人教B版数学高中必修第三册同步练习8.1.1 向量数量积的概念

8.1.1 向量数量积的概念A级必备知识基础练1.已知|a|=2,|b|=3,a·b=3,则a与b的夹角为(  )A.30°B.45°C.60°D.120°2已知△ABC是边长为4的等边三角形,D为BC的中点,点E在边AC上,且AC=3AE,设AD与BE交于点P,则BP·BC=(  )A.4B.6C.8D.93.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是32,则a·b为(  )A.3B.92C.2D.124.向量a,b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则a·b=(  )A.32B.-32C.3D.-35.已知△ABC外接圆圆心为O,半径为1,2AO=AB+AC,且3|OA|=|AB|,则向量AB在向量BC上的投影向量为(  )A.34BCB.34BCC.14BCD.-34BC6.在△ABC中,已知|AB|=|AC|=4,且AB·AC=8,则△ABC的形状为    . 7.设向量|a|=1,|b|=1,且a与b具有关系|ka+b|=3|a-kb|(k>0).(1)是否存在k,使得a与b垂直,请说明理由;(2)若a与b夹角为60°,求k的值.B级关键能力提升练 8.有4个式子:①0a=0;②0a=0;③0-AB=BA;④|a·b|=|a||b|.其中正确式子的个数为(  )A.4B.3C.2D.19.(多选题)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是(  )A.若∈0,π2,则a·b>0B.若a⊥b,则a·b=(a·b)2C.若a∥b,则a在b上的投影的数量为|a|D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),则a∥b10.在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则AB·AC=(  )A.-16B.-8C.8D.1611.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a·b=42,则a与b的夹角为     .若向量c,d满足c为单位向量,c·d=4,=π3,则|d|=     . C级学科素养创新练12.如图,在扇形AOB中,AB的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°.(1)若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用OA,OB表示向量MC; (2)求MC·MD的取值范围.参考答案1.A 因为|a|=2,|b|=3,a·b=3,所以a·b=|a||b|cos=2×3×cos=3,所以cos=32.故=30°.故选A.2.C 由题意,如图所示:∵BP·BC=|BP||BC|cos∠PBC,而|BD|=|BP|cos∠PBC,∴BP·BC=|BD||BC|,又△ABC是边长为4的等边三角形,D为BC的中点,∴BP·BC=|BD||BC|=2×4=8.故选C.3.B 设a与b的夹角为θ.∵a在b方向上的投影数量为|a|cosθ=32,∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.4.C 由题图可知,|a|=3,|b|=2,=45°,所以a·b=|a||b|cos=3×2×22=3.故选C.5.D 由2AO=AB+AC知O为BC中点,又O为△ABC外接圆圆心,∴|OA|=|OB|=|OC|=1,|BC|=2, ∴AB⊥AC.∵3|OA|=|AB|,∴|AB|=3,∴cosB=32,∴AB在向量BC上的投影的数量为|AB|cos(π-B)=-32,∴向量AB在向量BC上的投影向量为-32·BC|BC|=-34BC.故选D.6.等边三角形 AB·AC=|AB||AC|cosA=16cosA=8.∴cosA=12,即A=π3,又|AB|=|AC|,∴△ABC为等边三角形.7.解(1)|ka+b|=3|a-kb|两边平方后代入|a|=1,|b|=1整理,得到8ka·b=2k2+2≥2>0,所以不存在k,使得a与b垂直.(2)由题得8ka·b=2k2+2,且a,b夹角为60°,则8k|a|·|b|cos60°=2k2+2,得8k·12=2k2+2,解得k=1.8.C ①正确;②错误;③正确;由|a·b|=|a||b||cosθ|,得|a·b|=|a||b|不一定成立,式子④错误.故选C.9.BD 对于选项A,当=π2时,a·b=0,故A错误;B正确;对于选项C,若a∥b,则a在b上的投影的数量为±|a|,故C错误;对于选项D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),推出a=-λ2λ1b,可知a∥b,故D正确.故选BD.10.D 设∠CAB=θ,则在Rt△ABC中,AB=ACcosθ=4cosθ.AB·AC=|AB||AC|cosθ=4cosθ×4cosθ=16. 11.π4 8 设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=422×4=22,又因为θ∈[0,π],所以θ=π4.因为c为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得c·d=|c||d|cos,得4=1×|d|×cosπ3,所以|d|=8.12.解(1)由已知可得OC=34OA,MC=OC-OM,易得四边形OAMB是菱形,则OM=OA+OB,所以MC=OC-OM=34OA-(OA+OB)=-14OA-OB.(2)易知∠DMC=60°,且|MC|=|MD|,那么只需求MC的最大值与最小值即可.当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=32,则MC·MD=32×32×cos60°=38.当MC与MO或MA重合时,MC最大,此时MC=1,则MC·MD=cos60°=12.所以MC·MD的取值范围为38,12.