t)=f(x)在[t,t+1]上是增函数，xyox=2tt+1x=2x=2 教材P11练习T4.教材P12A组T7,9,10.作业布置 再见2007年9月13日山东省 李福国 课堂小结1.函数单调性的定义：图象法定义法2.函数单调性的判定：3.函数单调性的应用：(1)设元:对任意x1,x2∈D,且x1＜x2(2)作差:f(x1)-f(x2)(3)变形(4)判号(5)定论*求函数的单调区间. 若函数f(x),g(x)在给定的区间I上具有单调性,(1)k＞0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性；(2)若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性.(3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(4)若f(x)＞0,g(x)＞0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)也是增(减)函数;若f(x)＜0,g(x)＜0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)是减(增)函数.单调性性质规律总结: (4)奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(5)复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同则增异则减).单调性性质规律总结: 复合函数：y=f[g(x)]令u=g(x)则y=f(u)内函数外函数y=f[g(x)]原函数以x为自变量以u为自变量以x为自变量(5)复合函数的单调性复合函数单调性结论：①当内外函数在各自定义域内同增同减时,原函数增;②当内外函数在各自定义域内一增一减时,原函数减. (1)f(x)是[a,b]上增函数,若存在x1,x2∈[a,b]且x1