4最大公约数和最小公倍数
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4最大公约数和最小公倍数

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时间:2022-03-30

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资料简介
第四讲最大公约数和最小公倍数  本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。  定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质.即如果(a,b)=d,那么(a÷d,b÷d)=1。  证明:设a÷d=a1,b÷d=b1,那么a=a1d,b=b1d。  假设(a1,b1)≠1,可设(a1,b1)=m(m>1),于是有a1=a2m,b1=b2m.(a2,b2是整数)  所以a=a1d=a2md,b=b1d=b2md。  那么md是a、b的公约数。  又∵m>1,∵md>d。  这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此,(a1,b1)≠1的假设是不正确的.所以只能是(a1,b1)=1,也就是(a÷d,b÷d)=1。  定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.(证明略)  定理3两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.(证明略)  下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。例1甲数是36,甲、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数.  解法1:由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数,可得  36×乙数=4×288,  乙数=4×288÷36,  解出乙数=32。  答:乙数是32。  解法2:因为甲、乙两数的最大公约数为4,则甲数=4×9,设乙数=4×b1,且(b1,9)=1。   因为甲、乙两数的最小公倍数是288,  则288=4×9×b1,  b1=288÷36,  解出b1=8。  所以,乙数=4×8=32。  答:乙数是32。例2已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少?  解:要求这两个数的和,我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b,a<b。  因为这两个数的最大公约数是21,故设a=21a1,b=21b1,且(a1,b1)=1。  因为这两个数的最小公倍数是126,  所以126=21×a1×b1,  于是a1×b1=6,  因此,这两个数的和为21+126=147,或42+63=105。  答:这两个数的和为147或105。例3已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。  解:设这两个自然数分别为a与b,a<b.因为这两个自然数的最大公约数是5,故设a=5a1,b=5b1,且(a1,b1)=1,a1<b1。  因为a+b=50,所以有5a1+5b1=50,   a1+b1=10。  满足(a1,b1)=1,a1<b1的解有:  答:这两个数为5与45或15与35。例4已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。  解:设这两个数为a与b,a<b,且设(a,b)=d,a=da1,b=db1,其中(a1,b1)=1。  因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数,  所以240=d×60,  解出d=4,  所以a=4a1,b=4b1.  因为a与b的最小公倍数为60,  所以4×a1×b1=60,  于是有a1×b1=15。  答:这两个数为4与60或12与20。例5已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数。   解:设这两个自然数分别为a与b,a<b,(a,b)=d,a=da1,b=db1,其中(a1,b1)=1。  因为a+b=54,所以da1+db1=54。  于是有d×(a1+b1)=54,因此,d是54的约数。  又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114,  所以da1b1-d=114,  于是有d×(a1b1-1)=114,  因此,d是114的约数。  故d为54与114的公约数。  由于(54,114)=6,6的约数有:1、2、3、6,根据定理3,d可能取1、2、3、6这四个值。  如果d=1,由d×(a1+b1)=54,有a1+b1=54;又由d×(a1b1-1)=114,有a1b1=115。  115=1×115=5×23,但是1+115=116≠54,5+23=28≠54,所以d≠1.  如果d=2,由d×(a1+b1)=54,有a1+b1=27;又由d×(a1b1-1)=114,有a1b1=58。  58=1×58=2×29,但是1+58=59≠27,2+29=31≠27,所以d≠2。  如果d=3,由d×(a1+b1)=54,有a1+b1=18;又由d×(a1b1-1)=114,有a1b1=39。  39=1×39=3×13,但是1+39=40≠18,3+13=16≠18,所以d≠3。  如果d=6,由d×(a1+b1)=54,有a1+b1=9;又由d×(a1b1-1)=114,有a1b1=20。  20表示成两个互质数的乘积有两种形式:20=1×20=4×5,虽然1+20=21≠9,但是有4+5=9,所以取d=6是合适的,并有a1=4,b1=5。  a=6×4=24,b=6×5=30。   答:这两个数为24和30。例6已知两个自然数的差为4,它们的最大公约数与最小公倍数的积为252,求这两个自然数。  解:设这两个自然数分别为a与b,且a>b,a=da1,b=db1,(a1,b1)=1。  因为a-b=4,所以da1-db1=4,于是有d×(a1-b1)=4,因此d为4的约数。  因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252,所以d×da1b1=252,于是有d2×a1b1=(2×3)2×7,因此d为2×3的约数。  故d为4与2×3的公约数。  由于(4,2×3)=2,2的约数有1和2两个,所以d可能取1、2这两个值。  如果d=1,由d×(a1-b1)=4,有a1-b1=4;又由d2×a1b1=252,有a1b1=252。  252表示成两个互质数的乘积有4种形式:252=1×252=4×63=7×36=9×28,但是252-1=251≠4,63-4=59≠4,36-7=29≠4,28-9=19≠4,所以d≠1。  如果d=2,由d×(a1-b1)=4,有a1-b1=2;又由d2×a1b1=252,有a1b1=63。  63表示为两个互质数的乘积有两种形式:63=1×63=7×9,但63-1=62≠2,而9-7=2,且(9,7)=1,所以d=2,并且a1=9,b1=7。  因此a=2×9=18,b=2×7=14。  答:这两个数为18和14。  在例2~例5的解答中之所以可以在假设中排除a=b这种情形(在各例中都只假设了a<b),分别是由于:例2和例5,若a=b,则(a,b)=[a,b]=a,与条件(a,b)≠[a,b]矛盾;例3,若a=b,则a=b=(a,b)=5,因此a+b=10≠50,与条件矛盾;例4,a×b=240不是平方数。  从例题的解答中可以看出,在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中,经常用到的基本关系是:若两数为a、b,那么a=a1d,b=b1d,其中d=(a,b),(a1,b1)=1,因此[a,b]=da1b1,有时为了确定起见,可设a≤b.对于很多情形,可以排除a=b的情形(如上述所示),而只假设a<b.

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