九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程第3课时几何图形与一元二次方程导学案（新人教版）

1 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第 3 课时 几何图形与一元二次方程 学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点） 重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 一、知识链接 用长为 60m 的篱笆围一个矩形的菜园.宽 AD 为 xm.用含 x 的代数式填空： （1）如图①，AB=_________m,S 矩形 ABCD=___________; （2）如图②，菜园中间用一根篱笆隔开，则 AB=_________m,S 矩形 ABCD=___________; （3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则 AB=_________m,S 矩形 ABCD=______. 图① 图② 图③ 二、要点探究 探究点：几何图形与一元二次方程 探究 1 要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如 果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周 边衬的宽度？(精确到 0.1cm) 方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 典例精析 例 1 如图，在一块宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要 使草坪的面积为 540m2，求道路的宽为多少？ 【变式题 1】在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的 面积为 540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 自主学习 课堂探究 D A B C2 【变式题 2】在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的 面积为 540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 【变式题 3】在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的 面积为 540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 【变式题 4】在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路 的宽度比为 3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？ 方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路). 例 2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58m 的围栏围成总面积为 200m2 的三个大小相同的矩形 羊圈，则羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米？ 【变式题 1】如图，要利用一面墙(墙长为 25m)建羊圈，用 80m 的围栏围成面积为 600m2 的矩形羊圈，则羊 圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米？ 【变式题 2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的 建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少 时，猪舍面积为 80 平方米？ 方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为 x，根据周长等条件把另一边用 x 表示出来，最后根据面积 公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解. 三、课堂小结 几何图形 常见几何图形面积是等量关系几何图形与 一元二次方 程问题 类型 课本封面问题 常采用图形平移能聚零为整方3 彩条/小路宽度问题 动点面积问题 便列方程 1. 在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要 使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2+130x－1400=0 B．x2+65x－350=0 C．x2－130x－1400=0 D．x2－65x－350=0 2.一块长方形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5cm 的小正方形， 然后把四边折起来， 做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm3，求铁板的长和宽． 3.如图，要设计一个宽 20cm，长为 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶ 3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 4.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1cm/s 的速度移动； 同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移 动.问点 P，Q 出发几秒后，可使△PCQ 的面积为 9 cm²？ 参考答案 自主学习 知识链接 (1)(30-x) x(30-x) (2)(30-1.5x) x(30-1.5x) (3)(60-3x) x(60-3x) 当堂检测4 课堂探究 二、要点探究 探究点：几何图形与一元二次方程 探究 1 解：设中央矩形的长和宽分别为 9a cm 和 7a cm 由此得到上下边衬宽度之比为： 设上下边衬的 9x cm，左右边衬宽为 7x cm，则中央的 矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央 矩 形 的 面 积 是 封 面 面 积 的 四 分 之 三 . 于 是 可 列 出 方 程 整 理 得 16x2-48x+9=0 ， 解 方 程 得 （ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） . 故 上 下 边 衬 的 宽 度 为 左右边衬的宽度为 典例精析 例 1 方法一：解：设道路的宽为 x 米，依题意得 20×32-32x-20x+x2=540,解得x1=2，x2=50.当 x=50 时， 32-x=-18，不合题意，舍去.∴取 x=2. 答：道路的宽为 2 米. 方法二：解：设道路的宽为 x 米，依题意得(32-x)(20-x)=540，解得 x1=2，x2=50.当 x=50 时，32-x=-18， 不合题意，舍去.∴取 x=2. 答：道路的宽为 2 米. 【变式题 1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x)(20-x)=540，解得 x1=2，x2=50（不合题意，舍 去）.∴x=2. 答：道路的宽为 2 米. 【变式题 2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-x)=540，解得 x1=18- ，x2=18+ （不合题意，舍去）.∴x≈1.45. 答：道路的宽为 1.45 米. 【变式题 3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-2x)=540，解得 x1=1，x2=25（不合题意， 舍去）.∴x=1. 答：道路的宽为 1 米. 【变式题 4】解：设横、竖小路的宽度分别为 3x、 2x， 于是可列方程(32-4x)(20-6x)= 解得 x1= ，x2= （不合题意，舍去）.∴x≈0.62.则 3x≈1.86,2x≈1.24. 答：横、竖小路的宽度分别为 1.86 米、1.24 米. 例 2 解：设 AB 长是 x m. 依题意得 (58-2x)x=200 ，即 x2-29x+100=0 ，解得 x1=25 ，x2=4.x=25 时， 58-2x=8，x=4 时，58-2x=50. 答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 25m，8m 或 4m，50m. 【变式题 1】 解：设 AB 长是 x m.依题意得(80-2x)x=600，即 x2-40x+300=0，解得 x1=10，x2=30.x=10 时， 80-2x=60>25，(舍去)，x=30 时，80-2x=2012 (舍去），当 x=8 时，26-2x=10