2017年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（ ）
A．328×106元 B．32.8×107元 C．3.28×108元 D．0.328×109元
2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）计算3﹣2的结果是（ ）
A．﹣6 B． C． D．﹣
4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≥1
5．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（ ）
A． B． C． D．
6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（ ）
A．正方形有且只有一个内切圆
B．正方形有无数个外接圆
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）的相反数是 ，的倒数是 ．
8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论： ．
9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是 ．
27
10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= ．
11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是 ．
12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= °．
13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH的面积是 ．
14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是 °时，CD∥AB．
15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是 ．
16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．
27
18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是 ．
19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2017年2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：
日期
2月6日
2月7日
2月8日
2月9日
2月10日
2月11日
2月12日
步数
2.1
1.7
1.8
1.9
2.0
1.8
2.0
（1）制作适当的统计图表示小莉爸爸这7天步行的步数的变化趋势；
（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；
（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．
20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．
22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为
27
1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）
23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．
求证：AB=AC．
三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．
（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由： ；
（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．
24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．
（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．
25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：
27
（1）快车的速度为 km/h，慢车的速度为 km/h，甲乙两地的距离为 km；
（2）求出发多长时间，两车相距100km；
（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．
26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，
且∠CBP=60°．
①求∠OBD的度数；
②求点P的坐标．
27．（12分）【问题提出】
我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．
27
【初步思考】
在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：
①AB=CD；
②AD=BC；
③AB∥CD；
④AD∥BC；
⑤∠BAD=∠BCD；
⑥∠ABC=∠ADC；
⑦OA=OC；
⑧OB=OD．
那么满足2个条件的四边形是不是平行四边形呢？
【深入探究】
小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：
Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；
Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；
Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．
（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．
（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理1： ；
定理2： ；
定理3： ．
（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：
真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．
（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．
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假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．
反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．
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2017年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）据报道，截止2016年12月27日，根据江苏作家张嘉佳小说改编的电影《摆渡人》累计票房达32800万元，用科学记数法表示32800万元是（ ）
A．328×106元 B．32.8×107元 C．3.28×108元 D．0.328×109元
【解答】解：将32800万用科学记数法表示为：3.28×108，
故选：C．
2．（2分）下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．（2分）计算3﹣2的结果是（ ）
A．﹣6 B． C． D．﹣
【解答】解：3﹣2=，
故选：C．
4．（2分）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≥1
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【解答】解：根据题意，得
2x﹣2≥0，
解得，x≥1．
故选：D．
5．（2分）一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形．设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，
根据题意，得．
故选：B．
6．（2分）下列关于正方形的叙述，正确的是（ ）
A．正方形有且只有一个内切圆
B．正方形有无数个外接圆
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．用一根绳子围成一个平面图形，正方形的面积最大
【解答】解：A、正确．正方形有且只有一个内切圆；
B、错误．正方形有且只有一个外接圆；
C、错误．对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形；
D、错误．用一根绳子围成一个平面图形，圆形的面积最大；
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）的相反数是 ﹣ ，的倒数是 ．
【解答】解：的相反数是﹣，倒数是．
故答案为﹣，．
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8．（2分）若△ABC∽△DEF，请写出1个正确的结论： 答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， ==等 ．
【解答】解：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， ==等；
故答案为：答案不唯一，如：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， ==等．
9．（2分）把4x2﹣16因式分解的结果是 4（x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：原式=4（x2﹣4）=4（x+2）（x﹣2）
故答案为：4（x+2）（x﹣2）
10．（2分）已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5=0的两个根，则x12+x22﹣x1x2= 16 ．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣1，x1x2=﹣5，
所以x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=（﹣1）2﹣3×（﹣5）=16．
故答案为16．
11．（2分）已知点A（3，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=的图象上的两点，且y1＜y2．写出满足条件的m的一个值，m可以是 2（答案不唯一） ．
【解答】解：∵y=的图象位于一三象限，点A在第一象限，
∴y1＞0，y随x的增大而减小．
∵当m＜0时，点B位于第三象限，
∴y2＜0．
故假设不成立．
当m＞0时，点B位于第一象限，
∴y2＞0．
又∵y1＜y2，
∴m＜3．
∴0＜m＜3．
所以m的值可为2．
27
故答案为：2．
12．（2分）如图，∠3=40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2= 220 °．
【解答】解：如图，
∵直线b平移后得到直线a，
∴a∥b，
∴∠1+∠4=180°，即∠4=180°﹣∠1，
∵∠5=∠3=40°，
∴∠2=∠4+∠5=180°﹣∠1+40°，
∴∠1+∠2=220°．
故答案为220．
13．（2分）如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若AC=a，BD=b，则四边形EFGH的面积是 ab ．
【解答】解：∵点E、F分别是菱形AB、BC边上的中点，
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∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AC，且EF∥AC．
同理，HG=AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EH∥FG，EH=FG=BD．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH的面积=EF•EH=a•b=ab．
故答案是： ab．
14．（2分）如图，△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是 100或280 °时，CD∥AB．
【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°﹣60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，
∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，
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∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°﹣60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，
∴旋转角为270°+10°=280°，
综上所述，当旋转角为100°或280°时，边CD恰好与边AB平行．
故答案为：100或280．
15．（2分）平面直角坐标系中，原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1的坐标是 （，） ．
【解答】解：如图，∵原点O关于直线y=﹣x+4对称点O1，
∴OO1⊥AB，
设O1O与直线y=﹣x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，
由直线y=﹣x+4可知A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∵S△AOB=OA•OB=AB•OD，
27
∴OD==，
∴OO1=，
∵∠ADO=∠O1EO=90°，∠AOD=∠EOO1，
∴△AOD∽△O1OE，
∴=，即=，
∴OE=，
∴O1E==，
∴点O1的坐标是（，），
故答案为（，）．
16．（2分）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 5 ．
【解答】解：∵PC、PB是⊙O的切线，
∴∠PCO=∠PBO=90°，
∴点C、B在以OP为直径的圆上，
∵BC是这个圆的弦，
∴当BC=OP=5时，BC的值最大（直径是圆中最长的弦）．
故答案为5．
27
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）先化简，再求值：，其中x=3．
【解答】解：原式=+•=+1=，
当x=3时，原式==2．
18．（7分）（1）解不等式﹣≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是 ﹣4＜a≤﹣3 ．
【解答】解：（1）∵2x﹣3（x﹣1）≤6，
∴2x﹣3x+3≤6，
解得x≥﹣3，
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
．
（2）∵关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，
∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．
故答案为：﹣4＜a≤﹣3．
19．（6分）QQ运动记录的小莉爸爸2017年2月份7天步行的步数（单位：万步）如下表：
27
日期
2月6日
2月7日
2月8日
2月9日
2月10日
2月11日
2月12日
步数
2.1
1.7
1.8
1.9
2.0
1.8
2.0
（1）制作适当的统计图表示小莉爸爸这7天步行的步数的变化趋势；
（2）求小莉爸爸这7天中每天步行的平均步数；
（3）估计小莉爸爸2月份步行的总步数．
【解答】解：（1）用折线统计图表示小莉爸爸这7天内步行的步数如下：
；
（2）小莉爸爸这7天内每天步行的平均步数为：
=×（2.1+1.7+1.8+1.9+2.0+1.8+2.0）=1.9（万步）．
（3）小莉爸爸2月份步行的步数约为：1.9×28=53.2（万步）．
20．（7分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
27
【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故转动一次，指针指向白色区域的概率为： =，
则转动一次，指针指向阴影区域的概率为：，
故让转盘自由转动两次．指针一次落在黑色区域，另一次落在白色区域的概率是：2××=．
21．（7分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．
【解答】解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．
根据题意，得（2﹣1.5）x（x+0.5）×120=180，
解得 x1=﹣2，x2=1.5．
所以x=1.5，x+0.5=2．
答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．
27
22．（7分）如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离（BD）是200m，如果爸爸的眼睛离地面的距离（AB）为1.6m，小莉的眼睛离地面的距离（CD）为1.2m，那么气球的高度（PQ）是多少m？（用含α、β的式子表示）
【解答】解：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F，
设PQ=xm，则PE=（x﹣1.6）m，PF=（x﹣1.2）m．
在△PEA中，∠PEA=90°．
则tan∠PAE=．
∴AE=．
在△PCF中，∠PFC=90°．
则tan∠PCF=．
∴CF=．
∵AE+CF=BD．
∴+=200．
解，得x=．
答：气球的高度是m．
23．（8分）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．
27
求证：AB=AC．
三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC的平分线AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小亮的方法：作BC边上的高AD，可证△ABD≌△ACD，得AB=AC；小莉的方法：作BC边上的中线AD．
（1）请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由： AAS ；
（2）请你按照小莉的思路完成命题的证明．
【解答】解：（1）△ABD≌△ACD的理由是AAS，
故答案为AAS．
（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C，BD=CD．
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴BE=CF，DE=DF．
在Rt△AED和Rt△AFD中，∠AED=∠AFD=90°．
∵AD=AD，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD．
∴AE=AF．
∴AE+BE=AF+CF．
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即AB=AC．
24．（8分）已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，AD是BC边上的高．
（1）请用尺规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB=8，AC=6，AD=5.4，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，⊙O是所求作的图形．
（2）如图，作⊙O的直径AE，连接BE．
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°．
∵∠ADC=∠ABE=90°，∠C=∠E，
∴△ABE∽△ADC，
∴=．即 =，
解得AE=．
∴⊙O的半径为．
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25．（10分）快车和慢车同时从甲地出发，匀速行驶，快车到达乙地后，原路返回甲地，慢车到达乙地停止．图①表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，请结合图①中的信息，解答下列问题：
（1）快车的速度为 km/h，慢车的速度为 150 km/h，甲乙两地的距离为 50 km；
（2）求出发多长时间，两车相距100km；
（3）若两车之间的距离为s km，在图②的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．
【解答】解：（1）快车的速度为300÷2=150km/h，慢车的速度为：300÷6=50km/h，甲乙两地的距离为300km，
故答案为：150，50，300；
（2）快车在行驶过程中离A地的路程y1与时间x的函数关系式：
当0≤x＜2时，y1=150x，
当2≤x≤4时，y1=300﹣150（x﹣2），即y1=600﹣150x．
慢车在行驶过程中离A地的路程y2与时间x的函数关系式：
当0≤x≤6时，y2=50x，
由题意，得
①当0≤x＜2时，y1﹣y2=100，150x﹣50x=100，解得x=1；
②当2≤x＜3时，y1﹣y2=100，600﹣150x﹣50x=100，解得x=2.5；
③当3≤x＜4时，y2﹣y1=100，50x﹣（600﹣150x）=100，解得x=3.5；
④当4≤x≤6时，两车相距大于100km．
答：出发1 h或2.5h或3.5h后，两车相距100km；
（3）s与x的函数图象如图所示：
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26．（10分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，
且∠CBP=60°．
①求∠OBD的度数；
②求点P的坐标．
【解答】（1）由题意知：，解得．
∴该二次函数的表达式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）①∵当x=0时，y=﹣4．
∴抛物线与y轴交点D的坐标为（0，﹣4）．
∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4，
∴BD==8，即BD=2OB，
27
∴∠ODB=30°．
∴∠OBD=60°；
②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，
∵x=3时，m=﹣4．
∴点C的坐标为（3，﹣4）．
∵CD∥x轴，
∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．
∴DF=CD=，CF==，
∵BD=8，
∴BF=8﹣=，
设点P的坐标为（x， x2﹣3x﹣4）．
则PE=﹣x2+3x+4，BE=4﹣x，
∵∠CBP=∠OBD=60°，
∴∠CBF=∠PBE．
∵∠CFB=∠PEB=90°．
∴△CBF∽△PBE．
∴=．
∴=．
27
解得：x1=4（舍去），x2=﹣．
∵当x=﹣时，y=﹣．
∴点P的坐标为（﹣，﹣）．
27．（12分）【问题提出】
我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．
【初步思考】
在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件．如图1，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个条件：
①AB=CD；
②AD=BC；
③AB∥CD；
④AD∥BC；
⑤∠BAD=∠BCD；
⑥∠ABC=∠ADC；
⑦OA=OC；
⑧OB=OD．
那么满足2个条件的四边形是不是平行四边形呢？
【深入探究】
小莉所在学习小组进行了研究，她们认为2个条件可分为以下六种类型：
Ⅰ关于对边的2个条件；Ⅱ关于对角的2个条件；
Ⅲ关于对角线的2个条件；Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个；
Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个；Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个．
（1）小明认为“Ⅰ关于对边的2个条件”可分为“①②，③④，①③，①④”共4种不同种类的情形．请你仿照小明的叙述对其它五种类型进一步分类．
（2）小红认为有4种情形是平行四边形的判定依据．请你写出其它的三个判定定理．
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；
27
定理2： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ；
定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．
（3）小刚认为除了4个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的1个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题（无需证明）：
真命题1：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形．
（4）小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的1个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它假命题并举反例进行说明．
假命题1：四边形ABCD中，若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．
反例说明：如图2，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，显然四边形ABCD不是平行四边形．
【解答】（1）解：Ⅱ关于对角的2个条件可分为“⑤⑥”共1种情形；
Ⅲ关于对角线的2个条件可分为“⑦⑧”共1种情形；
Ⅳ关于边的条件与角的条件各1个可分为“①⑤，③⑤”共2种情形；
Ⅴ关于边的条件与对角线的条件各1个可分为“①⑦，③⑦”共2种情形；
Ⅵ关于角的条件与对角线的条件各1个可分为“⑤⑦，⑥⑦”共2种情形．
（2）解：定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形
（3）证明：∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴2∠BAD+2∠ABC=360°，2∠ABC+2∠BCD=360°．
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°．
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
真命题2：四边形ABCD中，若AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形；
真命题3：四边形ABCD中，若AB∥CD，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；
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真命题4：四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形；
（4）解：假命题2：四边形ABCD中，若AB=CD，∠BAD=∠BCD，则四边形ABCD不一定是平行四边形．
反例如下：如图△ABC中，AB=AC，在BC上取一点D，连接AD，
把△ADC翻转得如图所示的四边形ABDC，
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
在四边形ABDC中，AB=CD，∠B=∠C，
显然，四边形ABDC不是平行四边形．
假命题3：四边形ABCD中，若AB=CD，OA=OC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．
反例如下：如图，OA=OC，直线l经过点O，分别以A、C为圆心，
一定的长为半径画弧交直线l于点B、D，得如图所示的四边形ABCD，
在四边形ABCD中，AB=CD，OA=OC，
显然，四边形ABDC不是平行四边形．
假命题4：四边形ABCD中，若∠BAD=∠BCD，OA=OC，则四边形ABCD不一定是平行四边形．
反例如下：如图，筝形ABCD中，∠BAD=∠BCD，OA=OC，显然四边形ABCD不是平行四边形．
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