功与能一.功的概念1.做功不可缺少的两个因素：力和物体在力的方向上的位移2.功的公式：W=Fscosα。功等于力乘以力的方向上的位移W=F·scosα，功等于位移乘以位移方向上的力W=s·Fcosα。用功的公式计算功时，有时用力乘以力的方向上的位移，有时用位移乘以位移方向上的力，当然最基本的方法还是用力F乘以位移s再乘以力与位移夹角的余弦cosα。实际应用中哪种方法方便用哪种。3.力是改变物体速度的原因，功是改变物体的动能的原因。4.功有正有负，但功是标量。功的正负不表示方向，功的正负表示力对物体做功的性质。力对物体做正功，表示这个力是动力，使物体动能增加；力对物体做负功，表示这个力是阻力，使物体动能减少。5.适用条件：恒力做功二、功的几种常用计算方法1.用功的公式计算功，计算恒力做功。2.用公式W=Pt计算功，适用于求以恒定功率做功的变力功。3.由动能定理W合=ΔEk计算功。可以求恒力做功，也可以求变力做功。4.功是能量转化的量度，对于大小、方向都随时变化的变力F所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解。【例1】如图所示，质量为m的小物体相对静止在楔形物体的倾角为θ的光滑斜面上，楔形物体在水平推力F作用下向左移动了距离s，在此过程中，楔形物体对小物体做的功等于().A．0B．mgscosθC．FsD．mgstanθ【例2】一辆汽车在平直公路上从速度v0开始加速行驶，经时间t后，前进了距离s，此时恰好达到其最大速度vmax，设此过程中发动机始终以额定功率P工作，汽车所受阻力恒为f,则在这段时间里，发动机所做的功为()A．fsB．PtC．mvmax2/2-mv02/2+FsD．f·(vmax+v0)/2·t三、动能定理1.内容：合力做的功等于动能的变化。2.公式：W合=ΔEk3.应用动能定理解题的一般步骤①明确研究对象。②对研究对象进行受力分析并分析每个力的做功情况，弄清每个力做不做功，是做正功还是负功，总功是多少。③分析研究对象运动过程，明确初末状态的动能。9
④根据动能定理列方程求解。4.应用动能定理解题的注意事项①受力分析是基础，一定不能搞错②考虑外力做功时，如果研究对象的运动由几个物理过程组成，必须看清该力在哪个过程做功，不能一概认为是全过程做功。③当研究对象的运动由几个物理过程组成时，若不需要研究全过程的中间状态，可以把这几个物理过程看成一个整体过程，从而避免分析每个运动过程的具体细节。④根据动能定理列方程时，方程的左边是功，合力的功，方程的右边是能，末动能减初动能。⑤动能定理不涉及物体运动过程中的细节，因此用它处理某些问题一般要比应用牛顿第二定律和运动学公式更为方便，同时它还可以解决中学阶段用牛顿运动定律无法求解的一些变力问题和曲线运动问题，因此能用动能定理解决的问题（尤其是不涉及加速度和时间的问题）应尽量用动能定理解决。【例3】一列火车由机车牵引沿水平轨道行使，经过时间t，其速度由0增大到v。已知列车总质量为M，机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力。求：这段时间内列车通过的路程。【例4】如图所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行。设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够长.求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s。四、能量守恒定律1.能量守恒定律的表达式主要有以下两种：①初状态能量等于末状态能量②减少的能量等于增加的能量2.能量守恒定律可从以下两个角度理解：①某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。【例5】9
如图所示，一根长为l的轻绳，一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球．用外力把小球提到图示位置，使绳伸直，并在过O点的水平面上方，与水平面成30°角．从静止释放小球，求小球通过O点正下方时绳的拉力大小。O【例6】如图所示，有一根轻杆AB，可绕O点在竖直平面内自由转动，在AB端各固定一质量为m的小球，OA和OB的长度分别为2a和a，开始时，AB静止在水平位置，释放后，AB杆转到竖直位置。（1）AB杆转到竖直位置时A、B两端小球的速度各是多少？（2）在这个过程中，杆对两小球做的功分别是多少？ABO【例7】如图所示，皮带的速度为3m/s，两圆心距离s=4.5m，现将m=1kg的小物体轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数为μ=0.15，电动机带动皮带将物体从左轮正上方运送到右轮正上方时，电动机消耗的电能是多少？9
五、功能关系：功是能量转化的量度力学中，功和能关系主要有以下几种：①重力做功与重力势能的关系：WG=-ΔEP，重力做功等于重力势能的减少。与之类似，弹簧弹力对物体做功等于弹簧弹性势能的减少。②合外力对物体做的功等于物体动能的变化量：W合=ΔEk③除系统内的重力和弹簧弹力外，其它力做的总功等于系统机械能的变化量：W其它=ΔE【例8】一质量均匀不可伸长的绳索，重为G，A、B两端固定在天花板上，如图所示，今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置（）A．逐渐升高 B．逐渐降低 C．先降低后升高 D．始终不变【例9】如图所示，质量为m的小铁块A以水平速度v0冲上长为L、置于光滑水平面C上的木板B，正好不从木板上掉下，已知A、B间的动摩擦因数为μ，此时木板对地位移为s，求这一过程中：（1）木板增加的动能；（2）小铁块减少的动能；（3）系统机械能的减少量；（4）系统产生的热量。六、精讲精练1.为了缩短航空母舰上飞机起飞前行驶的距离，通常用弹簧弹出飞机，使飞机获得一定的初速度，进入跑道加速起飞．某飞机采用该方法获得的初速度为V0，之后，在水平跑道上以恒定功率P沿直线加速，经过时间t，离开航空母舰且恰好达到最大速度Vm。设飞机的质量为m，飞机在跑道上加速时所受阻力大小恒定．求：（1）飞机在跑道上加速时所受阻力f的大小；（2）航空母舰上飞机跑道的最小长度s．9
2.有一光滑水平板，板的中央有一小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m1和m2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（如下图）．若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速圆周运动？3.如图所示，AB为斜轨道，与水平方向成45°角，BC为水平轨道，两轨道在B处通过一段小圆弧相连接，一质量为m的小物块，自轨道AB的A处从静止开始沿轨道下滑，最后停在轨道上的C点，已知A点高h，物块与轨道间的滑动摩擦系数为μ，求：①在整个滑动过程中摩擦力所做的功。②物块沿轨道AB段滑动时间t1与沿轨道BC段滑动时间t2之比。③使物块匀速地、缓慢地沿原路回到A点所需做的功。4.如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直放置，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=0.5m，斜面长L=2m，现有一个质量m=0.1kg的小物体P从斜面AB上端A点无初速下滑，物体P与斜面AB之间的动摩擦因数为=0.25．求：9
（1）物体P第一次通过C点时的速度大小和对C点处轨道的压力各为多大？（2）物体P第一次离开D点后在空中做竖直上抛运动，不计空气阻力，则最高点E和D点之间的高度差为多大？（3）物体P从空中又返回到圆轨道和斜面，多次反复，在整个运动过程中，物体P对C点处轨道的最小压力为多大？5.如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径为R．一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，在弹力的作用下获一向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点．求：（1）弹簧对物块的弹力做的功．（2）物块从B至C克服阻力做的功．（3）物块离开C点后落回水平面时其动能的大小．6.质量过为4kg的铅球，从离沙坑1.8m的高处自由落下。铅球落进沙坑后陷入0.2m深而停止运动，求沙坑对铅球的平均阻力(g取10m／s2)。7..总质量为M的列车，沿平直轨道匀速前进，质量为m的末节车厢中途脱钩，当司机发觉时，机车已行驶L距离，于是他立即关闭油门，撤去牵引力。设车运动的阻力与重力成正比，机车的牵引力为定值，当列车的两部分都停止运动时，它们的距离是多少?9
8.如图所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？9.如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s。求小滑块与接触面间的动摩擦因数（设滑块与各部分的动摩擦因数相同）。10.如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用。当拉力为F时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R。当拉力逐渐增至4F时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R／2。在此过程中，拉力对小球做了多少功？11.如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝5.0m，轨道在C处与水平地面相切。在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平面上的D点，求C、D间的距离s。取重力加速度g＝10m/s2。9
12.有一高台离地面的高度h＝5.0m，摩托车运动员以v0＝10m/s的初速度冲上高台后，以vt＝7.5m/s的速度水平飞出。摩托车从坡底冲上高台过程中，历时t＝16s，发动机的功率恒为P＝1.8kW。人和车的总质量m＝1.8×102kg（可视为质点）。不计空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。求：（1）摩托车的落地点到高台的水平距离；（2）摩托车落地时速度的大小；（3）摩托车冲上高台过程中克服摩擦阻力所做的功。v0h13.测定运动员体能的一种装置如图所示，运动员质量m1，绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮（不计滑轮摩擦、质量），悬挂重物m2，人用力蹬传送带而人的重心不动，使传送带上侧以速率v向右运动，下面是人对传送带做功的四种说法正确的是（）A.人对传送带做负功；B.人对传送带不做功；C.人对传送带做功的功率为m2gv；D.人对传送带做功的功率为（m1＋m2）gv14.如图所示，长为0.4米的细线一端拴一小球，另一端固定在O点。在O点正下方距O点0.3米处有一细杆P，使小球从图示位置释放运动到最低点A后，绕P做圆周运动。当小球绕P运动到最高点时，如果只有重力提供向心力，那么小球的速度最小。不计一切摩擦，取g＝10m/s2。求：（1）小球绕P运动到最高点时的最小速度（2）为使小球能绕P做圆周运动，从图示位置由静止释放时距最低点A的最小高度H是多少？OP.HA15.光滑水平面上静置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v1射入木块，以速度v2穿出，木块速度变为v，在这个过程中，下列说法中正确的是（）（A）子弹对木块做的功为Mv2/2，（B）子弹对木块做的功等于子弹克服阻力做的功，（C）子弹对木块做的功等于木块获得的动能与子弹跟木块间摩擦生热的内能之和，（D）子弹损失的动能等于木块获得的动能与子弹跟木块间摩擦生热的内能之和。9
16.如图所示，电梯与水平地面成θ角，一人站在电梯上，电梯从静止开始匀加速上升，到达一定速度后再匀速上升．若以N表示水平梯板对人的支持力，G为人受到的重力，f为电梯对人的静摩擦力，则下列结论正确的是()A．加速过程中f≠0，f、N、G都做功B．加速过程中f≠0，N不做功C．加速过程中f＝0，N、G都做功D．匀速过程中f＝0，N、G都不做功17.民用航空客机的机舱一般都设有紧急出口，飞机发生意外情况着陆后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个由气囊构成的斜面。如图所示为某气囊斜面，机舱离底端的竖直高度AB=3.0m，斜面长AC=5.0m，斜面与水平地面CD段间有一段小圆弧平滑连接。旅客从气囊上由静止开始滑下，其与气囊、地面间的动摩擦因数均为μ=0.55，不计空气阻力，g=10m/s2。求：(1)人滑到斜面底端C时的速度大小；(2)人离开C点后还要在地面上滑行多远才能停下。18.如图所示，一固定的锲形木块，其斜面长为3S，倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B（可视为质点）连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A自斜面顶端沿斜面下滑而B上升。当A、B位于同一高度时细线突然断了，不计物块A与斜面间的摩擦，求：（1）细线断时两物块的速度大小。（2）物块B上升的最大高度。19.如图所示，汽车在拱形桥上由A匀速运动到B，以下说法正确的是（）A．牵引力与克服摩擦力做的功相等B．牵引力和重力做的功大于克服摩擦力做的功C．合外力对汽车不做功D．重力做功的功率保持不变9
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