高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习16《平面向量的概念及线性运算》 (教师版)

刷题增分练16 平面向量的概念及线性运算刷题增分练⑰小题基础练提分快一、选择题1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(  )A．①  B．③C．①③D．①②答案：A解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为(  )A．1B．2C．3D．4答案：C解析：①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(  ) A．－＋B．－－C.－D.＋答案：A解析：∵D是△ABC的边AB的中点∴＝∵＝－，∴＝＝－＋故选A.4．已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为(  )A．－4B．－C.D．4答案：B解析：因为向量a，b是两个不共线的向量，所以若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－，故选B.5．在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(  )A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b答案：B解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝b＋a，故选B.6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(  )A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1答案：D解析：由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D.7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD 的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(  )A．1B.C.D.答案：D解析：由题知，＝＝(＋)．又因为BD＝AB×cos60°＝1，所以＝，故＝＋，因此λ＋μ＝＋＝，故选D.8．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋＋＝(  )A.B.C.D．0答案：D解析：因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0，故选D.二、非选择题9．已知a与－b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则实数λ的值为________．答案：－解析：因为a＋λb与－(b－3a)共线，所以存在实数μ，使得a＋λb＝μ(3a－b)，即所以10．已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.答案：2 解析：由题意可知a，b，c的两两夹角均为120°，由|a|＝|b|＝1可得a＋b与c反向，且|a＋b|＝1，从而|a＋b＋c|＝2.11．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为________．答案：3解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.12．下列结论：①若a，b共线，则一定存在实数λ，使得a＝λb；②若存在实数λ，使得a＝λb，则a，b共线；③若对任意实数λ恒有a＝λb，则a＝b＝0；其中正确结论的序号是________．答案：②③解析：①中，若a≠0，b＝0，则不存在实数λ，使得a＝λb，①不正确；②中，若b＝0，则a＝0，两个零向量共线，若b≠0，根据共线向量定理知a，b共线，②正确；③中，只有当a＝b＝0时，对任意λ恒有a＝λb，③正确．刷题课时增分练⑰综合提能力 课时练 赢高分一、选择题1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(  ) A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|答案：C解析：因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(  )A．0B．1C．2D．3答案：D解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(  )A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上答案：B解析：∵2＝2＋，∴2－2＝，即2＝，∴点P在线段AB的反向延长线上．故选B.4．如图，已知在△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E 为线段AD的中点．若＝m＋n，则m＋n＝(  )A．－B．－C．－D.答案：B解析：依题意得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴＝＋＝＋＝－＋＝－＋＋＝－.∵＝m＋n，∴m＝，n＝－，∴m＋n＝－＝－.故选B.5．已知a，b是不共线的向量，＝ma＋b，＝a＋nb(m，n∈R)，若A，B，C三点共线，则m，n的关系一定成立的是(  )A．m＝nB．m＝－nC．mn＝－1D．mn＝1答案：D解析：∵A，B，C三点共线，∴存在一个实数t，使得＝t，∴ma＋b＝ta＋tnb，∴∴mn＝1，故选D.6．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且＝＋，则实数m的值为(  )A．1B.C.D.答案：D解析：＝＋＝＋＝m＋， 设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，因为＝，所以＝(1－λ)＋λ，则解得故选D.7．如图，在正方形ABCD中，点E为DC的中点，点F为BC上靠近点B的三等分点，则＝(  )A.－B.＋C.＋D.－答案：D解析：在△CEF中，＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC上靠近点B的三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.故选D.8．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则P一定为△ABC的(  )A．AB边中线的三等分点(非重心)B．AB边的中点C．AB边中线的中点D．重心答案：A解析：如图所示，设AB的中点是E，则＝＝(＋ 2)．∵O是△ABC的重心，∴2＝，∴＝(＋4)＝，∴点P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选A.二、非选择题9．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝________.答案：解析：∵＝－＝－＝－2＝3－2，∴＝λ＋3μ－2μ，∴(1－3μ)＝(λ－2μ)，∵和是不共线向量，∴解得∴λμ＝.10．如图A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若＝x＋y，则x＋y的范围为________．答案：(－∞，－1)解析：∵C，O，D三点共线，∴＝λ＝λx＋λy(λ