北师大版高中数学选修2-1考试题及答案（理科）

选修（2-1） 学刘理论 班级： 姓名： 座号： 成绩： 一、选择题（15×4=60 分） 1、(x+1)(x+2)>0 是(x+1)( 2x +2)>0 的（ ）条件 A 必要不充分 B 充要 C 充分不必要 D 既不充分也不必要 2、已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立 的（ ）条件 A 必要不充分 B 充分不必要 C 充要 D 既不充分也不必要 3、已知      2, 5,1 , 2, 2,4 , 1, 4,1A B C   ，则向量 AB AC  与 的夹角为（ ） A 030 B 045 C 060 D 090 4、O、A、B、C 为空间四个点，又OA、OB 、OC 为空间的一个基底，则（ ） A O、A、B、C 四点共线 B O、A、B、C 四点共面 C O、A、B、C 四点中任三点不共线 D O、A、B、C 四点不共面 5、给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α、β的四个命题： ①若 不共面与则点 mlmAAlm ,,,   ； ②若 m、l 是异面直线，   nmnlnml 则且 ,,,//,// ； ③若 mlml //,//,//,// 则 ； ④若 .//,//,//,,,  则点 mlAmlml  其中为假命题的是 （ ） A ① B ② C ③ D ④ 6、已知高为 3 的直棱柱 ABC—A′B′C′的底面是边长为 1 的 正三角形（如图 1 所示），则三棱锥 B′—ABC 的体积为（ ） A 4 1 B 2 1 C 6 3 D 4 3 7、若焦点在 x 轴上的椭圆 12 22  m yx 的离心率为 2 1 ，则 m=（ ） A 3 B 2 3 C 3 8 D 3 2 8、已知    3cos ,3sin ,1 2cos ,2sin ,1P     和Q ，则 PQ 的取值范围是（ ） A  1,5 B  1,5 C  0,5 D  0,25 9、 已知椭圆 136100 22  yx 上一点 P 到它的右准线的距离为 10, 则点 P 到它的左焦点的 距离是( ) A 8 B 10 C 12 D 14 10、与双曲线 1169 22  yx 有共同的渐近线,且经过点  32,3 的双曲线的一个焦点到 一条渐近线的距离是( ) A 1 B 2 C 4 D 8 11、若抛物线 2 8y x 上一点 P 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6 ，则此点 P 的横 坐标为（ ） A 10 B 9 C 8 D 非上述答案 12、已知坐标满足方程 F（x，y）=0 的点都在曲线 C 上，那么（ ） A 曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F（x，y）=0； B 凡坐标不适合 F（x，y）=0 的点都不在 C 上； C 不在 C 上的点的坐标不必适合 F（x，y）=0； D 不在 C 上的点的坐标有些适合 F（x，y）=0，有些不适合 F（x，y）=0。 二、填空题（4*4=16 分） 13、已知四面体 A—BCD，设 aAB  ， bBC  ， cCD  ， dDA  ,E、F 分别为 AC、BD 中点， 则 EF 可用 d、c、b、a 表示为_______ ____. 14、“若 A 则 B”为真命题，而“若 B 则 C”的逆否命题为真命题，且“若 A 则 B”是“若 C 则 D”的充分条件，而“若 D 则 E”是“若 B 则 C”的充要条件，则┐B 是┐E 的 条 件；A 是 E 的 条件。（填“充分”“必要”、“充要”或“既不充分也不必要” ） 15、设双曲线 12 2 2 2  b y a x 的一条准线与两条渐近线交于 A、B 两点，相应的焦点为 F，若以 AB 为直径的圆恰好过 F 点，则离心率为 16、抛物线 2 8y x 上一点 P 到其焦点的距离为 9，则其横坐标为___ ____。 三、解答题（共 74 分） 17、（12 分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。 18、（12 分）已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15 。 求抛物线的方程. 19、（12 分）已知 9 x 2 + 5 y 2 =1 的焦点 F1、F2，在直线 l：x+y－6=0 上找一点 M， 求以 F1、F2 为焦点，通过点 M 且长轴最短的椭圆方程． 20、（12 分）A 是△BCD 所在平面外一点，M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若 BD=4，试求 MN 的长. 21、（12 分）给定双曲线 12 2 2  yx 。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程． 22、（14 分）在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,E F 分别是 1 ,D D BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 1 4CG CD ，H 为 1C G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题. （1）求证： 1EF B C ; （2）求 EF 与 1C G 所成的角的余弦; （3）求 FH 的长. （答案） 一、选择题（15×4=60 分） 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D C D B A C B D C 二、填空题（4×4=16 分） 13、 2 1 ( ca  ) 14、必要 充分 15、 2 16、7 三、解答题（共 74 分） 17、（12 分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题， 并判断它们的真假。 解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数.（假命题） 逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数.（假命题） 否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数.（假命题） 逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数.（假命题） 18、（12 分）已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15 。 求抛物线的方程. 解：依题意可设抛物线方程为： axy 2 （a 可正可负），与直线 y=2x+1 截得的弦为 AB； 则可设 A（x1,y1）、B（x2,y2）联立      12 2 xy axy 得 01)4(4 2  xax 即： 4 4 21 axx  4 1 21 xx 15]1)4 4[(5]4))[(1( 2 21 2 21 2  axxAB 得：a=12 或-4 所以抛物线方程为 xy 122  或 xy 42  19、（12 分）已知 9 x 2 + 5 y 2 =1 的焦点 F1、F2，在直线 l：x+y－6=0 上找一点 M， 求以 F1、F2 为焦点，通过点 M 且长轴最短的椭圆方程． 解：由 159 22  yx ，得 F1（2，0），F2（-2，0），F1 关于直线 l 的对称点 F1 /（6，4），连 F1 /F2 交 l 于一点， 即为所求的点 M，∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1 /F2|=4 5 ，∴a=2 5 ，又 c=2，∴b2=16，故所求椭圆方程为 11620 22  yx ． 20、（12 分）A 是△BCD 所在平面外一点，M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若 BD=4，试求 MN 的长. 解：连结 AM 并延长与 BC 相交于 E，又连结 AN 并延长与 CD 相交于 E，则 E、F 分别为 BC 及 CD 之中点. 现在 MN = AEAFAMAN 3 2 3 2  = EFAEAF 3 2)(3 2  = )(3 2 CECF = )(3 1)2 1 2 1(3 2 CBCDCBCD  = BD3 1 ∴MN=| MN |= 3 1 | BD |= 3 1 BD= 3 4 21、（12 分）给定双曲线 12 2 2  yx 。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程． 解：设 ),( 111 yxP ， ),( 222 yxP 代入方程得 12 2 12 1  yx ， 12 2 22 2  yx ． 两式相减得： 0))((2 1))(( 21212121  yyyyxxxx 。 又设中点 P（x,y），将 xxx 221  ， yyy 221  代入，当 21 xx  时得 02 22 21 21   xx yyyx · 。又 2 1 21 21    x y xx yyk ， 代入得 042 22  yxyx 。 当弦 斜率不存在时，其中点 P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程 是 17 )2 1(4 7 )1(8 2 2    yx 。 22、（14 分）在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,E F 分别是 1 ,D D BD 的中点，G 在棱CD 上， 且 1 4CG CD ，H 为 1C G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题. （1）求证： 1EF B C ; （2）求 EF 与 1C G 所成的角的余弦; （3）求 FH 的长.(16 分) 解：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.则 1E 0,0, )2 （ ， 1 1 1 1 3( , ,0), (0,1,0), (1,1,1), (0,1,1), (0, ,0)2 2 4F C B C G 1 1 1 1 1 1 1( , , ), ( 1,0, 1)2 2 2 1 10 02 2 EF EF B C EF B C EF B C B C                     则 即 （2） 2 2 2 1 1 1 1 17(0, ,1) 0 ( ) 14 4 4C G C G         ，由（1）知 2 2 21 1 3( ) ( ) 12 2 2EF      1 1 1 3 1 30 ( ) 02 2 4 2 8EF C G          1 1 1 51cos , 17 EF C GEF B C EF C G       故 EF 与 1C G 所成角的余弦值为 51 17 . （3） 1 1C GH 为 的中点， 7 1 1 1H 0, , ), ( , ,0)8 2 2 2F （ 又 2 2 21 7 1 1 41 41(0 ) ( ) ( 0) FH2 8 2 2 8 8FH        即 ＝