高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习32《双曲线的定义、标准方程及性质》 (教师版)

刷题增分练32双曲线的定义、标准方程及性质刷题增分练○33小题基础练提分快一、选择题1．已知圆O1和圆O2的半径分别为2和4，且|O1O2|＝8，若动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，则动圆圆心M的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线答案：C解析：设动圆M的半径为R，由题意得|MO1|＝R－2，|MO2|＝R＋4，所以|MO2|－|MO1|＝6(常数)，且60)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为5，a2b2cx2可得＝5，c＝25，所以b＝c2－a2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为－a4y2＝1.16x2y26．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近a2b2线的距离为()A.2B．232C.D．222答案：D 解析：由题意，得e＝c＝2，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a＞0，b＞0，所以aa4＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝22，故选D.2x2y27．已知直线y＝x＋1与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且线段ABa2b2的中点M的横坐标为1，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D.5答案：B解析：由题意得M(1,2)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入双曲线方程，两式y222相减并整理得1－y2＝b＝k22222AB·kOM＝2.∴b＝2a，即c－a＝2a，∴e＝3.故选x22a21－x2B.x2y28．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平a2b2行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±3xD．y＝±2x答案：A解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为4b2－c23b2－a222b＝3b－a，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以＝，解得a＝b，aa2＋b2所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.二、非选择题9．已知方程mx2＋(2－m)y2＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：∵mx2＋(2－m)y2＝1表示双曲线，∴m(2－m)0)．由已知条件可得163解得2∴双曲ab－＝1，b＝1，a2b2x2线的标准方程为－y2＝1.4x2y212．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条a2b2→→渐近线引垂线，垂足为M，直线FM交另一条渐近线于N，若2MF＝FN，则双 曲线的渐近线方程为________．3答案：y＝±x3b→→解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，F(c,0)，则|MF|＝b，由2MF＝FN，a|MF|122可得＝，所以|FN|＝2b.在Rt△OMF中，由勾股定理，得|OM|＝|OF|－|MF||FN|2|OM||MF|1＝a，因为∠MOF＝∠FON，所以由角平分线定理可得＝＝，|ON|＝2a，|ON||FN|2b2在Rt△OMN中，由|OM|2＋|MN|2＝|ON|2，可得a2＋(3b)2＝(2a)2,9b2＝3a2，即＝a21b33，所以＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.3a33刷题课时增分练○33综合提能力课时练赢高分一、选择题31．下列双曲线中，渐近线方程不是y＝±x的是()4x2y2y2x2y2x2x2y2A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝114481183291643答案：D9318解析：对于A，渐近线方程为y＝±x＝±x；对于B，渐近线方程为y＝±x12432333＝±x；对于C，渐近线方程为y＝±x；对于D，渐近线方程为y＝±x.故选442D.x2y22．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，a2b2且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为()x2y2x2y2A.－＝1B.－＝15202520x2y2x2y2C.－＝1D.－＝12052025答案：A c22解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝5，所以a＝5，b＝20，ax2y2所以双曲线的标准方程为－＝1.520x2y23．曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平a2b2行，则双曲线的离心率是()5A．5B.5C.D.32答案：B解析：由y＝x2求导，得y′＝2x，∴k＝y′|2x＝1＝2.∵函数y＝x在点P(1,1)处的x2y2bcb2切线与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行，∴＝2，∴e＝＝1＋a2b2aaa2＝5，故选B.x2y24．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为()a2b2A.2B.33C．2D.2答案：Ab解析：因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－a2＝－1，可得a＝b，，双曲bc2线为等轴双曲线，故e＝＝1＋a＝2.ax2y25．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()a2b2A．y＝±2xB．y＝±3x23C．y＝±xD．y＝±x22答案：Ax2y2解析：双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.a2b2ca2＋b2又∵离心率＝＝3，∴a2＋b2＝3a2.∴b＝2a(a＞0，b＞0)．aa ∴渐近线方程为2ax±ay＝0，即y＝±2x.故选A.x2y26．已知点A是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F是右焦点．若△AOF(Oa2b2是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线的离心率e为()A.2B.3C．1＋2D．1＋3答案：Dππccos，csin解析：依题意及三角函数定义得点A33，13c，c即A22.x2y2代入双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，a2b2得b2c2－3a2c2＝4a2b2.又由c2＝a2＋b2，得e2＝4＋23，解得e＝3＋1.故选D.x2y27．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)．若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，a2b2→→B两点，且AF＝3BF，则双曲线离心率的最小值为()A.2B.3C．2D．22答案：C→→解析：因为过右焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，且AF＝3BF，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A在左支上，点B在右支上．设A(x1，→→y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)．因为AF＝3BF，所以c－x1＝3(c－x2)，所以3x2－x1＝2c.因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，所以3x2－x1≥4a，即2c≥4a，c所以≥2，即e≥2，所以双曲线离心率的最小值为2.故选C.ax2y28．如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线a224交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为() A．8B．82C．83D．16答案：C解析：由|AF1|－|AF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2222|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理得4c＝36a＋16a－2×6a×4a×1，化简得c＝7a，由a2＋b2＝c2得，a2＋24＝7a2，解得a＝2，则2113△BF1F2的面积为|BF1|·|BF2|sin∠F1BF2＝×2a×4a×＝83.222二、非选择题9．已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．y2答案：x2－＝1(x≤－1)8解析：设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝y23，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．8x2y210．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的a2b2直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.答案：2x2y2b解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线互相垂a2b2ab直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝22，所a以a2＋b2＝c2＝(22)2，解得a＝2. x2y211．过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，36O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．解析：(1)由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．3直线AB的方程为y＝(x－3)．33y＝x－33设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2y2消去y得－＝13626275x＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－.553627224－2－4－16∴|AB|＝1＋3[x1＋x2－4x1x2]＝55＝335(2)直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.|－33|3∴原点O到直线AB的距离为d＝＝.32＋－3221116312∴S△AOB＝|AB|·d＝×3×＝3.22525