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山东临沂市2017届高考数学一模试卷(文科附解析)

时间:2017-03-13 16:30:37作者:佚名试题来源:网络
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2017年山东省临沂市高考数学一模试卷(文科)
 
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={x|x≥0},且A∩B=B,则集合B可能是(  )
A.{x|x≥2} B.{x|x≤1} C.{x|x≥﹣1} D.R
2.已知i为虚数单位,则复数 在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.传承传统文化再掀热潮,在刚刚过去的新春假期中,央视科教频道以诗词知识竞赛为   主的《中国诗词大会》火爆荧屏,如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得    分,则下列说法正确的是(  )
 
A.甲的平均数大于乙的平均数 B.甲的中位数大于乙的中位数
C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的平均数等于乙的中位数
4.已知命题P:∃x∈(﹣∞,0),2x<3x;命题q:∀x∈(0,π),sinx≤1,则下列命题为真命题的是(  )
A.p∧q B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q
5.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=1gx,设a=f(3),b= ,c=f(﹣2),则(  )
A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>a>c
6.若函数 为偶函数,则(  )
A.f(x)的最小正周期为π,且在 上为增函数
B.f(x)的最小正周期为 ,且在 上为增函数
C.f(x)的最小正周期为 ,且在 上为减函数
D.f(x)的最小正周期为π,且在 上为减函数
7.已知一几何体的三视图如图所示,俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成,则该几何体的体积为(  )
 
A.4π+8 B.4π+12 C.8π+8 D.8π+12
8.在区间[﹣1,1]上随机取一个数k,使直线 与圆x2+y2=1相交的概率为(  )
A.  B.  C.  D.
9.下列四个图中,哪个可能是函数 的图象(  )
A.  B.  C.  D.
10.如图,已知过双曲线 =1(a>0,b>0)的右顶点A2作一个圆,该圆与其渐近线bx﹣ay=0交于点P,Q,若∠PA2Q=90°,|PQ|=2|OP|,则该双曲线的离心率为(  )
 
A.  B.  C.  D.
 
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.
11.已知α是第二象限角, ,则tanα=  .
12.已知向量 与 满足 =(2,0),| |=1,若| + |= ,则a与b的夹角是  .
13.某程序框图如图所示,若运行该程序后输出S为  .
 
14.已知正数x、y满足 ,则z=4﹣x 的最小值为  .
15.已知函数f(x)= 在R上单调递减,且方程|f(x)|=2有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是  .
 
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(12分)某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计,随机抽取了m名学生的成绩作为样本,根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下:
分组 频数 频率
[60,70) 16 0.2
[70,80) 50 n
[80,90) 10 P
[90,100] 4 0.05
合计 M I
(I)求表中n,p的值和频率分布直方图中a的值;
(II)如果用分层抽样的方法,从样本成绩在[60,70]和[90,100]的学生中共抽取5人,再从5人中选2人,求这2人成绩在[60,70]的概率.
 
17.(12分)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c且 .
(I)求A;
(II)若△ABC的外接圆半径为 ,求△ABC面积的最大值.
18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*,λ>0),且a1,a2+2,a3+3成等差数列.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)令bn=(﹣1)nlog2an•log2an+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
19.(12分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90.,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD.
(Ⅰ)若M是AB的中点,求证:平面CEM⊥平面BDE;
(Ⅱ)若N为BE的中点,求证:CN∥平面ADE.
 
20.(13分)已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆 的右焦点F,点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点,且 .
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与椭圆C交于P,Q两点,直线l2与直线x=4交于点T,求 的取值范围.
21.(14分)已知函数 .
(I)若直线y=0与函数y=f(x)的图象相切,求a的值;
(Ⅱ)设a>0,对于∀x1,x2∈[3,+∞)(x1≠x2),都有
|f(x1)﹣f(x2)|<|g(x1)﹣g(x2)|,求实数a的取值范围.
 
 

2017年山东省临沂市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={x|x≥0},且A∩B=B,则集合B可能是(  )
A.{x|x≥2} B.{x|x≤1} C.{x|x≥﹣1} D.R
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】计算题;方程思想;演绎法;集合.
【分析】由集合A={x|x≥0},且A∩B=B,得B⊆A,由此能求出结果.
【解答】解:∵集合A={x|x≥0},且A∩B=B,
∴B⊆A,
观察备选答案中的4个选项,
只有{x|x≥2}⊆A.
故选:A.
【点评】本题考查交集性质的应用,是基础题,解题时要认真审题.
 
2.已知i为虚数单位,则复数 在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【专题】计算题;对应思想;数学模型法;数系的扩充和复数.
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:∵ = ,
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为( ),位于第一象限.
故选:A.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.
 
3.传承传统文化再掀热潮,在刚刚过去的新春假期中,央视科教频道以诗词知识竞赛为   主的《中国诗词大会》火爆荧屏,如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得    分,则下列说法正确的是(  )
 
A.甲的平均数大于乙的平均数 B.甲的中位数大于乙的中位数
C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的平均数等于乙的中位数
【考点】茎叶图.
【专题】定义法;概率与统计.
【分析】由茎叶图,分别求出甲、乙的平均数、中位数和方差,由此能求出结果.
【解答】解:由茎叶图,知:
 = (59+45+32+38+24+26+11+12+14)=29,
 = (51+43+30+34+20+25+27+28+12)=30,
S2甲= [302+162+32+92+(﹣5)2+(﹣3)2+(﹣18)2+(﹣17)2+(﹣15)2]≈235.3,
S2乙= [212+132+02+42+(﹣10)2+(﹣5)2+(﹣3)2+(﹣2)2+(﹣18)2]≈120.9,
甲的中位数为:26,乙的中位数为:28,
∴甲的方差大于乙的方差.
故选:C.
【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图、平均数、中位数和方差性质的合理运用.
 
4.已知命题P:∃x∈(﹣∞,0),2x<3x;命题q:∀x∈(0,π),sinx≤1,则下列命题为真命题的是(  )
A.p∧q B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】探究型;定义法;简易逻辑.
【分析】先分析命题p,q的真假,进而根据复合命题真假判断的真值表,可得答案.
【解答】解:∵当x∈(﹣∞,0)时,2x>3x恒成立,
故命题P:∃x∈(﹣∞,0),2x<3x为假命题;
当x∈(0,π)时,0<sinx≤1,
故命题q为真命题,
故命题p∧q,p∨(¬q),p∧(¬q)均为假命题;
(¬p)∧q为真命题,
故选:D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,函数的图象和性质,难度中档.
 
5.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=1gx,设a=f(3),b= ,c=f(﹣2),则(  )
A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>a>c
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;转化思想;演绎法;函数的性质及应用.
【分析】f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=1gx,结合对数函数的单调性,即可得出结论.
【解答】解:∵f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=1gx,
∴a=f(3)=lg3,b= =﹣lg4,c=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣lg2,
∵lg3>﹣lg2>﹣lg4,
∴a>c>b,
故选A.
【点评】本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性,还考查了化归转化的数学思想和分析问题解决问题的能力,属于基础题.
 
6.若函数 为偶函数,则(  )
A.f(x)的最小正周期为π,且在 上为增函数
B.f(x)的最小正周期为 ,且在 上为增函数
C.f(x)的最小正周期为 ,且在 上为减函数
D.f(x)的最小正周期为π,且在 上为减函数
【考点】三角函数的化简求值;正弦函数的图象.
【专题】综合题;综合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
【分析】由两角和的正弦公式化简解析式,由三角函数的奇偶性和诱导公式列出方程,结合条件求出φ的值,由三角函数的周期、余弦函数的单调性得到答案.
【解答】解:由题意知,
=
= ,
∵f(x)是偶函数,∴ ,
则 ,
∵ ,∴φ= ,
则 ,
∴f(x)的最小正周期为π,且在 上为减函数,
故选:D.
【点评】本题考查两角和的正弦公式、诱导公式,三角函数的奇偶性和周期公式,以及余弦函数的单调性,考查化简、变形能力.
 
7.已知一几何体的三视图如图所示,俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成,则该几何体的体积为(  )
 
A.4π+8 B.4π+12 C.8π+8 D.8π+12
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】计算题;数形结合;空间位置关系与距离;立体几何.
【分析】由已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,代入柱体体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,
(也可看成是一个三棱柱和半圆柱的组合体),
其底面面积S= ×2×4+ π•22=2π+4,
高h=2,
故几何体的体积V=Sh=4π+8,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积,棱柱的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档.
 
8.在区间[﹣1,1]上随机取一个数k,使直线 与圆x2+y2=1相交的概率为(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】几何概型.
【专题】计算题;方程思想;演绎法;概率与统计.
【分析】利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点,求出满足条件的k,根据几何概型的概率公式计算即可.
【解答】解:要使直线 与圆x2+y2=1相交,
应满足 <1,
解得﹣ ≤k≤ ,
所以在区间[﹣1,1]上随机取一个数k,
使直线 与圆x2+y2=1相交的概率为P= = .
故选:C.
【点评】本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质问题,是基础题目.
 
9.下列四个图中,哪个可能是函数 的图象(  )
A.  B.  C.  D.

【考点】函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据 的图象由奇函数 左移一个单位而得,结合对称性特点判断.
【解答】解:∵ 是奇函数,向左平移一个单位得 ,
∴ 图象关于(﹣1,0)中心对称,故排除A、D,
当x<﹣2时,y<0恒成立,排除B.
故选:C
【点评】本题考查函数的图象变换及函数性质.作为选择题用排除法,特殊值法比较容易.解有关图象题目,要考虑定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊点的函数值.
 
10.如图,已知过双曲线 =1(a>0,b>0)的右顶点A2作一个圆,该圆与其渐近线bx﹣ay=0交于点P,Q,若∠PA2Q=90°,|PQ|=2|OP|,则该双曲线的离心率为(  )
 
A.  B.  C.  D.
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得△QA2P为等腰直角三角形,设|A2Q|=R,取PQ的中点M,求得|OM|=|PQ|,|A2M|,由渐近线的斜率和正切函数的定义,计算可得a=2b,运用离心率公式,即可得到所求值.
【解答】解:因为∠PA2Q=90°,|PQ|=2|OP|,
所以△QA2P为等腰直角三角形,
设|A2Q|=R,则|PQ|= R,|OP|= R,
取PQ的中点M,则|A2M|= R,|OM|=|OP|+|PM|= R,
在直角△OMA2中,tan∠MOA2= = = = ,
则离心率e= = = = .
故选:B.
 
【点评】本题考查双曲线的性质,主要是离心率的求法,考查垂径定理、正切函数的定义,考查学生的计算能力,属于中档题.
 
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.
11.已知α是第二象限角, ,则tanα= ﹣  .
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】利用同角三角函数的基本关系,诱导公式,求得tanα的值.
【解答】解:∵α是第二象限角, =sinα,∴cosα=﹣ =﹣ ,
则tanα= =﹣ ,
故答案为:﹣ .
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式的应用,属于基础题.
 
12.已知向量 与 满足 =(2,0),| |=1,若| + |= ,则a与b的夹角是   .
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用.
【分析】对 两边进行平方,根据条件进行数量积的运算即可得出 的值,进而得出向量 的夹角.
【解答】解:根据条件:
 ;
∴由 得, = ;
∴ ;
∴ ;
∴ ;
∴ 的夹角为 .
故答案为: .
【点评】考查根据向量坐标求向量长度的方法,向量数量积的运算及计算公式,已知三角函数值求角.
 
13.某程序框图如图所示,若运行该程序后输出S为   .
 
【考点】程序框图.
【专题】图表型;对应思想;试验法;算法和程序框图.
【分析】由图知,每次进入循环体后,S的值被累加运算,
由此运算规律进行计算,经过5次运算后输出结果即可.
【解答】解:由图知运算规则是对S=S+ ,故
第一次进入循环体后S=0+ = ,n=2
第二次进入循环体后S= + = ,n=3
第三次进入循环体后S= + = ,n=4
第四次进入循环体后S= + = ,n=5
第五次进入循环体后S= + = ,n=6
不满足循环条件,退出循环,输出s= .
故答案为: .
【点评】本题考查了利用循环结构球累加运算的应用问题,是算法中一种常见的题型.
 
14.已知正数x、y满足 ,则z=4﹣x 的最小值为   .
【考点】简单线性规划的应用;有理数指数幂的运算性质.
【专题】计算题;数形结合.
【分析】先将z=4﹣x 化成z=2﹣2x﹣y,再根据约束条件画出可行域,利用几何意义求最值,只需求出直线z1=﹣2x﹣y过点A(1,2)时,z1最大值即可.
【解答】解:根据约束条件画出可行域
∵z=4﹣x 化成z=2﹣2x﹣y
直线z1=﹣2x﹣y过点A(1,2)时,z1最小值是﹣4,
∴z=2﹣2x﹣y的最小值是2﹣4= ,
故答案为 .
 
【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.
 
15.已知函数f(x)= 在R上单调递减,且方程|f(x)|=2有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 [ , ] .
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】综合题;转化思想;演绎法;函数的性质及应用.
【分析】由减函数可知f(x)在两段上均为减函数,且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值,根据交点个数判断3a与2的大小关系,列出不等式组解出.
【解答】解:∵f(x)是R上的单调递减函数,
∴y=x2+(2﹣4a)x+3a在(﹣∞,0)上单调递减,y=loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减,
且f(x)在(﹣∞,0)上的最小值大于或等于f(0).
∴ ,解得 ≤a≤1.
∵方程|f(x)|=2有两个不相等的实数根,
∴3a≤2,即a≤ .
综上, ≤a≤ .
故答案为[ , ].
【点评】本题考查了分段函数的单调性,函数零点的个数判断,判断端点值的大小是关键,属于中档题.
 
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(12分)某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计,随机抽取了m名学生的成绩作为样本,根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下:
分组 频数 频率
[60,70) 16 0.2
[70,80) 50 n
[80,90) 10 P
[90,100] 4 0.05
合计 M I
(I)求表中n,p的值和频率分布直方图中a的值;
(II)如果用分层抽样的方法,从样本成绩在[60,70]和[90,100]的学生中共抽取5人,再从5人中选2人,求这2人成绩在[60,70]的概率.
 
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【专题】计算题;数形结合;数形结合法;概率与统计.
【分析】(Ⅰ)由频率= ,结合频率分布表和频率分布直方图,能求出表中n,p的值和频率分布直方图中a的值.
(Ⅱ)样本分数在[60,70)中的有16人,在[90,100)中的有4人,用分层抽样的方法,从样本成绩在[60,70]和[90,100]的学生中共抽取5人,则[60,70)中抽取4人,[90,100)中抽取1人,由此能求出结果.
【解答】解:(Ⅰ)由题意 ,解得m=80,
∴n= ,
∴p=1﹣0.2﹣0.625﹣0.05=0.125.
∴a= = =0.0625.
(Ⅱ)样本分数在[60,70)中的有0.02×10×80=16人,
在[90,100)中的有0.005×10×80=4人,
用分层抽样的方法,从样本成绩在[60,70]和[90,100]的学生中共抽取5人,
则[60,70)中抽取 =4人,[90,100)中抽取 =1人,
再从5人中选2人,基本事件总数n= ,
这2人成绩在[60,70)包含的基本事件个数m= =6,
这2人成绩在[60,70]的概率p= =0.6.
【点评】本题考查频率分布表、频率分布直方图、分层抽样的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
 
17.(12分)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c且 .
(I)求A;
(II)若△ABC的外接圆半径为 ,求△ABC面积的最大值.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形.
【分析】(I)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得 sinAcosA=cosA,结合cosA≠0,可得sinA,结合范围0 ,可求A的值.
(II)由(I)及正弦定理可求a,由余弦定理,基本不等式可求bc≤36,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】(本题满分为12分)
解:(I)∵ ,
∴ =1﹣cos(B+C),…1分
∴ sinAcosA=cosA,…2分
∵在锐角△ABC中,cosA≠0,…3分
∴ sinA=1,可得:sinA= ,…4分
∵0 ,
∴可得:A= …6分
(II)由(I)知sinA= ,且R=2 ,由正弦定理, ,
可得:a=2RsinA=4 × =6,…8分
由余弦定理,a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:36=b2+c2﹣2bc× ≥2bc﹣bc=bc,当且仅当b=c时等号成立…10分
∴bc≤36,…11分
∴S△ABC= bcsinA≤ =9 ,即三角形面积的最大值是9 .…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
 
18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*,λ>0),且a1,a2+2,a3+3成等差数列.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)令bn=(﹣1)nlog2an•log2an+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】综合题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)由已知数列递推式结合a1,a2+2,a3+3成等差数列求得λ值,进一步可得数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,则数列{an}的通项公式可求;
(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入bn=(﹣1)nlog2an•log2an+1,然后利用数列的分组求和得答案.
【解答】解:(Ⅰ)∵a1=1,an+1=λSn+1,
∴a2=λa1+1=1+λ,
由 ,
a1,a2+2,a3+3成等差数列,
得2(a2+2)=a1+a3+3.
∴2(1+λ+2)=1+(1+λ)2+3,解得λ2=1.
由λ>0,得λ=1,
∴an+1=Sn+1,①
n≥2时,an=Sn﹣1+1,②
①﹣②得:an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an,
n≥2时,an+1=2an,③
又∵a2=1+λ=2,a1=1,∴a2=2a1,
∴n=1时,③式也成立,
故数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列, .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, .
∴ ,
则 =4n﹣2.
∴T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n
=2+6+10+…+(4n﹣2)
= .
【点评】本题考查数列递推式,考查了等比数列通项公式的求法,训练了数列的分组求和,属中档题.
 
19.(12分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90.,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD.
(Ⅰ)若M是AB的中点,求证:平面CEM⊥平面BDE;
(Ⅱ)若N为BE的中点,求证:CN∥平面ADE.
 
【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.
【专题】证明题;对应思想;数形结合法;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)由ED⊥平面ABCD,可得ED⊥AD,ED⊥BD,由AE=BE,利用三角形全等可得AD=BD.再由M是AB的中点,得DM⊥AB,结合已知可得四边形BCDM是正方形,得BD⊥CM.由线面垂直的判定可得CM⊥平面BDE,从而得到平面CEM⊥平面BDE;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,由三角形中位线定理结合已知可得NG= AB,再由AB∥CD,且AB=2CD,可得四边形CDGN为平行四边形,由线面平行的判定可得.
【解答】证明:(Ⅰ)∵ED⊥平面ABCD,∴ED⊥AD,ED⊥BD,
∵AE=BE,∴△ADE≌△BDE,则AD=BD.
连接DM,则DM⊥AB,
∵AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,
∴四边形BCDM是正方形,则BD⊥CM.
又DE⊥CM,∴CM⊥平面BDE,
∵CM⊂平面CEM,∴平面CEM⊥平面BDE;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,
在△EBA中,∵N为BE的中点,∴NG∥AB且NG= AB,
又AB∥CD,且AB=2CD,∴NG∥CD,且NG=CD,
又四边形CDGN为平行四边形,∴CN∥DG.
又∵CN⊄平面ADE,DG⊂平面ADE,
∴CN∥平面ADE.
 
【点评】本题考查直线与平面平行,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,属中档题.
 
20.(13分)已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆 的右焦点F,点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点,且 .
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与椭圆C交于P,Q两点,直线l2与直线x=4交于点T,求 的取值范围.
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【专题】转化思想;转化法;圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】(Ⅰ)输出B的坐标,带入椭圆的方程,求出a2,b2的值,求出椭圆方程即可;
(Ⅱ)设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程组,得到(3m2+4)y2+6my﹣9=0,表示出 ,求出其范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)由y2=4x得其交点坐标是F(1,0),
设B(x0,y0),(x0>0,y0>0),
则|BF|=x0+1= ,解得:x0= ,
∴ =4× = ,
由点B在椭圆C上,得 + =1,
即 + =1,又a2=b2+1,
解得:a2=4,b2=3,
∴椭圆C的方程是 + =1;
(Ⅱ)设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由 ,得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
则△=36m2+36(3m2+4)>0,
y1+y2= ,y1y2= ,
∴|PQ|= |y1﹣y2|=  = ,
当m≠0时,直线FT的方程为y=﹣m(x﹣1),
由 ,得x=4,y=﹣3m,
即T(4,﹣3m),
∴|TF|=3 ,
∴ = • = (3 + ),
设t= ,则t>1,
则 = t+ ,
应用y= t+ 在(1,+∞)递增,
∴y>3+1=4,
则 > ×4=1,
当m=0时,PQ的中点是F,T(4,0),
ze|TF|=3,|PQ|= =3,
∴ =1,
综上, ≥1,
故 的取值范围是[1,+∞).
【点评】本题考查了求椭圆的方程问题,考查直线和圆的位置关系以及不等式的应用,是一道综合题.
 
21.(14分)已知函数 .
(I)若直线y=0与函数y=f(x)的图象相切,求a的值;
(Ⅱ)设a>0,对于∀x1,x2∈[3,+∞)(x1≠x2),都有
|f(x1)﹣f(x2)|<|g(x1)﹣g(x2)|,求实数a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】函数思想;转化法;导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)设出切点坐标,求出x0=﹣a,根据y0=x0+alnx0=0,求出a的值即可;
(Ⅱ)求出函数f(x)的导数,问题转化为a≤ ﹣x在[3,+∞)恒成立,即a≤ min,设v(x)= ,根据函数的单调性求出a的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)设y=0和y=f(x)的切点是(x0,y0),(x0>0),
∵f′(x)=1+ ,∴f′(x0)=1+ =0,
解得:x0=﹣a,
又∵y0=x0+alnx0=0,
∴a=﹣e;
(Ⅱ)f′(x)=1+ ,g′(x)= ,
又a>0,x∈[3,+∞),
∴f′(x)>0,∴g′(x)>0,
∴f(x),g(x)在[3,+∞)递增,
不妨设x1<x2,则f(x1)<f(x2),g(x1)<g(x2),
∴|f(x1)﹣f(x2)|<|g(x1)﹣g(x2)|⇔f(x2)﹣f(x1)<g(x2)﹣g(x1),
即f(x1)﹣g(x1)>f(x2)﹣g(x2),
设h(x)=f(x)﹣g(x),
∵h(x1)>h(x2),∴h(x)在[3,+∞)等价,
∵h′(x)=1+ ﹣ ≤0,
故a≤ ﹣x在[3,+∞)恒成立,
即a≤ min,
设v(x)= ,
v′(x)=ex﹣1[( + ]﹣1≥ e2﹣1>0,
∴v(x)在[3,+∞)递增,
∴v(x)≥v(3)= ﹣3,
∴a≤ ﹣3,而a>0,
故a的范围是(0, ﹣3].
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道综合题.

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