2016高二理科数学暑假作业（5）
班级_______ 姓名_______________座号______
1. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图， 则
该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A． B． C． D．
3.设函数，记，则
A. B． C． D．( )
4.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A. B. C. D.
5．已知的内角,,满足，面积满足，记，，分别为,,所对的边，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6. 已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 .
7.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_______.
8.设直线与双曲线两条渐近线分别交于点
，若点满足，则该双曲线的离心率是_______.
三．解答题
9. 已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.（1）确定的值；（2）若，判断
的单调性；（3）若有极值，求的取值范围.
10. 如下图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..
11．已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右的焦点，直线
的斜率为，为坐标原点.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
12. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求； (Ⅱ)证明：.
13.如图，设椭圆C：+ ＝1(a＞b＞0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.
（I）已知直线l的斜率为k，用a,b,k表示点P的坐标；
（II）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
14.已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R).
（I）若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a)，求M(a)－m(a)；
（II）设b∈R.若[f(x)＋b] 2≤4对x∈[－1,1]恒成立，求3a＋b的取值范围.
2016高二理科数学暑假作业（6）解答
1．已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为（B； ）
.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）
【答案】：B
【解析1】：由已知，，令，得或，
当时，；
且，有小于零的零点，不符合题意。
当时，
要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选B
【解析2】：由已知，=有唯一的正零点，等价于
有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，，由，，，
，要使有唯一的正零根，只需，选B
2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）
. . .6 .4
【答案】：C
【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，
其中，，故最长的棱的长度为，选C
3.设函数，记
，则(B )
A． B． C． D．
解法1：
，故
解法2：当时，，
因为在上单调递增，所以
当时，，
由二次函数的单调性知，当时，单调递增，当时，单调递减，故
当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增，当时，单调递减，故
所以答案为B.
4.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A . 72 B . 120 C . 144 D . 3
【答案】：B
【解析】：歌舞类节目较多可先排,然后将三个歌舞类节目中间的两个空排满，分成两种情况：第一种，插入的是两个小品类节目，种类为；第二种，插入的是一个小品一个相声，种类为。所以总的种树为
5.已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
解：已知变形为
展开整理得
即
而
故，故，
排除，因为，所以，选择.
6. 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .
【答案】：
【解析】：由且 ，
即，由及正弦定理得：
∴，故，∴，∴
，∴，
7. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.
解：转化为左边的最小值，
左边，当时取等号，
故.
8.设直线与双曲线两条渐近线分别交于点
，若点满足，则该双曲线的离心率是_______.
解法1：直接法
渐近线方程为，分别于联立，
解得，，则中点
因为，所以，又，所以
解得.
解法2：整体代换
设，中点，渐近线方程为，即，
联立，得，则，
，则中点，同法1.
解法3：点差法
设，中点，渐近线方程为，
即，
则，两式相减得，又，所以.
因为，所以，所以，所以方程为，
联立，得，所以，所以.
解法4：韦达定理
设，中点，渐近线方程为，即，
联立，得，
则，，所以，
联立，得，
所以，所以.
解法5：设而不求
设，中点，
因为，所以，所以，所以方程为，
联立，得，所以，
因为渐近线方程为，则，
①-②得，…③；
①+②得，…④；得，，
又，代入上式得，所以.
解法6：通过对问题的解读，我想，如果点恰为椭圆的焦点，那么将可以引入双曲线的定义来解， 通过运算推理，直线通过平移为直线后，点相应转化为点
，那么原问题等价于问题：设直线与双曲线两条渐近线
分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是_______.
再结合点差法又可将问题转化为：设直线与双曲线交于点，
若点(为右焦点)满足，则该双曲线的离心率是_______.
不妨设，设左焦点为，弦中点为，并设，那么，
所以，所以，由及直线斜率为可知：，
，所以由为直角三角形得：，化解得
，所以
9. 已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.
（1）确定的值；
（2）若，判断的单调性；
（3）若有极值，求的取值范围.
解：（1），由恒成立知：
，故
另外
联立解出
（2）此时，故单调递增.
（3）等价于有非最值解，设，则等价于方程在时有非最值解，由双钩函数知：. 所以，故的取值范围为.
10. 如下图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..
解：（1）设，代入椭圆方程中求出，故，而
由已知：，联立解出
即，联立解出. 所以椭圆的标准方程为
.
（2）由于所求圆的圆心在轴上，故圆和椭圆的两个交点关于轴对称，从而经过点所作的切线也关于轴对称，如下图所示.
当切线互相垂直时，设两条切线交于点，则恰好形成一个边长为正方形. 其中表示圆的半径，由几何关系，，
因为，所以.
故所求圆的半径为.
11.【解析】(Ⅰ) 设，由条件知，得，
又，所以，.
故的方程.
(II)依题意当轴不合题意，故设直线，设，，
将代入，得，
当，即时，
从而，
又点到直线的距离，
所以的面积
设，则，
当且仅当，时等号成立，且满足.
所以当的面积最大时，的方程为：或.
12.【解析】(Ⅰ) 函数的定义域为，
由题意可得，故.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，从而等价于
设函数，则，所以当时，;
当时，,故在单调递减，在单调递增，
从而在的最小值为.
设函数，则，所以当时，；
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，从而在
的最大值为.
综上：当时，，即.
13.如图，设椭圆，动直线与椭圆
只有一个公共点，且点 在第一象限.
（1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标.
（2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离最大值为
13.【解析】（1）设直线的方程为，由消去得
由于与只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为
又点在第一象限，故点的坐标为
（2）由于直线过原点且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离
，整理得，
因为，所以
当且仅当时等号成立.所以,点到直线的距离的最大值为.
14.已知函数
（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求
（2）设，若对恒成立，求得取值范围.
【解析】（1）因为所以由于,
(ⅰ)当时，有，故，此时在上是增函数，因此，
，故.
(ⅱ)当时，若,在上是增函数,
若,在上是减函数,所以,
.
由于,因此当时,;
当时,;
(ⅲ)当时，有,故,此时在上是减函数,
因此,故
综上,
(2)令,则,
因为对恒成立,即对恒成立.
所以由(1)知,
(ⅰ)当时,在上是增函数,在上的最大值是,最小值是
,则且,矛盾;
(ⅱ)当时, 在上的最小值是,最大值是,
所以且,从而且,
令,则,在上是增函数,故,
因此;
(ⅲ)时, 在上的最小值是,最大值是,
所以且,解得;
(ⅳ)当时, 在上的最大值是,最小值是,
所以且,解得.
综上,得的取值范围是
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