《小学奥数五年级教案学案》第19讲-最大公约数（教）

学科教师辅导讲义学员编号：年级：五年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第19讲——最大公约数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握约数和最大公约数的概念，最大公约数的求法；②会利用最大公约数解决实际问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；　　18的约数有1、18、2、9、3、6。注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。②任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相乘的积是数c，a与b都是c的因数。二、质数与合数（1）只有1和本身两个约数的数叫做质数（或素数）；（2）除了1和本身外还有其它约数的数叫做合数；（3）1既不是质数，也不是合数； （4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。（5）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质约数，例如15=3×5，3和5叫做15的质约数。（6）把一个合数用质约数相乘的形式表示出来，叫做分解质约数。几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数，记作（12,18）=6。（7）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数；如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。典例分析考点一：最大公约数的求法例1、列举法:求12和18的最大公约数。【解析】12的约数有1，2，3，4，6，12。18的约数有1，2，3，6，9，18。12和18的公约数有1，2，3，6。12和18的最大公约数是6。例2、短除法：求42和105的最大公约数。【解析】342105 714352542和105的最大公约数为：37=21。例3、分解质约数法：求48和72的最大公约数。【解析】把48分解质约数：48=22223把72分解质约数：72=2223348和72的最大公约数为：2223=24例4、辗转相除法：求432和225的最大公约数。【解析】432÷225=1余207225÷207=1余18207÷18=11余918÷9=2所以9就是432和225的最大公约数。考点二：应用最大公约数巧算例1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？【解析】4分米5厘米＝45厘米、3分米6厘米＝36厘米、2分米4厘米＝24厘米。45、36、24的最大公约数是3。所以正方体木块的棱长最长是3厘米。例2、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？【解析】由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。例3、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？ 【解析】由题可知扎的每一束花是两种颜色的，两种颜色的花，朵数不同，故先求出最多可以扎多少束花，即求96和72的最大公约数是24，然后求出在每束中，红花至少96÷24=4朵；黄花至少72÷24=3朵，继而相加得出结论．解：96=2×2×2×2×2×3，72=2×2×2×3×3，故96和72的最大公约数：2×2×2×3=24；96÷24+72÷24=7（朵）；答：每束花最少有7朵；考点三：最大公约数综合例1、可以写成哪两个分数单位的和？【解析】18的约数有1，2，3，6，9，18，任取一对约数可得。==+=+例2、图中的大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形所组成．那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米．【解析】上两块面积为12+36=48平方厘米，下两块面积为24+48=72平方厘米，48与72的最大公约数为24，故：面积为12平方厘米的高为2厘米，底边长为6厘米． 面积为36平方厘米的高为2厘米，底边长为18厘米． 面积为24平方厘米的高为3厘米，底边长为8厘米． 面积为48平方厘米的高为3厘米，底边长为16厘米． 阴影部分底边长为18-16=2厘米2×2÷2+2×3÷2=5平方厘米阴影部分的面积为5平方厘米． P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练Ø课堂狙击一、填空题1、18的约数有（），60的约数有（），18和60的公约数有（　），最大公约数是（　）。【解析】（1、2、3、6、9、18），（1、2、3、4、5、69、10、12、15、20、30、60），（1、2、3、6），（6）2、一个合数的约数至少有（）个，例如：（　　）。【解析】（3），（4、8、9、10、12）3、如果A=2×3×7，B=2×5×7，那么A和B的最大公约数是（　　），最小公倍数是（　　）。【解析】（14），（210）二、选择题4、1、2、4、8是8的（）A、约数　　　　B、公约数　　　　　C、素数【解析】A5、12是（　　）的最大公约数。A、1和12B、12和24　　　　　C、3和4【解析】B6、一个两位数个位和十位上都是合数，并且它们的最大公约数是1，那么这两位数可能是（）A、49　　　　　B、59　　　　　　　C、69【解析】A三、解答题7、写出每组数的最大公约数7和9　　5和25　10和427和18　　11和77　　　　15和16【解析】1,5,2,9,11,1 8、有22块橡皮和33支铅笔平均分给参加劳动的同学，结果橡皮多1块，铅笔少2支，参加劳动的同学有多少名？【解析】22-1=21，33+2=35，21=3×7，35=5×7，所以21和35的最大公约数是7，即参加劳动的同学有7名．答：参加劳动的同学有7名．9、幼儿园一个班借阅图书，如果借35本，平均分发给每个小朋友差1本；如果借56本，平均分发给每个小朋友后还剩2本；如果借69本，平均分发给每个小朋友则差3本。这个班的小朋友最多有多少人？【解析】如果35本增加1本,35+1=36本,就不差；小朋友的人数是36的因数；如果56本减少2本,56-2=54本,就没有剩；小朋友的人数是54的因数；如果69本增加3本,69+3=72本,就不差；小朋友的人数是72的因数；36、54、72的最大公因数是18这个班的小朋友最多有18人Ø课后反击一、判断题1、如果a÷b=4（a、b为整数）那么a和b的最大公约数是4。　（）2、一个数最小的倍数与它最大的约数相等。　　　　　　　　　　（）3、任何一个自然数的约数至少有2个。　　　　　　　　　（）4、1和任何自然数（0除外）都没有公约数。　　　　　　（）【解析】×，√，×，×二、解答题5、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？【解析】24、36、42的最大公约数是6。所以最多每组6人。24÷6＝4（组）36÷6＝6（组） 42÷6＝7（组）6、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？【解析】我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷120=3。又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。7、一个数除200余4，除300余6，除500余10,。求这个数最大是多少？【解析】由题可知，196,294和490都能被那个数整除，所以答案（196,294,490）=98答：这个数最大是98.8、一块三角形地的三边分别是18米、18米和21米，要再它的周围种上树，要使顶角处都种，相邻的两棵树间的距离相等。最少要种多少棵树？相邻两棵树之间距离是多少米？【解析】18、21的最大公因数是3，（181821）÷3=19棵。18÷3=6米。直击赛场S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、约数和最大公约数的概念，最大公约数的求法；2、利用最大公约数解决实际问题。名师点拨1、在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。2、在用分解质因数的方法求最大公因数时，如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较少，乘较少的次数。 3、求最大公因数的方法可以是集合法，对应法，列表法，分解质因数法，短除法以及辗转相除法等。在运用找最大公因数解决问题时，并不是所有的题目都要求直接运用找最大公因数来解决，而是求出最大的公因数后，还要继续运用题目的已知条件和问题继续解答。（1）短除法短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。（2）辗转相除法基于下面的性质：(a,b)=(a,ka+b)，其中a、b、k都为自然数就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数组，其公约数不变，比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2。这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质：如果p是a和ka+b的公约数，p整除a，也能整除ka+b。那么就必定要整除b，所以p又是a和b的公约数，从而证明他们的最大公约数也是相等的。（3）分解质因数：首先把两个数的质因数写出来，最大公因数等于它们所有相同的质因数的乘积。学霸经验Ø本节课我学到Ø我需要努力的地方是