湘教版八年级数学上册第3章实数

第3章 实数 3.1 平方根 如果一个数 x 的平方等于 a, 那么这个数 x 叫做 a 的平方根. 就是说, 当x2 =a 时, 称 x 是 a 的平方根. (a≥0) 下列各数的平方根会是怎样的? ⑴ 121 ⑵ 36 ⑶ (-4)2 ⑷ 0 ⑸ -25 平方根的情况: ⑴一个正数的平方根有两个,它们互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个,就是它本身0; 想一想 ⑶负数没有平方根. ±11 ±6 ±4 0 平方根的表示方法 是 的简写 根指数 被开 方数 如9的平方根表示为 例1 求下列各数的平方根: ⑴ 100 ⑵ 0.49 ⑶ 1.69 ⑷ ⑸ ⑹ 232 ⑴解： 因为102=100,且(-10)2=100, 所以100的平方根为 ±10. 其他略. 例2 口答下列各数的平方根: ⑴ 49 ⑵ 1 600 ⑶ 196 ⑷ 36 49 ⑸ 64 25 ⑹ 5 1 16 ⑺ 0 ⑻ 0.09 ⑼ 1.44 ⑽ 0.81 ⑾ 0.012 1 ⑿ 1.69 知识点归纳： （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫 做a 的平方根。a的平方根记作: 。 （2）求一个数a的平方根的运算叫做开平方。 （3）平方和开平方互为逆运算。 辨一辨 下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”： ⑴ 16的平方根是 ±4; ( ) √ ⑵ ±7是49的平方根 ;( ) √ ⑶ 112的平方根是11;( ) × ⑷ -9是81的平方根;( ) √ ⑸ 52的平方根是±25; ( ) ⑹ -9的平方根是 -3;( ) ⑺ 0的平方根是 0; ( ) ⑻ 平方根为 -2的数是 -4; ( ⑼ 只有一个平方根的数是0. ( ) × × √ × ) √ 练习 1. 下列表述正确的是( ) A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根 C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4 2. 下列各数没有平方根的是( ) A. (-10)2 B. 0 C.-6 D.-(-5)2 C D 思考 2的平方根是多少？ 8的平方根是多少？ 86的平方根是多少？ 求下列各式中的x: 1. x2=16 2. 64x2=25 3.(x-1)2=9 x=±4 x2= 25 64 x=± 5 8 x-1=±3 x=4 或x= -2 一个数的平方根是2x+1和x-7，求x和这个数。 解：2x+1+x-7=0， 解得x=2. 2x+1=5, x-7=-5, 故这个数为52=25. 例1 口答下列各式的值: ⑴ √10000 = ⑵ √144 = ⑶±√0.04 = ⑷√(-3)2 = 100 -12 ±0.2 3 例2 计算下列各数的算术平方根: ⑴ 2 ⑵ 529 ⑶ 1 225 ⑴√2 解: ⑵√529 =23 ⑶√1225 =35 算术平方根与平方根: 算术平方根是平方根中正的一个值, 平方根一般是互为相反数的两个值。 只有一个值; 算术平方根只表示为 , 而平方根需表示为√a ±  √a. 第3章 实数 3.2 立方根 x 1．现有一个体积为8cm3的正方体纸盒， 它的每一条棱长是多少？ x3=8 解：设它的每一条棱长是ｘcm. 2．一个正方体纸盒的容积为64cm3，它的棱长是多少 ？ 3. 一个正方体纸盒的容积为25cm3，它的棱长是多少？ x3=64 x3=25 x=2 x=4 x=？ 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫 做三次方根).  如果x3 =a，那么x叫做a的立方根. 立方根的表示方法：立方根的表示方法： 读作“三次根号a”. （1）∵43=64， ∴4是64的立方根， 即  ＝4，   （2）求一个数的立方根的运算叫做开立方．   （3）开立方和立方互为逆运算,求一个数的立方根可 以通过立方运算来求． 2的立方根是 .  ， ， 你会区别下列的数吗？你会区别下列的数吗？ 表示表示aa的算术平方根的算术平方根 表示表示aa的平方根或的平方根或aa的二次方根的二次方根 表示表示aa的立方根或的立方根或aa的三次方根的三次方根 例 求下列各数的立方根． （1）27 ； （2）- ；（3）9． (1)∵ 33=27, 即 = 3. ∴ 27的立方根是3. （2）（3）略   下列各数有立方根吗？如果有，请写出来； 如果没有，请说明理由. , 0.001, 9,-3,-64, - ,0. 归纳：1. 正数的立方根是一个正数 2. 负数的立方根是一个负数 3. 0的立方根是0 填空，你能发现其中的规律吗？ 因为 ＝ ， 所以 因为 所以 归纳： -2 ＝ ＝ -2 -3 -3 例2 求下列各式的值 ： 求下列各式的值：求下列各式的值： （1 ） （2 ） （3 ） 解：解：（（11 ））（（22 ）） （（33 ））（（44 ）） 课堂课堂练习：练习： 1.1.你能求出下列各式中的未知数你能求出下列各式中的未知数xx吗？吗？ （（11）） xx33＝＝343 343 （（22）（）（xx－－11））33＝＝125125 解解:: ∴∴xx＝＝77 ∴∴x-1x-1＝＝55 x=6x=6 （（33）） （（44）） （（33）） xx＝＝2233 （（44）） x-2x-2＝＝4433 ∴∴xx＝＝6666∴∴xx＝＝88 2.判断下列说法是否正确，并说明理由： （1） 的立方根是 （2）负数没有立方根 （3）4的平方根是2 （4）-8的立方根是-2 （5）立方根是它本身的数只有0 （6）互为相反数的数的立方根也互为相反数 课堂课堂练习：练习： 小结小结 11、平方根的定义：如果一个数、平方根的定义：如果一个数 的平方等于的平方等于aa,,那么这个数叫做那么这个数叫做aa 的平方根。的平方根。aa的平方根用的平方根用± 22、平方根的性质、平方根的性质 （（11）一个正数有两个平方根，这）一个正数有两个平方根，这 两个平方根互为相反数两个平方根互为相反数 （（22））00的平方根还是的平方根还是00 （（33）负数没有平方根）负数没有平方根 33、平方根的求法：、平方根的求法： 如求如求44的平方根：的平方根： ∵ (±2)2 = 4,    ∴4的平方根是±2.  即 11、立方根的定义：如果一个数、立方根的定义：如果一个数 的立方等于的立方等于aa,,那么这个数叫做那么这个数叫做aa 的立方根。的立方根。aa的立方根用的立方根用 表示表示 22、立方根的性质、立方根的性质 （（11）正数的立方根还是正数）正数的立方根还是正数 （（22））00的立方根的立方根还是还是00 （（33）负数的立方根还是负数）负数的立方根还是负数 33、立方根的求法：、立方根的求法： 如求如求88的立方根：的立方根： ∵ 23 = 8，    ∴8的立方根是2.  即 1.一个正方体的体积变为原来的8倍，其棱长变为 原来的多少倍？ 2.一个正方体的体积变为原来的27倍，其棱长变为原 来的多少倍？ 3.一个正方体的体积变为原来的n(n>0)倍，其棱长变 为原来的多少倍？ 思考: 第3章 实数 3.3 实数（第1课时） 1 1 1 1 A CB D 探索： 边长为1的正方形的对角线的长是多少？ BD2=12+12 BD= 0 21-1 是怎样的一个数呢？ 在数轴上画出表示 的点 • 画半径为1cm的圆，计算这个圆的周长、面积. 1c m 事实上，人们已经证明 是一个无限不循环小数，它 的值为 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…无限不循环小数称为无理数。 实 数 有理数 无理数 正有理数 负有理数 有限小数或无限循 环小数 无限不循环小数 0 正无理数 负无理数 实 数 有理数 无理数 整数 分数 有限小数或无限循 环小数 无限不循环小数 有理数和无理数统称为实数 有理数都可以用数轴上的点来表示，反 过来，数轴上的点是否都表示有理数？ 讨论 0 1 2 3-1-2-3 例1、把下列各数填入相应的集合内： 0 -0.5 0.121 211 211 12… -3.141 59 有理数集合{ ， ， …} 无理数集合{ ， ，…} 正实数集合{ ， ， …} 负实数集合{ ， …} -0.5 ， -3.141 59 0 ，-0.5 ， -3.14159 ，0.121 211 211 12… ，0.121 211 211 12…， 3.3 实数（第2课时） 回味概念回味概念 填 一 填 有理数 相反数 绝对值 倒数 －3 2 3 3 实数的绝对值、相反数、倒数与有理数范围内的意义 完全相同,并且有理数的大小比较的方法、运算性质及 运算律在实数范围内仍然适用. 你 知 道 吗? 问题一问题一 1、比较大小: 3 7＜ 2、比较大小： ★通过估算，比较大小： ﹤﹥2,所以﹤2,因为 ★若a﹥0,b﹥0,且a2﹥b2,则a﹥b 即因为( )2=3, ( )2=7,所以 ﹤ ★利用数轴比较大小. ＜ 做一做做一做 试一试：比较下列各组数的大小： ＞ ＜ ＝ ＞ 1.怎样比较 与 的大小 (两个负数绝对值大的反而小) 2.怎样比较0.5与 的大小 可用平方法，把两个正数都化成带根号或不带根号的 式子，从而比较它们的大小 问题二问题二 ① ② ③ ④ ⑤ 做一做做一做 3.比较下列各组实数的大小 注意：先求出两个无理数的近似值,再比较大小,这也是比 较两个无理数大小的一种方法. 你知道 与 的大小吗？ 解: 输入时依次按键: 9 2ndF 3 = 第二功能键 方根运算键 问问题三题三 1、比较大小： 2、计算： 注意:（1）实数运算时，涉及无理数，可取其近似值，将其 转化为有理数进行计算； （2）在计算过程中取近似值时，可以按照计算结果要求的 精确度，多保留一位. 小结与回顾小结与回顾 通过用不同的方法比较两个无理数的大小，如估算法、 平方法、作差法、求近似值法等． 有理数的运算扩充到实数范围内时仍然适用. 学习了利用计算器进行实数的四则运算. 2. 的相反数是______,绝对值是_____. 3. 的相反数是______,绝对值是______. 6. 4. 的绝对值是_____. 5.已知一个数的绝对值是 ，则这个数是____． 1.a是一个实数,它的相反数为____； 如果，a≠0，那么它的倒数为______. 4 2或3 练习练习 7.绝对值小于 的整数有_____________, 这些整数的和是_______． 0 9.计算: (1) (保留3位小数) (2) （保留2位小数） 8.试比较 的大小. 练习练习