质数和合数

问题、冲突、猜想、验证——五年级上册《质数与合数》教学实录东北师范大学附属小学王春英一、教材分析本节课是新世纪小学五年级上册第一单元“倍数与因数”的第5节“找质数”。学生已经学习了2，3，5的倍数特征以及找一个数的因数的方法，本节课的学习，将为后续学习公因数、约分、公倍数、通分奠定基础。教材根据前面“找因数”的编写思路，引导学生通过用小正方形拼长方形的活动认识质数与合数。教材用“12个小正方形可以拼成三种长方形”作为示范，引导学生自己动手操作，试一试用2—12个小正方形可以拼成多少种不同的长方形，同时让学生找2-12各个数的全部因数，并填入表中，观察每个数的因数看有什么不同，有的只能拼成一种长方形，这样的数只有1和它本身两个因数，有的能拼成两种或两种以上的长方形，这样的数有两个以上的因数，揭示质数、合数的概念。质数与合数的意义属于数论内容，比较抽象，与学生实际生活距离较远，学生理解起来有一定困难。教材创设让学生拼长方形的操作活动，将抽象的找质数活动换成有直观操作的实践活动，在活动中体会质数与的合数的特点，逐步发现规律，促进学生从具体操作中抽象出概念，丰富了对质数特征认识直观经验。同时在活动中，使学生体会到数学与生活的紧密联系，并在分类中认识质数与合数，关注知识、方法的形成过程。二、学生分析为了了解学生对概念的认识到底掌握到什么程度，在进行教学设计前，我做了一个前测，结果显示:10人没听说过“质数”这个词，15人听说过，但不是很明白。其余16人认为自己已经知道质数是怎么回事了，9人认为自己非常理解。所以在质数合数概念呈现之后，我为学生提供一个开放的问题，给出1～20个数，让学生重新认识这些数，并得出一些规律性的结论。这个活动为学生提供了广阔的思考时空，放手让学生去探究，关注有差异的学生去发现，实现自己的学习过程，得到不同的发展，并在辨析中，明确概念、加深理解。三、教学目标 1．通过用小正方形拼长方形的活动，理解和掌握质数与合数的特征，并能判断一个数是质数或合数。2．通过操作活动和合作学习，培养合情推理以及抽象概括的能力。3．通过了解质数研究的历史，感受数学文化的魅力。。四、教学过程（一）故事引入师：老师先给大家讲一段小故事。在二百多年前有一位德国的中学数学教师，他特别热衷研究数学问题，有一次他发现了一个神奇的数学现象，提出了一个猜想，但不知道对不对，就向当时最著名的数学家欧拉请教，不能发短信，更不能发电子邮件，就写信。数学大师冥思苦想后，在回信中写道：我确信你的论断是对的，但我无法证明它。这个猜想轰动了整个数学界。数学家们跃跃欲试，但谁都没证明出来。直到四十二年前，我们中国的一位数学家也进行了此项研究，他的成果一直保持着世界领先记录，离成功只有一步之遥，但也没有完整证明出来。再后来，在2000年，英美两国曾悬赏100万美元，奖励能证明这个猜想的人，但至今未果。这个猜想太神奇了。想知道这个猜想吗？学完这节课我们就能了解了。（二）拼长方形比赛，感知一个数的因数的个数决定拼摆长方形方案的多少。1、师引领示范，说明游戏规则师：这是什么形？（出示一个正方形，贴在黑板上）你猜下一个是什么形？又来三个正方形。（再贴三个）看清楚了，我拼一拼，这次呢？拼成了一个长方形。再拼。这次什么形？正方形也是特殊的长方形。刚才我把4个小正方形全用上，能拼成几种不同的长方形？2、摆长方形游戏，感受影响拼长方形种数的因素，并提出猜想（1）宣布任务师：我用4个小正方形最多能拼出2种不同形状的长方形，你能不能也像刚才那样，用手里的小正方形拼成长方形？老师给每个小组都准备了一些小正方形，每组的块数不一样，把所有的小正方形都用上，拼成长方形，比一比，哪个小组拼成长方形的方案最多。请小组成员分工合作，把方案记录在表格里。（老师在课前给不同的小组发放了不同数量的长方形，分别是3、7、9、10、11、12、18、24。学生活动开始，教师巡视）（2）小组汇报，全班交流 师：设计好了吗？哪个组先来汇报？从第一组开始吧。学生汇报小正方形个数分别是3、7、9、10、11、12、18、24能拼成几种不同的长方形，老师根据学生的汇报，填在黑板的表格里。小正方形的总个数长摆（）个宽摆（）个　……　　　　　　　　……　　　　……在学生汇报完24个小正方形能拼成4种长方形后，老师点评：他们这组有这么多种，真行啊，这组就是今天的冠军吧。同不同意？学生强烈反对，一致认为不公平。生1：老师你给我们的数不一样。师：怎么不一样？生：他们组是24，数最大，我们都没有他们的大，数大方案就多。师：他们认为数大方案就多，数小方案就少生2:我们组是11，只有一种方案，我认为奇数的少，偶数的方案多。师：谁还有不同意见？生3：我们组是7，因数只有2个，他们组是24，24的因数有8个，所以他们设计的方案多。师小结：通过刚才的讨论，我们猜测设计方案的多少受到了一些因素的影响，有的认为数大方案多，有的认为偶数比奇数方案多，还有的认为和因数个数有关。是不是像你们猜想的那样，到底什么因素最终决定设计方案的多少呢？我们再试一次，好不好。3、抢数游戏，进一步感受因数个数决定设计方案的多少（1）宣布要求师：刚才是老师分给你们的数，不公平，这回老师这有一些数，你们自己挑，看哪个好要哪个。 师：老师先说一下这次活动的要求：这次的数比刚才大，设计方案时可以摆，可能会出现一些困难。我们看哪个组不用摆，就能知道有几种方案。然后也把结果记录在表格里。这几个数是这样的,【师贴出这几个数，45（2个）、48（2个）、59（2个）、62（2个）下面挂着小正方形袋】，每个小组只挑一个数研究，选好的组可以来挑了。（学生争先恐后抢到数后开始活动，教师巡视）（2）汇报师：刚才每个小组用自己挑的数，设计方案，结合我们刚才的猜想，现在你有什么发现？试着用手里的数据来举例说明。生：我不认为数大方案就多。比如我们这次盲目的抢到了一个大数62，但我们发现它只能设计出两种长方形，我们发现48虽然没有62大，但它才是这里的王者，他的设计方案是最多的。师：谁和他的结论一样，谁来补充师：你们同意吗？讲得真有道理，用数据说话特别有说服力，只要举出一个反例，就能推翻一个猜想，看来数大不一定方案多。师：还有其他发现吗？生：我们发现偶数也不一定方案多，奇数也不一定方案少。就拿62来说，它能设计出2种长方形，而奇数45设计的长方形就比它多。师：同意吗？看来偶数也不一定方案多。生：我们认为和因数个数有关系。师：看来可能和因数个数有关系，我们一起来研究研究。（三）研究因数情况，理解质数、合数概念1、通过重新挑数，理解质数特点师：谁来说一说3的因数有哪些，有几个？6的因数呢？其实我们刚才长摆几个，宽摆几个，就是这个数的因数。如果这次我们重新选，只给你一次机会，看谁设计方案多，黑板上这些数，你一定不选哪个数？生：3，7，11，59师：你们意见和他一致吗？为什么不选这些数，请同学们在小组里交流交流各自的想法。汇报：师：谁先来说一说你的想法。 生1：这几个数只能设计出一种长方形。生2：这几个数的因数只有两个。师：同学们说得真好，像3、7、11、59这几个数，我们给他们起个名字，有知道的吗？生：叫质数。师：谁能用自己的话说说什么样的数是质数？生：因数只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数。师：我们在用质数摆长方形的时候，你有什么体会？生：用质数摆出的长方形只有一种。师：看来真是这样，质数如果用长方形表示，都是细长条的一种长方形，你发现的真好。2、合数概念师：我们再来看看剩下的有哪些数？这些数有什么共同特点吗？生：除了1和他本身，还有其他的因数。师：这样的数，谁知道叫什么名？3、判断质数、合数的方法师：老师这里有一个数37，谁来判断它是质数还是合数？生：它是质数，因为它只有1和37两个因数师：同意吗？生：同意。师：还有一个数51，你看看它是质数还是合数？生1：它是质数。师：告诉大家你怎么想的？生1：它只有1和它本身两个因数。生2：我反对。51是合数，他除了1和它本身两个因数，它还一定有因数3，因为我们学过3的倍数特征，5加1等于6，6是3的倍数，51就是3的倍数。师：你们同意吗？说得不错，怎么判断一个数是质数还是合数呢？谁来说一说。生：只要看除了1和它本身还有没有其他的因数，就能判断出来。师：这个办法太好了，我们这节课学的质数和合数，需要看因数的个数，如果只有1和它本身两个因数，这个数就是质数，如果再找到其他一个，那这个数就是合数。师：现在又认识两种新的数，质数和合数。（四）利用已学知识，引导学生自主思考，发现问题、总结规律。 1、宣布任务师：请同学们看屏幕，1-20，从我们上一年级开始，就在和数打交道，已经是老朋友了，这学期我们又研究了数的特征，结合这节课我们学习的质数和合数的知识，现在我们回过头来从不同的角度再观察这些数。你有什么发现或结论，可以想到什么说什么。可以借助你的学习单，先在小组里说一说，看哪个小组发现的多？汇报：生1：我们把1—20中的质数找出来了，他们是1、3、5、7、11、13、17、19，剩下的数就是合数。其他同学举手反对。生2：我认为1不是质数。师：能不能说说你的想法？生2：因为1只有1个因数就是数字1，他既不符合质数的特征，也不符合合数的特征，所以1既不是质数也不是合数。师：你们也是这样想的吗?数学上确实规定1既不是质数也不是合数。这个1真是很特别呀，这是哪个组发现的，我们把这句话写在黑板上，给他们组贴上标签，真了不起。师：还有什么发现吗？生3：我发现合数中既有奇数又有偶数。生4：我受他的启发，发现质数中除了2是偶数，剩下的都是奇数。师：这话这么长，你能再重复一遍吗？（师板书）是不是这么回事，那可得好好想想。请其他组在小组里研讨一下：他说的结论对不对？学生讨论。师：谁来说说你的想法？生5：因为所有的偶数2先除外，除了1和它本身两个因数，一定还有因数2，所以他们一定是合数。而2呢，就只有1和2两个因数，所以偶数中只有它自己是质数，剩下的都是合数。师：你们的发现是正确的，贴上标签。生6：我们还发现，1-20这些数，以前我们学过奇数偶数，1-20中除了奇数就是偶数；但不能说1-20中除了质数就是合数，因为还有一个特别的1.生7：我给他补充，如果按因数个数来分，我想所有的自然数就可以分成三类：1、质数、合数。 师：同学们发现的真精彩，我们学过的奇数、偶数、质数、合数，他们之间有着密切的联系，但是特别有意思的是，我们能不能把从4开始的偶数写成两个质数相加的形式，比如4=2+2，师生共同写：6=3+38=3+510=3+712=5+714=7+716=5+1118=7+1120=7+1322=17+5师：还能不能接着写了？生：能，应该还能写很多。师：你想到什么，能提出猜想吗？生：我感觉所有的从4开始的偶数都可以写成两个质数相加的形式。师：请你重复一遍。太了不起了，你说的就是著名的哥德巴赫猜想啊。课前小故事中，那位中学数学教师就是歌德巴赫。他提出的猜想是：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式，通常被称为“1+1”问题。目前最好的结果是我国数学家陈景润研究的。师：有人把歌德巴赫猜想比做数学皇冠上一颗璀璨的明珠，这颗明珠到现在还没有被摘取，因为质数太神奇了，是永恒的迷。关于神奇的质数，老师给大家介绍一本书：《数学宝库》这里面讲述的数学故事和数学知识一定会令你着迷。老师相信在不久的将来，我们同学也能加入探索科学之谜的队伍，这节课我们就上到这。五、教学反思《质数与合数》是新世纪版五年级上学期第一单元的一节概念课，教学设计的想法是想让学生经历知识的产生、发展的过程，引导学生在具体的操作活动中通过观察、比较、猜测、验证等活动，探究质数、合数的特征。如何对这一传统内容进行再挖掘、再创造，使学生在有效的活动中思维能力得到提升，并能深刻理解概念，在这节课中，我进行了以下几方面的尝试：１、教材通过用2～12个小正方形拼成长方形，根据长方形的种数确定因数的个数，引导学生根据因数个数的多少为这些数进行分类，得出质数与合数的概念，以及“1既不是质数，也不是合数”的结论。学生不容易想到，也很难理解为什么按因数个数进行分类。本节课，进行两次拼摆比赛，产生认知冲突，激发思维矛盾，并认识到拼的方案的多少最终由因数个数决定。再通过一个问题：“我们看谁设计方案多，如果再给你一次机会，你一定不选哪个数。”引导学生把质数挑出来，通过观察这些数的特征，得出质数概念。以上数学活动给学生提供了足够的时间和空间，有利于学生经历操作、观察、猜测、验证等活动，深刻理解质数、合数的本质特征。 ２、让学生经历了提出猜想、验证猜想的过程，整节课教学活动的设计和安排都力图体现发展学生数学思维，提升学生数学能力。比如：多角度理解质数，突出数形结合；学生第一次拼摆，给出三个猜想，通过第二次拼摆，推翻或支持某一个猜想，用反例推翻一个猜想的思维方法。在质数合数概念呈现之后，我为学生提供一个开放的问题，给出1～20个数，让学生重新认识这些数，并得出一些规律性的结论。这个活动为学生提供了思考的时间和空间，放手让学生去探究，关注有差异的学生去发现，实现自己的学习过程，得到不同的发展，并在辨析中，明确概念、加深理解。