2018年春季学期高二期末考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.演绎推理“因为时，是的极值点，而对于函数，，所以0是函数的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．全不正确
3.已知为虚数单位，若复数的实部为-2，则（ ）
A．5 B． C． D．13
4.用反证法证明命题“若一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）
A．假设，，不都是偶数 B．假设，，都不是偶数
C．假设，，至多有一个是偶数 D．假设，，至多有两个是偶数
5.函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6.（1）[选修4-4：坐标系与参数方程]直线（为参数）的斜率为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
（2）[选修4-5：不等式选讲]不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7.设奇函数的最小正周期为，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
8.（1）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）[选修4-5：不等式选讲]不等式取等号的条件是（ ）
A． B．
C． D．
9.变量与的回归模型中，它们对应的相关系数的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
模型
1
2
3
4
0.48
0.15
0.96
0.30
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
10.（1）[选修4-4：坐标系与参数方程]在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（ ）
A． B． C． D．
（2）[选修4-5：不等式选讲]关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A．1 B．-1 C．-4 D．
12.在中，已知，，且最大边的长为，则的最小边为（ ）
A．1 B． C． D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.观察下列等式：
按此规律，第个等式可为 ．
14.对具有线性相关关系的变量，，有一组观察数据，其回归直线方程是：，且，，则实数的值是 ．
15.（1）[选修4-4：坐标系与参数方程]设抛物线，（为参数，）的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为 ．
（2）[选修4-5：不等式选讲]若存在实数使成立，则实数的取值范围是 ．
16.椭圆的焦点为、，为椭圆上的一点，，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，.
（1）若，求，；
（2）若，为实数，求，的值.
18.为了调查喜欢看书是否与性别有关，某校调查小组就“是否喜欢看书”这个问题，在全校随机调研了100名学生.
（1）完成下列列联表：
喜欢看书
不喜欢看书
合计
女生
15
50
男生
25
合计
100
（2）能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”.
附：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
19.在数列中，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
20.是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2018年上半年每天的监测数据中随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如图所洋（十位为茎，个位为叶）.
（1）求这18个数据中不超标数据的方差；
（2）在空气质量为一级的数据中，随机抽取2个数据，求其中恰有一个为日均值小于30微克/立方米的数据的概率；
（3）以这18天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量超标.
21.（Ⅰ）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.
（1）当时，求与的交点的极坐标；
（2）直线与曲线交于，两点，且两点对应的参数，互为相反数，求的值.
（Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲]已知函数，其中.
（1）当时，写出函数的单调区间；
（2）若函数为偶函数，求实数的值；
（3）若，函数的最小值为，求.
22.设函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数与在区间内恰有两个交点，求实数的取值范围.
2018年春季学期高二期末考试
文科数学参考答案
一、选择题
1-5: CACBC 6.（1）C （2）C 7. B 8.（1）C （2）C 9. C 10.（1）B （2）B 11、12：CC
二、填空题
13. 14. 0
15.（1） （2） 16. 8
三、解答题
17.（1）向量，对应的复数分别为，.
∴.
∴，.
解得.
∴，.
（2），为实数，
∴，，
∴，解得，
∴，解得.
∴，.
18.（1）列联表如下：
喜欢看书
不喜欢看书
合计
女生
35
15
50
男生
25
25
50
合计
60
40
100
（2）根据列联表中数据，计算
，
对照临界值知，不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”.
19.（1）的两边同时除以，
得，
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列.
（2）由（1），得，
所以，故，
所以
.
20.（1）均值
，
方差
.
（2）由题目条件可知，空气质量为一级的数据共有4个，分别为26，27，33，34.则随机抽取2个数据的基本事件空间为，共由6个基本事件组成，
设“其中恰有一个为日均值小于30微克/立方米的数据”为事件，则，共有4个基本事件，
所以.
（3）由题意，一年中空气质量超标的概率.
，所以一年（按360天计算）中约有160天的空气质量超标.
21.（Ⅰ）（1）由，可得，
所以，即，
当时，直线的参数方程（为参数），化为直角坐标方程为，
联立，解得交点为或，
化为极坐标为，，
（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，
由题意可知，，
所以.
（Ⅱ）（1）当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为函数为偶函数，所以，即，
解得.
又当时，为偶函数.
所以.
（3）若，
则，
则.
22.（1），∵，时，，所以函数的单调递增区间是.
（2）令，则，
∴时，，时，，
∴是的极大值，也是在上的最大值.
∵函数与在区间内恰有两个交点，
∴函数在区间内有两个零点，则有，，.
所以有.
解得，所以的取值范围是.
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