北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明

第一章 三角形的证明 1.1等腰三角形 第1课时 1.能说出证明三角形全等的几种方法,学会证明的基本步 骤和书写格式. 2.会证明等腰三角形的有关性质定理及其推论. 3.灵活运用等腰三角形的性质进行计算和证明. 前面我们已经学习了如果两个三角形满足条件SSS,SAS,ASA,那么这两 个三角形全等;若满足条件AAS,SSA,AAA,这两个三角形还会全等吗? 1.如图,点A,D,C在同一直线上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC. 求证:BC=DE. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=40°，且 AD=AE, 求∠CDE的度数. 解:∵AB=AC,BD=CD, ∴AD平分∠BAC,AD⊥BC. ∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°. ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED=70°. ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=20°. 1.全等三角形的判定方法共有四种,分别是_______, _______,_______,________. 2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边_____,对应 角_____. 3.等腰三角形的性质:(1)等边对等角;(2)“三线合一”. SSS  SAS  ASA  AAS  相等   相等   第2课时 1.会证明等腰三角形中有关角平分线、中线、高线的特 征. 2.掌握等边三角形的性质定理. 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些 相等的线段吗?能证明你的结论吗? 1.如图,在△ABC中,AC=BC,AD平分∠BAC,∠ADC=60°,求 ∠C的度数. 解:设∠BAD=x°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD=x°,∠BAC=2∠BAD=2x°. ∵AC=BC, ∴∠B=∠BAC=2x°. ∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°, ∴2x+x=60, ∴x=20. ∴∠B=∠BAC=40°. 在△ABC中,∵∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠C=180°-∠B-∠BAC=100°. 2.如图,△ABC是等边三角形,△ADE是等腰三角形,AD=AE, ∠DAE=80°,当DE⊥AC时,求∠BAD和∠EDC的度数. 解:当DE⊥AC时, ∵AD=AE,∠DAE=80°, ∴∠ADE=∠E=50°,∠DAF=∠EAF= 40°. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°. ∴∠BAD=60°-40°=20°. ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC, ∴60°+20°=50°+∠EDC, ∴∠EDC=30°. 1.等腰三角形两腰上的高、两腰上的中线、两底角的 平分线分别_______. 2.等边三角形的三个内角______,并且每个角都等于 ______. 相等   相等   60°   第3课时 1.学会证明等腰三角形的判定定理,并能运用它来判定一个三角形为 等腰三角形. 2.知道反证法的含义,能说出反证法的一般步骤,并能运用反证法进行 简单的证明. 等腰三角形的两个底角相等.反过来,有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 1.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠MAC和∠ABC的平分线 AD,BD相交于点D,试说明△ABD是等腰三角形. 解:∵AD平分∠MAC, ∴∠MAD=∠CAD. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C. ∵∠MAC=∠ABC+∠C, 即∠MAD+∠CAD=∠ABC+∠C, ∴∠CAD=∠C. ∴AD∥BC. ∴∠CBD=∠D. ∵BD平分∠ABC, ∴∠CBD=∠ABD. ∴∠ABD=∠D. ∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形. 2.用反证法证明:“在一个三角形中,外角最多有一个锐角”. 证明:假设三角形中的外角有两个角是锐角. 根据三角形的外角与相邻的内角互补,知与这两 个角相邻的两个内角一定是钝角,大于90°,则这 两个角的度数和一定大于180°,与三角形的内角 和定理相矛盾. 因而假设错误. 故在一个三角形中,外角最多有一个锐角. 1.等腰三角形的判定定理:_________________________ .简述为:_____________. 2.用反证法证明命题的步骤: (1)假设命题的结论_________; (2)从这个假设出发,运用正确的推论方法,得出与定义、 基本事实、已有定理或已知条件_________的结果; (3)由____________判定假设 从而肯定命题的结 论正确. 有两个角相等的三角形是   等角对等边    不成立    相矛盾     矛盾的结果   不成立  等腰三角形 第4课时 1.会证明等边三角形的判定定理,并会运用这个定理进 行相关的计算和证明. 2.会证明含30°角的直角三角形的性质定理,并会运用 这个定理进行相关的计算和证明. 当一个三角形满足什么条件时是等边三角形?等边三角形是特殊的等腰三 角形,当一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形呢? 1.如图,EF∥BC,BE∥AC,AB∥FC,且△ABC是等边三角形. 求证:△ABE和△ACF是等边三角形. 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC =∠BAC= 60°. ∵EF∥BC,BE∥AC, ∴∠BAE=∠ABC=60°, ∠ABE=∠BAC=60°. ∴∠E=60°. ∴∠BAE=∠ABE=∠E=60°. ∴△ABE是等边三角形. 同理可得,△ACF是等边三角形. 2.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4 cm. 求:(1)∠DAC的度数; (2)BC的长. 解:(1)∵AB=AC,∠C=30°, ∴∠B=30°. ∴∠BAC=180°-30°-30°=120°. ∵AB⊥AD, ∴∠DAC=120°-90°=30°. (2)∵AD=4 cm,∠B=30°,∠BAD=90°, ∴BD=8 cm. ∵∠DAC=30°=∠C, ∴DC=AD=4 cm. ∴BC=BD+DC=12（ cm）. 1.等边三角形的判定方法: (1)_______相等的三角形是等边三角形; (2)_______相等的三角形是等边三角形; (3) 的等腰三角形是等边三角形. 2.有一个角为30°的直角三角形的性质定理:在直角三角 形中,如果有一个锐角等于____,那么它所对的_______是 ______的一半. 三边   三角  有一个角是60°    30°     直角边   斜边 第一章 三角形的证明 1.2直角三角形 第1课时 1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理;并能应用性质进行计算 和证明. 2.能写出一个命题的逆命题,并会判断其真假,会识别两个互逆命题. 要判定一个三角形为直角三角形,按以前学过的知识,你有几种方法? 1.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,DB= . (1)求AD的长. (2)△ABC是直角三角形吗?为什么? 9 5 2.写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假. (1)如果实数a=b,那么 ; (2)直角都相等. 1.直角三角形的判定: (1)有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. (2)有两个角互余的三角形是直角三角形. (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这 个三角形是直角三角形. 2.直角三角形的性质: (1)两个锐角互余; (2)勾股定理; (3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它 所对的直角边等于斜边的一半. 3.如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题. 第2课时 1.会证明直角三角形的判定定理“HL”. 2.能灵活运用直角三角形的判定定理进行说理证 明. 有两条边和一个角相等的两个三角形全等吗?如果 这个角是直角,结论会有什么变化? 1.如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,请添加一个条件,使 △ACB≌ △BDA. 解:(1)AC=BD; (2)BC=AD; (3)∠CAB=∠DBA; (4)∠CBA=∠DAB. 2.如图,点C,E,B,F在同一条直线上,AB⊥CF于点B,DE⊥CF 于点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF. 证明：∵AB⊥CF,DE⊥CF, ∴∠ABC=∠DEF=90°. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△DEF(HL). ∴BC=EF. ∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF. , , AC DF AB DE    3.如图,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E在AB上.求证: CE=DE. 证明:∵∠ACB=∠ADB=90°, 在Rt△ABC和Rt△ABD中, AC=AD,AB=AB, ∴Rt△ABC≌ Rt△ABD(HL). ∴∠ABC=∠ABD,BC=BD. 在△BEC和△BED中, BC=BD,∠EBC=∠EBD,BE=BE, ∴△BEC≌ △BED(SAS). ∴CE=DE. 第一章 三角形的证明 1.3线段的垂直平分线 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,并且 AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.求证：△ABC≌ △DEF. A B CP D E FQ A B CP D E FQ 变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝ EF ，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路. 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为 AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请 说明思路. 变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF 改为另一个适当条件，使△ABC与 △DEF仍能全等，并给出证明. 我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论 吗? 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距 离相等. 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C，且 AC=BC,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. A C B P M N A C B P M N 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. 又∵AC=BC,PC=PC， ∴△APC≌ △BPC(SAS). ∴PA=PB. 如果点P与点C重合， 那么结论显然成立. 几何语言描述 A C B P M N 这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一. 如图，∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等). 思考：你能写出定理 “线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等”的逆命题吗? 逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线 段的垂直平分线上. 它是真命题吗?如果是,请给出证明. 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. A B P A C B P证明： （方法一） 过点P作PC⊥AB,垂足为C. ∵ PC⊥AB， ∴ △APC和△BPC都是直角三角形 . ∵PC=PC,PA=PB， ∴ Rt△APC≌ Rt△BPC(HL)， ∴ AC=BC(全等三角形的对应边相等)， ∴点 P在线段AB的垂直平分线上. A C B P . （方法二） 把线段AB的中点记为C,连接PC. ∵C为AB的中点， ∴AC=BC. 又∵PA=PB,PC=PC， ∴△APC≌ △BPC(SSS)， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴PC⊥AB， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 逆定理：到一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段 两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上). 提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线 经过某一点)的根据之一. A B P 例1 已知：如图 ，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一 条线段两个端点距离相等的点, 在这条线 段的垂直平分线上）， 同理，点O在线段BC的垂直平分线上, ∴直线 AO 是线段BC的垂直平分线（两 点确定一条直线）． 1.如图,已知AB是线段CD的 垂直平分线,E是AB上的一 点,如果EC=7 cm,那么ED= cm;如果∠ECD=60°,那 么∠EDC= °. E D A B C 7 60 2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点 D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长. B A E D C 解：∵DE为AB的垂直平分线， ∴AE=BE. ∵△BCE的周长等于50， ∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50. ∴AC+BC=50. ∵AC=27，∴BC=23. 比一比：你的写作过程完整吗？ 3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC. P B D C A 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵BD=CD， ∴点D在线段BC的垂直平分线上， ∴ AD所在的直线是线段BC的垂直平 分线. ∵P是AD上一点， ∴PB=PC. 3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点 求证：PB=PC. 深入探索：你还有其他的证明方法吗？ P B D C A 1.线段垂直平分线的定理及证明 2.线段垂直平分线的逆定理及证明 3.两个定理之间的区别与联系 第一章 三角形的证明 1.4角平分线 第1课时 1.会证明角平分线的性质定理和判定定理. 2.能运用角平分线的性质定理解决问题. 如图,107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在 ∠AOB的内部有工厂C和D.现要修建一个货站P,使P到国 道OA和OB的距离相等,且到工厂C,D的距离也相等.如果 你是设计师,你会怎样解决这个问题呢? 1.如图,在△ABC中,∠C=90°，AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF. 求证:(1)CF=EB; (2)AB=AF+2EB. 证明：（1）∵AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=DC. 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ∴ Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）. ∴ CF=EB. , , DF FB DC DE    2.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线. 证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴△BDE和△CDF是直角三角形. ∵BD=DC,BE=CF, ∴Rt△BDE≌Rt △CDF（HL）. ∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD是△ABC的角平分线. 1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这 个角的 相等. 2.角平分线的判定定理:在一个角的内部, 且 的点,在这个角的 平分线上.  两边的距离  到角的两边距离相等   第2课时 1.会证明三角形三个内角的平分线的性质定理. 2.会运用三角形三条内角的平分线的性质解决实 际问题. 某市有一块由三条马路围成的三角形绿地(如 图),现准备在其中建一个亭子供人们休憩,要使亭子 中心到三条马路的距离相等.你能确定亭子中心的 位置吗? 1.如图,在△ABC中,E是∠BAC,∠CBD的平分线的交 点.求证:点E在外角∠BCF的平分线上. 证明:过点E作EG⊥AB，EH⊥BC， EP⊥AC，垂足分别为G, H, P. ∵AE平分∠BAC, EG⊥AB,EP⊥AC, ∴EG=EP. ∵BE平分∠CBG,EG⊥AB,EH⊥BC, ∴EG=EH. ∴EH=EP, 又∵EP⊥AC,EH⊥BC, ∴点E在∠BCF的平分线上. 2.在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥ AB于点E. (1)求证:BD+DE=AC; (2)已知AB=15 cm,求△DBE的周长; (3)已知AC=4 cm,求CD的长. (2)解:∵CD=DE,AD=AD,∠C= ∠AED=90°, ∴Rt△ACD≌ Rt△AED（HL）, ∴AC=AE. ∵AC=BD+DE,∴BD+DE=AE. ∴△BDE的周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15(cm). (1)证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°, ∴CD=DE. ∵BC=BD+CD, ∴BC=BD+DE. ∵AC=BC,∴AC=BD+DE. (3)解:∵AC=BC,∴∠B= ∠BAC. ∵∠C=90°, ∴∠B= 90°=45°. ∴∠BDE= 90°-45°=45°. ∴BE=DE. 在△ABC中，AB= . ∵AC=AE,∴BE= . ∵ CD=DE,BE=DE, ∴CD= (cm). 1 2  2 4 2AC  4 2 4 4 2 4 1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分 线相交于一点,并且这一点到________的距离相等. 2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只 需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角 平分线的交点. 3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线的交点与三 个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用 小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线 交点到三边距离的常用方法.  三条边