教学设计
3.1.2 用二分法求方程的近似解
教学设计(一)
作者：张兴娟，邯郸市第四中学高级教师．本教学设计获“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动一等奖．
学习准备
教师需要明了：
1．新教材为什么增加求方程的近似解？
2．为什么用“二分法”求方程的近似解？
3．本节内容在教材中的地位和作用．
4．明确学生现有的水平和可能的发展水平．
学生需要复习：方程的根与函数的零点的相关知识．
在此基础上，根据学生“最近发展区”确定本课时教学和学习目标．
教学目标
1．了解二分法是求方程近似解的一种方法．
2．会用二分法求给定精确度的方程的近似解．
3．在具体问题情境中感受逐步逼近的过程．
4．培养学生观察、分析数据的能力．
5．培养学生合作与交流的意识和对新知探求的精神．
教学重点与难点
重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解．
难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解．
教学方法与教学手段
教学方法：“问题驱动”，启发、探究
学法：自主探究、分组合作、辨析讨论、深化理解
教辅工具：计算机、投影仪、计算器
教学过程
1．设置情境，提出问题
问题1：你会求哪些类型方程的解？
写一写你不会求解的方程．
设计意图
让学生感受有大量的方程不能求解，引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲．
问题2：能不能求方程的近似解？
2．自主探究，获得新知
以求方程x3＋3x－1＝0的近似解(精确度0.1)为例进行探究．
探究1：怎样确定解所在的区间？
(1)图象法(数形结合)：
(2)试值法：
设f(x)=x3+3x－1，f(0)=－1＜0，f(1)=3＞0.
复习：(1)方程的根与函数零点的关系；
(2)根的存在性定理．
探究2：怎样缩小解所在的区间？
幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：
(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？
(2)如何猜才能最快猜出商品的价格？
设计意图
在学生“最近发展区”设置问题，搭建平台，拉近数学与现实的距离 ，不仅激发学生学习兴趣，学生也在猜测的过程中逐步体会二分法思想．
问题3：为什么要取中点，好处是什么？
设计意图
体会二分法优于其他如“三分法”，“四分法”，华罗庚的“优选法”等．
探究3：区间缩小到什么程度满足要求？
设计意图
利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性．
问题4：精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？
通过对以上问题的探究，给出二分法的定义就水到渠成了．
二分法的定义：
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫
做二分法．
用二分法求零点近似值的步骤：
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
3．例题剖析，巩固新知
【例】借助计算器用二分法求方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.01)．
两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评．同时演示用Excel程序求方程的近似解．
设计意图
(1)演示Excel程序求方程的近似解，界画活泼，充分体现了信息技术与数学课程有机整合．进一步明确为什么用“二分法”求方程的近似解．(2)算法流程比较简洁，便于编写计算机程序，利用计算器和多媒体辅助教学，直观明了．
4．知识迁移，生活应用
(1)猜商品价格；
(2)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为__________．
5．检验成果，巩固提升
(1)下列函数的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是( )
思维升华：在零点的附近连续且f(a)·f(b)＜0.
(2)方程4x＋2x－11＝0的解在下列哪个区间内？你能给出一个满足精确度为0.1的近似解吗？
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
说明：二分法不仅能求方程的近似解，有时也能求方程的精确解．
6．回顾反思
本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？还有什么疑问？
(1)预设课堂生成问题(有些同学可能会有这样的疑惑，若没有就作为课下拓展留给学生思考)．
如图所示，区间[a，b]上有多个零点，还能否用二分法求方程的近似解？如果能，该怎样做？
(2)学生课堂生成新问题(不同的班级可能会有不同的问题，具体问题具体解决)．
课外作业
1．书面作业
(1)习题3.1 A组3,4,5；
(2)求2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1)．
2．知识链接 阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
板书设计
课题：(投影显示)
1．提出问题：
2．自主探究：
3．抽象概括：
4．巩固练习：
5．归纳总结：
教学反思
1．注重学生参与知识的形成过程；
2．注重培养学生的应用意识；
3．恰当地利用现代信息技术．
教学设计(二)
作者：冯红果，泉州市第七中学教师．本教学设计获福建省教学设计大赛一等奖．
整体设计
教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程
与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．
学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．
设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．
教学目标
1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；
2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；
3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．
教学重点与难点
教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．
教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．
教学过程
教学基本流程图
教学情境设计
教学设计
学情预设
设计意图 知识链接
创
设
情
境
·
引
出
课
题
1．大家都看过《幸运52》吧，今天咱也试一回(出示游戏)．
2．竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？
3．如何才能更快地猜中商品的预定价格？
4．“二分”的思路是什么？
1．教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法．
2．学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验．学生会有很多种方案．
3．对于“问题2”学生能够顺利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论．
4．此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好．从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间.
1．利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛．
2．通过问题2，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔．
3．通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情境转化为数学模型．
4．通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法．
师
生
探
究
·
构
建
新
知
1．上节课我们学了什么定理，它的作用是什么？还有什么问题没有解决？
2．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内存在一个零点；如何求出方程ln x＋2x－6＝0在区间(2,3)的近似解(精确度为0.01)？与刚才的游戏是否有类似之处？
3．精确度的含义是什么？怎样的区间才算满足设定的精确度？
4．区间(2,3)的精确度为多少？
5．如何将零点所在的范围缩小(即
如何将精确度缩小)？缩小的依据是什么？
6．如何利用今天“猜价格”——“二分法”的逼近思想来缩小区间？
7．近似解是多少？
1．教师通过“问题1”对上节课的内容进行复习引入，点出今天的课题．并且有前面游戏作为伏笔，学生能够得出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据．
2．通过“问题2”应用具体的题目引导学生进行思考．学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法．
3．学生对精确度的概念可能有所遗忘．教师可以借助数轴解释说明精确度的含义，引导学生思考什么时候停止操作．
4．教师通过“问题4～6”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到正确的新的零点所在的区间．并确定结束的时间.
5．学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出(附录1)中的表格．表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确地、快速地回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利．
6．对于“问题7”学生不太容易得到比较简洁的结论．教师
[设计意图]
1．开门见山，延续上一节课的内容继续深入地研究，使得知识有一个链接，让学生能够很容易地将新知识建构到旧的知识体系中．
2．运用问题1，将学生的思路与前面已解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力．
3．师生的互动有利于一边引导一边总结．将二分法应用于解决实际问题，即将新的知识应用于解决新的问题．培养学生实际应用的
能力，加强解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性．使得最后方法的总结能够顺利进行．
4．有了前面的商品竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度．
[知识链接]
1．函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区
可以进行解释说明：“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，但区间端点a，b是已知的值，所以可以取a或b作为近似解．”，最后得到方程的近似解(附录1的表格后面的内容).
间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．精确度是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量．一般是：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
形
成
概
念
·
深
1．我们刚才的求解过程中有哪些过程是一直重复出现的？
2．我们取其一段，大家看如何用数学语言来描述？
3．点明求方程的近似解的“二分法”：对于在区间(a，b)
学生经过老师“问题1～2”的提示与引导，可以得到“取区间的中点，计算函数值，比较符号，确定新的区间”这样的相同的过程．
学生根据“二分法”的定
[设计意图]
1．不断的引导，将刚才的解题过程经过“自然语言——数学语言——去其糟粕取其精华——具体步骤”的过
化
提
高
上连续不断、且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把方程的解所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近近似解，进而得到近似解的方法叫二分法.
义进行归纳总结：运用二分法求方程的近似解的步骤(附录2)．其中步骤①“画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a，b)，验证f(a)f(b)＜0”；学生很有可能会有遗漏．此时可以提出“问题5”引导学生回忆、思考，从而得到运用二分法的前提——即步骤①.
对于“问题6”，较好的学生才能回答出来.
程，帮助学生学会归纳总结的方法．
2．课间的及时总结有利于学生对当前所学的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，在后面的做题中可以有法可依，可以提高解题的正确率，增强自信．
3．问题6的设计是将学生的思维进一步升华，不再停留在技能这一个层次，而是上升为数学思想方法的层次.
4．进一步提出问题：运用二分法求方程的近似解的步骤是什么？
5．运用二分法的前提是什么(游戏开始时要先做什么工作)？引例条件的内涵是什么？
6．二分法的实质是什么？它有什么作用？
[知识链接]
1．运用二分法的前提是要先判断根在某个所在的区间．
2．二分法实际上是通过缩小区间长度寻找解的一种方法．
课
内
练
习
·
课
后
作
业
1．练习：(1)(2)题为例题仿照题，由同桌协助完成．(3)(4)题考查二分法的含义，由同学独立完成，可以寻求帮助．(附录4)
2．思考：两道题均为实际应用题，为学有余力的同学提高能力．(附录4)
3．课后作业：习题3.1 A组3,4；B组1,2.
练习1．(1)(2)题经过同桌两位同学合作可以顺利完成．(3)(4)题独立完成如果有困难的同学在同伴或老师的帮助下可以完成．
练习2实际应用：学有余力的同学与同伴合作探讨，也可以解决.
[设计意图]
1．不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力．不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获；
2．培养合作、互助精神；
3．培养学生应用与创新的能力，利用二分法的逼近思想解决实际问题．
本
课
小
结
请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？
教师通过点名提问，学生借助教师的帮助对整节课进行最后的归纳总结，得到以下两点：(1)二分法是一种求一元方程近似解的通法．(2)利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤(附录3).
[设计意图]
学生的归纳总结的能力不强，需要不断的培养；课后的总结有利于学生对整节课的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，养成良好的学习习惯，建立自信心.
教学反思
1．本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)——二分法的理论(一般)——二分法的应用(特殊)”．让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美．
2．引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；(2)开门见山——“继续前面的研究”引入．
(附录1)解：设f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(2,3)，先取区间的中点，再计算中点的函数值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确度，得到下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
精确度
(2,3)
2.5
－0.083 709 268
1
(2.5,3)
2.75
0.511 600 912
0.5
(2.5,2.75)
2.625
0.215 080 896
0.25
(2.5,2.625)
2.562 5
0.065 983 344
0.125
(2.5,2.562 5)
2.531 25
－0.008 786 748
0.062 5
(2.531 25,2.562 5)
2.546 875
0.028 617 117
0.031 25
(2.531 25,2.546 875)
2.539 062 5
0.009 919 918
0.015 625
(2.531 25,2.539 062 5)
2.535 156 25
0.000 567 772
0.007 813
(2.531 25,2.535 156 25)
2.533 203 125
－0.004 109 191
0.003 906
(2.533 203 125,2.535 156 25)
2.534 179 688
－0.001 770 634
0.001 953
(2.534 179 688,2.535 156 25)
2.534 667 969
－0.000 601 412
0.000 977
(2.534 667 969,2.535 156 25)
2.534 912 109
－1.681 66×10－5
0.000 488
所以，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，因此我们可
以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0根的近似值．
(附录2)二分法求解方程f(x)＝0〔或g(x)＝h(x)〕近似解的基本步骤：
①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a，b)，验证f(a)·f(b)＜0；
②求区间(a，b)的中点x1x1＝))；
③计算f(x1)：若f(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点，x1就是f(x)＝0的根，计算终止；
若f(a)f(x1)＜0，则选择区间(a，x1)；
若f(a)f(x1)＞0，则选择区间(x1，b)；
④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度ε(若是要求精确到ε，两端点精确到同一个近似值时才终止计算)．
(附录3)
1．练习：(1)应用计算器，求方程x3＋3x－1＝0的一个正的近似解．
(2)应用计算器，求方程2x＋x＝4的近似解．
(3)用二分法判断方程2x＝x2的根的个数( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(4)方程lg(x＋4)＝10x的根的情况是( )
A．仅有一根 B．有一正根一负根
C．有两负根 D．无实根
2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？
(2)一天，泉州七中校区与现代中学(分校)校区的电缆线路出了故障(相距大约10 km)，电工是怎样检测的呢？
答案：略
教学设计(三)
作者：罗志强，长汀县第一中学教师．本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖．
整体设计
三维目标
1．知识与技能：
①通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
②借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的简单方程近似解的方法．
2．过程与方法：
①了解数学上的逼近思想、极限思想；
②体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法做准备．
3．情感、态度与价值观：
①通过了解数学家的史料来提高数学素养，并增强学习数学的兴趣；
②体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；
③通过具体实例的探究，归纳发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．
教学重点与难点
教学重点：二分法的基本思想的理解，运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程；
教学难点：精确度概念的理解及恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教材分析
本节课在学生应用数形结合的数学思想指导下学习了方程的根与对应函数零点之间的关系的基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求方程近似解步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容做准备．教科书不仅希望学生在数学思想与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生通过了解古今中外数学家求方程的解的史料来渗透数学文化，提高数学素养．
学情分析
学生基础较好，学习的主动性较强，所以通过一节课掌握用二分法求方程的近似解的方法，体验二分法中的逼近思想、算法思想．但在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力．
信息技术分析
多媒体教室及几何画板、Visual Basic 应用程序．
教学方法
动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践．
教学过程
教学设计流程图
——由模仿中央电视台节目“幸运52”中的猜价游戏导入新课，提出二分法的思想
↓
——回顾例题，复习零点存在性定理，提出新问题：能不能求出零点《几何画板》演示
↓
——借助《几何画板》软件探究用二分法求方程的近似解
↓
——总结出用二分法求方程近似解的步骤
↓
——学生借助科学计算器，用二分法求方程的近似解
↓
——介绍数学家求方程的近似解的历史
↓
——利用Visual Basic编写程序，渗透算法思想
教学设计理念
1．倡导积极主动、勇于探索的学习方式．
2．鼓励学生自主探究、合作交流．
3．注重信息技术与数学课程的整合．
4．体现数学的文化价值．
教学情境设计
一、创设情境，导入新课
问题情境：中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．
设计意图
1．创设学生熟悉的游戏情境，制造悬念，引发学生的学习兴趣，并在教师的指导下设计猜价方案．
2．在学生设计猜价方案的基础上，提出设计此方案的思想后引入“二分法”，水到渠成．
师生活动：
师：表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏的报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？请学生思考后，提问学生用你的猜价方案猜手机价格？
生：猜价方案
区间 中点(取整) 高低
[500,1 000] 750 低了
[750,1 000] 875 高了
[750,875] 812 低了
[812,875] 843 低了
[843,875] 859 高了
[843,859] 851 ok
师：用几何画板配合学生演示猜价的过程后，提问此方案的设计思想(附图一)．
生：关键是取区间的中点，不断地缩小价格所在的区间．
师：此方法在数学上称作“二分法”，并在黑板上板书，从而引入课题．
二、例题回顾
人教A版3.1.1节例1
求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数？方程ln x＋2x－6＝0的实数解的个数？
问题1：如何来确定函数零点的存在性，即方程的实数解的存在性？
问题2：f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内有零点，如何找出？
设计意图
通过例题回顾，引导学生将找方程的实数解与找对应函数的零点的问题等同起来，体会数学模型之间的转换．
师生活动：
师：借助几何画板直观演示(附图二)函数零点所在区间，并复习零点存在性定理后，让学生思考问题2，提示学生回顾猜价方案的思想．
生：使用科学计算器进行计算，思考，交流思路．
师：提问学生．
生：1.取(2,3)的中点2.5，发现f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在(2.5,3)内．
2．以此类推，发现零点所在的区间在不断缩小．
三、合作探究
问题1：零点存在区间的大小能说明什么问题？
问题2：你能够总结出使零点存在的区间越来越小的规律吗？
问题3：当我们能够将零点所在的区间不断地缩小时，怎样确定零点的近似值？
设计意图
1．让学生在教师的指导下学会发现问题、分析问题，初步体会极限思想．
2．引导学生从具体的实例出发，总结出一般性的规律，符合学生的思维意识，并让学生充分体会二分法思想．
3．引导学生将函数零点的近似值求出来，让学生体会精确度的作用．
师生活动：
1．师：借助几何画板(附图三)引导学生思考，并让学生交流、讨论．
生：零点存在区间越小，区间两端点越接近该区间的实数解．
2．师：说明让零点存在区间越来越小是解决问题的关键，请思考问题2.
生：分组交流．
生：经合作整理，规律如下：
每次将区间二等分，留下区间端点函数值符号相反的区间．
师：实质是根据什么定理？
生：零点存在性定理．
3．师：顺势让学生思考问题3后，指出给定精确度ε，只要将上述步骤进行有限次重复后即区间两端点差的绝对值小于ε，则区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．
几何画板直观演示(附图四)．
四、师生小结
你能说出二分法的意义及用二分法求函数y＝f(x)零点近似值的步骤吗？
1．二分法的意义
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：几何画板分布演示(附图五)．
设计意图
引导学生小结二分法的适用条件及求方程近似解的具体步骤，培养学生从特殊到一般的思想，体验解决问题的成就感．
师生活动：
师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．
师：分析关键词：
f(a)·f(b)＜0、m＝、精确度ε、|a－b|＜ε的意义．
生：结合求函数f(x)＝ln(x)＋2x－6在区间(2,3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．
五、学以致用
问题1：实际生活中有没有利用到二分法的思想方法的例子呢？试举例．
问题2：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)
设计意图
1．培养学生联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系．
2．培养学生的动手能力，让学生逐步掌握运用二分法求方程近似解的思想方法，并使学生的认识不断加深．
师生活动：
1．师：让学生讨论，学生思考联想实际生活，尝试举出运用二分法的例子．
生：电力工人检测电线，找故障．
2．(1)学生利用科学计算器动手操作、进行小组交流，老师作课堂巡视指导．
(2)师借助几何画板分布，直观演示(附图六)．
六、数学文化
阅读本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
设计意图
让学生感受数学文化方面的熏陶，增强数学素养．
七、知识迁移
问题：回忆用二分法求方程的近似解的步骤中，缩小零点所在的区间的步骤是否可以进行重复，如果给定精确度后重复的步骤是否是有限次的？
设计意图
初步介绍算法思想，为必修3的算法教学埋下伏笔．
师生活动：
师：如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．它的优点是一种通法，更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如我们可以编写用二分法求方程的近似解的程序，快速地求出一个函数的零点．
程序框图及程序(附图七)
八、课堂小结
问题：本节课学习了哪些知识、方法、思想？
设计意图
学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学的知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验化为能力．
师生活动：
师：引导学生从知识、方法两方面进行总结后板书：
1．要找方程的实数解可先利用函数的连续性判定方程实数解的存在性，再利用二分法求方程的近似解；
2．二分法的意义；
3．二分法求方程的近似解的步骤；
4．逼近、极限、二分法．
教学设计附图：
区间 中点(取整) 高低
[500,1 000] 750 低了
[750,1 000] 875 高了
[750,875] 812 低了
[812,875] 843 低了
[843,875] 859 高了
[843,859] 851
附图一
附图二
附图三
附图四
二分法求解方程近似解的基本步骤：(精确度ε)
1．利用计算或作图的方法，确定初始区间[a，b]；
2．验证f(a)·f(b)＜0；
3．求区间(a，b)的中点c＝；
4．计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c〔此时零点X0∈(a，c)〕；(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c〔此时零点X0∈(c，b)〕；
5．判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值a(或b)；否则重复3～4.
附图五
附图六
附visual basic程序
Private Sub Command1_Click()
Dim a As Single
Dim b As Single
Dim d As Single
a＝InputBox(“a”，“区间左端点”)
b＝InputBox(“b”，“区间右端点”)
d＝InputBox(“d”，“精确度”)
Text1.Text＝a
Text2.Text＝b
Text3.Text＝d
fa＝2^a＋3*a－7
fb＝2^b＋3*b－7
If fa*fb＞＝0Then
Text4．Txet＝“求解范围有错”
Else
Do
x＝(a＋b)/2
fx＝2^x＋3*x－7
If fx*fa＞0 Then
a＝x:fa＝fx
Else
b＝x:fb＝fx
End If
Loop Until fx＝0 or Abs(a－b)＜d
Text4. Text＝x
End If
End Sub
教学反思
1．创设有趣且适合学生认知的问题情境，调动课堂气氛，提高学生的学习兴趣，鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程．
2．教学中以问题为主线，重视二分法概念的形成，培养学生的探究意识，增强学生的问题意识，提高发现和解决问题的能力．
3．在整个教学过程中，教师注意发挥学生的主体性，给学生留下充分的时间与空间，让
学生分组交流、合作探究．在课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点，还学会了相互接纳、互助与赞赏，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思．学生间的多向交流，可以使他们从多角度得出问题解决的途径．
4．重视知识的形成过程，注重思维方法，注重探索方法，让学生主动获取知识，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学．这样才能体现“思想方法比知识更重要”这一新的教学价值观．
5．在教学中适当介绍数学家的奋斗历史，从而渗透数学文化，增强学生的数学素养．
不足之处
1．在分组交流，学生合作探究解决问题上显得经验不足，不够老到．
2．在使用《几何画板》演示教学内容时，学生学习《几何画板》基本操作的实际水平与本节课知识运用所要求的水平不符．可以在课外花点时间让学生学习数学常用的几种软件，从而提高学生的动手能力．
教学设计(四)
作者：王巨才，瓯海二高教师．本教学设计获浙江省教学设计大赛市二等奖．
整体设计
教材分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解．
由于在实际问题的解决中，列出的方程可能相当复杂．设f(x)是实系数多项式或是任一实数函数，方程f(x)＝0称为代数方程或超越方程．一般说来，此类方程的根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根的表达式，却因比较复杂，难以用它来计算根的近似值．所以，当根存在时，研究求根的数值方法很有必要，本节教材向学生介绍了求零点近似值的实用且基本的方法——二分法．
教材在学生了解了函数的零点与方程根的联系的基础上，从实例入手介绍了求方程近似解的二分法．学生不难理解函数的零点及其求法，而困难的地方在于使用二分法求函数零点的计算过程相当繁杂．
在教学中应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，借助计算器或计算机处理繁杂的计算、理解数学概念、探索数学结论．
学情分析
学生在学习了方程的根与函数的零点后，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
本节课的学习历经直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断，因此教师在教学过程中应力求通过各种不同形式的
自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，开拓他们的创新意识和“逐步逼近”的数学思想．
教学目标
知识与技能：
通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法：
能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感态度和价值观：
体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
重点难点
重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
课前准备
1．学生要准备能进行较为复杂运算的计算器．
2．课前学习材料：分治算法．
分治是实际生活中使用比较广泛的一种解决问题的方法．在程序设计中，分治算法的设计思想是：将一个规模比较大的、难以直接解决的问题，分割成一些规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同；然后将这些子问题各个击破，分而治之．值得注意的是，分治算法的设计思想很自然地导致了递归算法的应用．它的一般设计模式如下：
if 问题规模小到可以直接解决 then 直接解决该问题
else 将问题分解成k个规模较小的子问题
end if
for i＝1 to k
递归调用该分治算法，分别解决每一个子问题
next i
将各子问题的解合并为原问题的解．
设计意图
从学生感兴趣的计算机编程问题引入，引导学生分析分治算法的思想与方法，为后面引出二分法的思想与方法做铺垫．
教学环节
教学过程
创设情境，引出课题
问题：现有大小与形状完全相同的金属小球16个，其中有一个是实心的，其余都是空心的．用一架天平需测量几次一定能找出实心小球？(要求测量次数尽可能少)
让学生思考、讨论，并得出结论．
学生可能会得出这样的结论：先将这16个小球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球在较重的这部分球中，再将较重的这部分球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球又在较重的这部分球中，依此类推，所以只要四次一定能找到实心小球．
学生也有可能将小球分成相同的四部分，再两部分两部分地去称，也可得到结果，等等．教师根据学生得出的方法进行总结．
设计意图
以实际问题为载体，通过学生亲自产生的思维方法体会二分法查找的思想与方法．
组织探究，导出算法
1．问题：通过上一节课的学习，我们知道函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内有零点(如下图所示)．那我们能否找出这个零点呢？或者能找出这个零点的近似值吗？
设计意图
上面的问题有着承上启下的作用，它既是对前面一节课结果的进一步深入，也揭示了本节课所要解决的问题．
2．将学生分成几组进行合作学习，并要求学生将自己的求解过程进行记录、归纳．
设计意图
由于这一任务具有一定的难度，问题又具有一定的挑战性，有利于激发学生的主动性与小组学习活动的激情及发挥学习共同体的创造性，因此采用了小组合作学习的方式进行教学．这一环节借助信息技术功能提倡学生通过观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式．
3．通过学生的合作学习，由一个小组代表发言求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的过程，可用下表反映：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
－0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.562 5
0.066
(2.5,2.562 5)
2.531 25
－0.009
(2.531 25,2.562 5)
2.546 875
0.029
(2.531 25,2.546 875)
2.539 062 5
0.010
(2.531 25,2.539 062 5)
2.535 156 25
0.001
当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以我们可以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0根的近似值．
4．给定精确度ε，再请一个小组代表发言求函数f(x)零点近似值的基本步骤(教师引导，由其他小组补充，逐步完善)
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)：①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；
③若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]；
(4)判断是否达到精度ε；
即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
设计意图
从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验．这种教学方式易于学生接受和形成二分法的算法思想与计算原理．
探索发现，寻找内涵
1．教师：通过前面的探究，我们得出了求函数f(x)零点近似值的一种方法，我们来给这种方法取个名字，叫什么好呢？(学生可能会取“分割法”、“二分法”、“中点法”等，教师最后进行评析)
设计意图
从学生探究创造中下定义，便于学生深刻理解定义的内涵，这也是新课程提倡的教学理念之一．
2．问题：是不是所有有零点的函数都适合用二分法求零点的近似值呢？请同学们先看下面几个函数的图象再回答．
图一 图二 图三
学生通过上图的比较与分析，可以得出上图中一、三两个函数是无法用二分法求零点的近似值的，因此要用二分法求零点的近似值的函数必须具备两个特征：函数f(x)在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0.这时教师对二分法的定义进行完善：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
设计意图
通过学生自己的观察、比较、分析，深化学生对定义的认识与理解，进一步挖掘二分法的内涵，使学生对二分法的算法思想与计算原理有了新的感悟．
3．教师进一步指出，从“数”的角度看，函数的零点即是使f(x)＝0的实数；从“形”的角度看，函数的零点即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标．若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．二分法的条件f(a)·f(b)＜0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
设计意图
引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，进一步明确二分法的适用范围．
尝试练习，体会应用
1．例题：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)
分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．
注意：
(1)第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间．
(2)建议列表样式如下：
零点所在区间
中点函数值
区间长度
[1,2]
f(1.5)＞0
1
[1,1.5]
f(1.25)＜0
0.5
[1.25,1.5]
f(1.375)＜0
0.25
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
(在教学中教师要引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．学生要根据二分法的思想与步骤独立完成思考，并进行交流、讨论、评析．)
设计意图
该例题是对这节课前面所学知识和数学思想的综合运用和巩固，解题过程体现了数学表达的简洁性和数学思维的严谨性，也体现了函数思想在解方程中的应用．
2．学生练习：
已知f(x)＝2＋2x－x2，
(1)如果g(x)＝f(2－x2)，求g(x)的解析式；
(2)借助计算器或计算机，画出函数g(x)的图象；
(3)求出函数g(x)的零点．(精确到0.1)
分析：本题第(1)问是一道代入法复合函数解析式的问题，第(2)、(3)问需用本节知识进行解决．另外在求g(x)的零点时，不妨用函数g(x)的奇偶性，只需用二分法求出其中一个零点，另一个便知道了．
答案：(1)g(x)＝2＋2x2－x4；
(2)
(3)±1.7.
设计意图
利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法，以求达到教学目标．本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的课改理念．
小结体会，教师归纳
以学生发言的形式对本堂课进行小结，教师归纳强调：
1．二分法求方程的近似解，要求函数f(x)在某一区间[a，b]内连续，并且在此区间端点的函数值异号．
2．用二分法不能求二次重根．
3．在学习中要注意运用函数与方程的思想、数形结合的思想和“逐步逼近”
的数学思想．
设计意图
关注学生学习的主动性，培养学生表达交流数学的能力．学生的课堂小结既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固．
作业回馈，巩固知识
1．教材习题3.1(A组)第3～6题、(B组)第4题．
2．提高作业：
(1)已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.
①m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？
②如果函数的一个零点在原点，求m的值．
(2)用二分法求的近似值(精确到0.01)．
设计意图
1为巩固作业，2为课外拓展作业，培养学生的探究、创造能力．
课外活动，培养能力
查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)．
设计意图
增强探索精神，培养创新意识．
利用函数图象解方程和函数问题
1．求方程x＋lg x＝3的近似解．
求某些方程的解，不容易通过笔算来获得，可以通过函数图象，但往往不太容易直接画图，而且画出的图象也不准确，此时利用图形计算器帮助我们画出图象(很多复杂的函数都可以很快在图形计算器上画出)，对于我们来说，方法是更重要的．
第一步：按键，输入函数：y1＝lg x，y2＝3－x.
第二步：按键，画出两个函数的图象，如下图所示：
第三步：按键：intersection(求交点)，屏幕会出现对话框：选择第一条曲线、第二条
曲线、下限、上限之后，屏幕上会给出交点值：xc：2.587 17，yc：0.412 826，则x＝2.587 17即为方程x＋lg x＝3的近似解．
小结：利用函数图象的交点解方程是一个重要方法，而图形计算器为我们提供了一个强有力的工具．
2．一片树林中现有木材30 000米3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y米3，写出x，y间的函数关系式，并且利用图象，求约经过多少年，木材可以增加到40 000米3？(结果保留一位有效数字)
画出函数图象后，可以通过用键移动光标，寻找当y＝40 000时的x值；也可再作函数y2＝40 000的图象，用求图象的交点即可。
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