新人教A版必修1 高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值 练习题

单调性与最大（小）值习题（含答案）一、单选题1．下列函数中，在(0,+∞)内单调递增的是(　　)A．y=1-xB．y=x-1C．y=x-2D．y=x2+12．设函数f'(x)是奇函数f(x)x∈R的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'x-fx0成立的x的取值范围是(　　)A．(-∞,-1)∪(0,1)B．(0,1)C．(-1,0)∪(1,+∞)D．(-∞,-1)3．关于函数y=ln(9x2+1-3x)有如下命题：①f(a)>f(b)⇒a0，给出如下命题：①f3=0；②直线x=-6是函数y=fx的图象的一条对称轴；③函数y=fx在-9,-6上为增函数；④函数y=fx在-9,9上有四个零点.其中所有正确命题的序号为（）A．①②B．②④C．①②③D．①②④5．函数fx=x2+lnx的图象大致为（）A．B．C．试卷第3页，总3页 D．6．设函数fx=2x ，  x≥0x ，  x2a+1-x均恒成立，求实数a的取值范围.20．已知函数f(x)=(ax+1)lnx-x2+1．（1）令g(x)=f'(x)，判断g(x)的单调性；（2）当x＞1时，f(x)0的解集．【详解】解：设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：g'(x)=xf'(x)-f(x)x2，∵当x>0时总有xf'(x)0时，g'(x)恒小于0，∴当x>0时，函数g(x)=f(x)x为减函数，又∵g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，又∵g(-1)=f(-1)-1=0，答案第15页，总15页 ∴函数g(x)的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f(x)>0等价于x⋅g(x)>0，即g(x)>0x>0或g(x)g(1)=0，再证明x∈(0,1)时的情况,证明lnxx-1>1>x+1ex即可.【详解】（1）定义域x∈(0,1)∪(1,+∞)，f'(x)=1-1x-lnx(x-1)2令u(x)=1-1x-lnx，则u'(x)=1-xx2，所以u(x)在(0,1]↑,[1,+∞)↓，故x∈(0,1)∪(1,+∞)时，u(x)0⇒h(x)在(1,+∞)↑，于是h(x)>h(1)=e-2>0⇒g'(x)>0⇒g(x)在(1,+∞)↑，答案第15页，总15页 因此，x∈(1,+∞)时g(x)>g(1)=0，即lnx-x2-1ex>0②下面证明x∈(0,1)时的情况：令g(x)=ex-x-1,g'(x)=ex-1>0，故g(x)在[0,1)↑，于是x∈(0,1)时g(x)>g(0)=0⇒x+1ex2a+1-xx-1,即2alnx>-x+2a+2-2a+1x；00，g(x)为增函数；在x∈(x2,+∞)上g'(x)f(1)=0，即221，即a>3，那么由（1）知，f'(x)为（1，x2）上的增函数，则当x∈(1,x2)时，f'(x)>0，于是f(x)为(1,x2)的增函数，答案第15页，总15页 又f(1)=0，则f(x)>f(1)=0，即a>3时不满足题意．综上所述，a的取值范围为(-∞,1]．【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.答案第15页，总15页