《圆的周长和面积》教材内容说明（一）单元教育目标1、通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值；探索并掌握圆的周长和面积公式，能运用公式解决简单的问题。2、在观察、操作、推理活动中，发展合情推理能力，能进行有条理地思考，能比较清楚地表达自己思考的过程与结果。3、能探索分析和解决问题的有效方法，能表达解决问题的思路和方法，增强应用意识，提高实践能力。4、积极参加数学活动，获得探索同面积公式的经验，在运用圆周长和面积知识解决问题的过程中，认识数学的价值。（二）单元教材说明本单元内容是在学生认识了圆，掌握了长方形、平行四边形、三角形等面积计算公式，具有一定探索面积公式经验的基础上学习的。主要内容有：探索圆的周长公式，解决和圆周长有关的实际问题，探索圆的面积公式，解决和圆面积有关的实际问题，环形面积。圆的周长和面积是小学阶段图形与几何部分的重要内容，《数学课程标准》提出的具体要求是：通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握同的面积公式，并能解决简单的实际问题。解读课程内容的上述要求，首先突出了数学学习的操作性和探索性，强调让学生经历探索圆周长和面积公式的过程。另外，突出数学的应用，强调解决简单的实际问题。本单元教材在设计思想和内容编排上有以下特点：1、让学生经历圆周长和圆面积公式探索的全过程。圆的周长和面积公式是本单元的核心知识点和研究解决问题的生长点，让学生经历圆周长和面积公式的形成过程，有利于学生理解、掌握计算公式，并获得建构数学模型的活动经验。教材在安排探索圆的周长和面积公式时，都设计了四个层面的活动。让学生经历由个别到一般，由感性经验到理性推导的全过程。（1）探索圆的周长的过程有以下四步：第一，让学生利用滚动法、缠绕法等自主测量硬币的周长，并计算周长除以直径，一方面获得测量圆
的周长的活动经验，另一方面获得周长除以直径的个体数据。第二，小组合作，分别测量三个大小不同的圆形物品的周长和直径，并计算周长除以直径，为归纳圆周率提供数据。第三，根据观察测量并计算出的数据，发现周长是直径的3倍多一些，获得初步的结论。第四，了解圆周率的发展史和我国数学家在研究圆周率中的贡献，确信探索结果的准确性，进而总结出圆周长的计算公式。（2）探索圆的面积的过程有以下四步：第一，先让学生利用已有的知识，估算飞镖板的面积，再通过把飞镖板看成近似的小三角形估算，以及把飞镖板剪开拼成一个近似的长方形估算出面积，为探索活动打基础。第二，让学生把圆形纸片分别平均分成16份、32份，剪开后拼成近似的长方形，观察、比较，体会两个近似长方形的变化。第三，在操作的基础上，通过想象推理得出：平均分的份数越多，拼出的图形越像长方形。第四，讨论“拼成的长方形和圆有什么关系”，进而总结出圆的面积公式。2、在操作中体现“转化”的思想和方法，感受极限思想。“转化”是数学学习中重要的思想和方法，在探索几何图形的面积、体积计算公式时，除最简单的基本图形长方形、正方形、长方体、正方体外，都是通过动手操作，把探索的图形转化成已知公式的图形推导出来的。探索圆的面积公式，因为圆是封闭的曲线图形，图形转化的重点是化曲线图形为直线图形，而这种转化单纯通过直观操作是无法做到的，所以需要用“无限分割”的极限思想来想象和推理。本单元探索圆的面积公式时，首先设计了三个方面的操作活动：第一，把现实生活中常见的飞镖板分割成20个近似的小三角形，拼成近似的长方形，让学生发现可以用这样的方法估算圆形物品的面积；第二，把一个圆形纸片平均分成16份，剪开拼成近似的长方形，由物品表面的变形到一般图形的转化；第三，把圆形纸片再平均分成32份剪拼成近似的长方形。然后，让学生观察两次剪拼成的长方形，发现把圆平均分成32份拼成的图形更接近长方形。接着让学生想一想“平均分的份数越多，拼出的图形会怎么样”，启发学生想象并推想出：圆形纸片平均分的份数越多，拼出的图形就越接近长方形。这种探索活动，使学生进一步体会了“转化”的数学思想和方法，同时初次感受了无限分割和极限的数学思想，为以后的学习积累了数学活动经验。3、重视数学知识与现实问题的联系，提高实践能力。
本单元重视所学知识与现实生活的联系体现在两个方面。第一，通过现实中的典型事例认识所学知识。如，认识圆的周长时，创设了“一家三口人骑不同型号的自行车外出郊游”的情境，通过车轮转动一周，谁的车走得远”理解周长的概念，感受车轮周长与直径的关系。第二，在解决现实的问题中，学会运用所学知识。如，学习了圆的周长公式以后，设计“两个小朋友用皮尺测量花坛的周长，求花坛直径是多少”的问题，学习利用公式解方程求出直径的方法。再如，学习了面积计算公式后，设计“某公司计划建一个直径是11米的草坪，计算需要多少平方米草皮”的问题，学习已知圆的直径求圆的面积的计算方法。这些问题都是现实生活中常见的、需要用计算解决的问题，一方面学会公式的灵活运用，另一方面，提高了学生解决实际问题的能力。本单元共安排6课时，具体内容编排如下：知识块课时内容素材与活动1.圆的周长第1课时探索圆的周长公式1.全家骑自行车郊游，讨论车轮转动一周的相关问题。2.例1，测量医院硬币的周长和直径，计算周长÷直径。3.例2，小组合作测量三个圆形物品的直径和周长，计算周长÷直径。4.例3，计算圆镜边缘镶嵌金属条的长度。第2课时圆周长的实际问题1.例4，计算圆形花坛的直径。2.例5，计算绿茵操场的周长。2.圆的面积第1课时探索圆的面积公式1.例1，估算飞镖板的面积。2.例2，小组合作，把圆平均分成16份、32份拼成近似的长方形，探索圆的面积公式。第2课时已知直径求面积1.例3，已知圆形草坪的直径，求草坪面积。2.例4，计算水缸圆形木盖的面积。第3课时1.例5，计算圆形蒙古包的占地面积。
已知周长求面积2.例6，给圆桌选择台布，第4课时圆环面积1.例7，计算圆形喷水池周围甬路的占地面积。2.例8，计算环形铸铁零件的面积。1、圆的周长，安排2课时。第1课时（教科书42页～44页），探索圆的周长公式。教材共设计了四个层面的数学活动。活动一，认识圆的周长。教材设计了一家三口骑自行车去郊游的事情，呈现了三个人骑不同型号的自行车的情境。“议一议”提I出两个问题：（1）车轮转动一周，谁的车走得远？为什么？（2）车轮转动一周走的距离和什么有关系？在学生讨论的基础上，用兔博士的话给出了车轮周长的概念：车轮转动一周走的距离就是车轮的周长。活动二，测量一元硬币的周长和直径。例1结合图示展示了两种测量硬币周长的方法，一是“滚动法”，把硬币在直尺上滚动进行测量；二是“缠绕法”，先用细绳绕硬币一周，再测量细绳的长。活动三，总结圆的周长公式。例2设计了三个方面的内容。第一，小组合作，分别测量三个大小不同的圆形物品的周长和直径，并计算周长除以直径。第二，观察测量和计算出的数据，说一说发现了什么。教材用聪聪的话给出了结论：圆的周长是直径的3倍多一些。第三，介绍圆周率，并总结计算公式。教材用文字介绍：任何圆的周长都是它的直径的3倍多一些。这个倍数是一个固定不变的数，我们把它叫做圆周率。用字母π（读作pài）表示。同时说明，圆周率是一个无限不循环小数。在进行计算时，一般只取它的近似值3.14（保留两位小数）。然后，总结出圆周长的计算公式，并用字母表示。为了让学生更深入地了解圆周率，在“兔博士圆站”中介绍了圆周率的发展史和我国数学家在研究圆周率中的贡献。活动四，运用公式解决问题。例3选择了在圆镜边缘镶嵌金属条的素材，给出镜面直径是25厘米，让学生利用公式计算金属条长是多少厘米。本节课是在学生知道周长的含义，认识了圆的特征以及直径和半径关系，会进行小数除法计算等基础上学习的。虽然内容比较多，但没有难以理解的概念。教学的重点是让学生经历探索圆周率的过程，知道圆周率的字母表示和取值规定，并总结出圆的周长公式，学会简单应用。教学活动中，教师要把握每个活动的目的，有序有效地组织教学。全家骑自行车郊游的事例，结合“议一议”
的两个问题讨论，重点使学生了解两点：一是车轮大的自行车转动一周走得远；二是转动一周走的距离和车轮的大小（辐条的长短）有关系。例1测量一元硬币的周长和直径，并计算周长÷直径。首先要给学生讨论测量方法、实际测量并计算的时间，一方面掌握测量圆形物品周长的方法，另一方面获得周长除以直径的个体数据。例2测量三个圆形物品的活动，重点把握以下几个环节：第一，测量，并用计算器算出结果；第二，充分交流各组计算周长÷直径的结果，为后面探索规律提供丰富的数据；第三，归纳计算的结果，引导学生用自己的语言描述周长除以直径的商，得出圆的周长都是直径的3倍多一些，然后教师介绍圆周率、字母表示及取值规定；第四，根据周长÷直径＝π，推导出圆周长的计算公式：周长＝π×直径，进而总结出字母公式：C＝πd或C＝2πr。例3圆周长公式的简单应用，先让学生尝试解决，再交流计算过程和结果。第2课时（教科书45页、46页），圆周长的实际问题。教材共安排了两个问题。例4，已知周长求直径的问题：一个圆形花坛的周长是17.27米，它的直径是多少米？给出了两名同学用皮尺测量花坛的情境，“说一说”提出：已知花坛的周长，怎样求它的直径？接着用书中同伴交流的方式呈现了两种方法。亮亮说：用周长除以π。红红说：设花坛的直径为l米，列方程解答。教材只给出列方程解答的过程。例5，选择了某中学新建绿茵操场的素材，给出了示意图相有关数据，提出问题：沿跑道跑一圈是多少米？教材用丫丫的话提示了解决问题的思路：两端的两个半圆可以看作一个整圆。用蓝灵鼠的话“用计算器算一算”强调关注计算的方法。本节课是在学生掌握了圆的周长公式的基础上学习的。主要目的是灵活运用圆的周长公式解决实际问题。两个例题各有侧重点：例4让学生了解已知周长求直径可以用不同的方法，重点学习列方程解答方法；例5让学生了解操场跑道一圈可以怎样计算，重点使学生理解操场两端的两个半圆可以看作一个圆。教学活动中，要抓住每个例题的重点，有效组织教学。教学例4时，在学生弄清已知条件和所求问题的基础上，重点讨论“已知花坛的周长，怎样求它的直径”问题。可以写出C＝πd的公式，让学生思考、讨论，使学生知道，已知周长和直径，可以通过“周长÷圆周率＝直径”解答，也可以直接用周长公式把直径设为列方程解答。
2、圆的面积，安排4课时。第1课时（教科书47页～49页），探索圆的面积公式。教材安排了两个问题，例1，估算飞镖板的面积。教材选择现实生活中人们玩的圆形飞镖板，一般都平均分成若干个近似小三角形，并涂上不同的颜色的典型事例。例1呈现了用黄蓝两种颜色把飞镖板平均分成20份的示意图，给出飞镖板的半径是10厘米。提出“估算飞镖板的面积”的要求。兔博士提问：观察飞镖板，你发现了什么？教材用书中同伴的话说明飞镖板的特点。亮亮说：飞镖板被平均分成20份。红红说：每份都像一个小三角形。接着给出了两种估算方法。方法一，把飞镖板看成若干个小三角形估算。教材给出一个小三角形的示意图，并用丫丫的话说出了三角形的底和高。然后，分三个算式呈现了完整的计算过程。先计算飞镖板的周长，再计算一个小三角形的面积，最后计算20个小三角形的面积。方法二，把飞镖板上的20个小三角形剪开，按两种颜色上、下交叉拼成一个近似的长方形，并标出近似长方形的长（周长的一半）和高（10厘米），给出了求近似长方形面积的方法和结果。例2小组合作，探索圆面积的计算公式。教材设计了三个层面的探索活动。活动一，剪拼图形。用兔博士的话，先后提出把圆平均分成16份、32份，拼成近似的长方形的要求，并分别给出剪的示意图和拼成的图形。活动二，比较两次拼成的图形。提出“平均分的份数越多，拼出的图彤会怎么样”的问题，在学生观察拼出图形并想象的基础上，通过大头蛙的话给出了结论：平均分的份数越多，就越接近长方形。活动三，讨论拼出的长方形和圆的关系，总结圆面积公式。“议一议”提出：拼成的长方形和圆有什么关系？教材在小组讨论的情境图中，用书中同伴的话给出了长方形和圆的关系：长方形的面积相当于圆的面积、长方形的宽相当于圆的半径、长方形的长相当于圆周长的一半。接着给了由长方形公式推导出圆面积公式的过程，以及圆的面积公式及字母表示。本节课是在学生掌握了长方形、正方形、平行四边形等直线图形面积计算公式、圆的周长公式等基础上学习的。圆面积计算公式的推导与多边形面积公式推导过程相比，都是用“转化”的方法。但是，因为圆是曲线图形，把它平均分成若干个小三角形，拼成的图形不能直观显示长方形，而是要通过想象得出“平均分的份数越多，就越接近长方形”。在数学上，这种方法叫“无限分割”
，也叫极限思想。这些名词和概念，学生难以理解，教学中不要作介绍，学生只要能把拼成的近似长方形看作长方形即可。因此，本节课教学的重点是借助剪拼飞镖板了解转化的方法，能发现圆剪拼成的长方形之间的关系，并根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式。教学难点是理解拼成的长方形的长是圆周长的一半。教学活动中，要按照教材的设计意图，抓住重点，突破难点。教学例1时，在学生了解飞镖板特点的背景下，先让学生利用三角形面积的计算方法估算出面积。然后，介绍剪拼的方法，重点使学生了解拼成的长方形的长是“飞镖板周长的一半”。再让学生计算出拼成的长方形的面积。通过两种估算方法的结果相等，使学生了解可以把圆剪拼成近似的长方形，为例2探索圆面积公式作铺垫。教学例2时，把握好以下三个环节。第一，分别提出两个剪拼要求，充分利用剪拼飞镖板的经验，让学生合作剪拼（可以贴在一张纸上）。第二，观察、比较拼成的两个近似长方形，先说一说这两个近似长方形有什么不同（剪成16个三角形拼成的长方形长边弧线明显），再提出“想一想”的问题，让学生在头脑中想象一下，再用语言描述想象的结果。学生可能有不同说法，只要意思对就给予肯定。最后总结出大头蛙的话。第三，发现、总结长方形和圆的关系，总结公式。提出“议一议”的问题后，首先给学生充分的时间分组讨论，然后交流讨论的结果．教师结合学生交流的内容，先写出长方形和圆面积的文字公式。如：长方形面积＝长×宽，圆的面积＝周长的一半×半径，然后师生共同推导出计算圆面积的字母公式。第2课时（教科书50页、51页），已知直径求面积。教材选择了两个现实生活中的典型问题。例3，计算圆形草坪的面积。问题情境是：某公司要在办公大楼前面建一个直径11米的圆形草坪，算一算需要多少平方米草皮。（要求得数保留整数）教材用红红的话“先计算出草坪的半径…”提示解题思路，并给出了解答过程。例4，计算水缸木盖的面积。教材用图文结合的方式给出有关信息和问题：要给一个缸口为90厘米的水缸加一个圆形木盖，木盖直径比缸口直径长10厘米。木盖的面积是多少平方厘米？用丫丫的话“先算出木盖的直径是多少……”提示解题思路，给出了解答过程。蓝灵鼠提出“把你的算法和同学交流一下”的要求，鼓励学生充分交流个性化的解答方法。本节课的两个例题都是现实生活中的实际问题，从知识应用来讲，都是已知直径求面积，从教学重点来讲，各有不同。例3重点掌握已知直径求面积的方法，特别是计算的步骤。除教材中的方法外，还可以分步计算：11÷2＝
5.5（米），3.14×5.52≈95（平方米）。例4重点是先计算木盖的直径或半径是多少。教学活动中，要根据每个例题设计的目的，抓住教学的重点。教学例3时，首先让学生理解“计算需要多少平方米草皮”就是求直径11米的草坪面积，然后，先讨论一下“已知草坪的直径怎样求草坪的面积”，再计算。交流时，重点指导直接应用公式列综合算式时，（）²的写法及计算步骤。教学例4时，先让学生自己计算，再交流。除教材上的计算过程外，学生还可以先求出半径“（90＋10）÷2＝50（厘米）”，再应用公式计算。第3课时（教科书52页、53页），已知周长求面积。本节课安排了两个例题。例5，计算蒙古包的占地面积。教材用文字叙述给出相关信息和问题：一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占地面积是多少平方米？同时呈现了蒙古包的图片。首先用丫丫的话说明了计算的步骤“要先算出蒙古包的半径”。同时给出列方程求半径r的过程。接着用兔博士的话提出：白己算出蒙古包的占地面积。例6，为圆桌面选择合适的台布。教材给出圆桌实物图．并用蓝灵鼠的话告诉圆桌的直径是120厘米。接着用图文结合的方式，给出了三块不同规格的正方形台布，它们的边长分别是110厘米、120厘米、140厘米。提出：选哪一块比较合适，为什么？在学生根据正方形台布的边长选择的基础上，提出：计算圆桌和边长110厘米台布的面积，你发现了什么？教材用书中同伴交流的方式给出计算和发现的问题。亮亮说：边长110厘米台布的面积，比圆桌的面积大。红红说：边长110厘米的台布为什么不能用呢？引起学生的思考。本节课的两个事例都是现实生活的实际问题。例5，求蒙古包的占地面积，只能测出周长计算；例6，为圆桌选正方形台布，不能看面积大小。本节课教学重点是综合运用所学知识和生活经验解决与同面积有关的实际问题。教学例5时，先让学生讨论一下：求蒙古包的占地面积可以怎样做？再出示周长数据。同时，教师写出圆周长的公式(C＝2πr)，找出求蒙古包半径的方法。可以师生列方程求出半径，再让学生白己计算出蒙古包的占地面积。教学例6时，首先让学生了解圆桌、台布的数据信息，知道ll0c出×ll0c出、120c出×120c出、140c出×140c出表示的实际意义。接着根据生活经验说一说选哪块比较合适，并说明选择的理由。学生可能会说：边长110厘米的台布比圆桌的直径小，盖不住圆
桌，不能用；边长120厘米的台布和圆桌的直径相等，正好盖住，但是也不好用，只有边长140厘米的台布合适，比圆桌的直径长20厘米，盖住圆桌后，四周最少还可下垂10厘米。然后让学生计算圆桌和边长110厘米台布的面积进行比较。使学生发现：边长110厘米台布的面积比圆桌的面积大。进而讨论红红的问题：边长110厘米的台布为什么不能用？使学生了解两点：第一，虽然边长110厘米的台布比圆桌的直径小，但是正方形台布放在圆桌上后，4个角会下垂；第二，给圆桌选正方形台布，要根据圆的直径选择。第4课时（教科书54页、55页），圆环面积。教材安排了两个例题。例7选择了现实生活中圆形喷水池周围铺甬路的典型事例，用文字叙述给出了有关数据信息和要求的问题：某公园内有一个半径为3米的圆形喷水池，在喷水池周围有一条1米宽的甬路，甬路的占地面积有多少平方米？同时，配了圆形喷水池的图片，给出根据喷水池和周围的甬路抽象出的圆环图，兔博士指出“这样的图形叫做同环”。接着呈现了分步计算圆环面积的具体过程：先求喷水池和甬路的总面积，再求喷水池的面积，最后计算甬路的占地面积。例8，计算环形铸铁的面积。教材用文字给出了“外圆半径是20厘米，内圆半径是16厘米”等名词和数据，同时用几何图标出外圆和内圆的数据，提出问题：环形铸铁零件的面积是多少平方厘米？接着给出了两种计算方法：一是亮亮用例7的解答思路计算的综合算式；二是蓝灵鼠介绍先计算外圆半径平方与内圆半径平方的差，再乘3.14的综合算式。最后大头蛙提出要求：试着总结计算圆环面积的公式。圆环的面积计算与学习多边形面积时的“组合图形”一样，是圆面积公式的综合应用。本节课的两个例题，都是现实生活中常见的事物，两个例题虽然都是计算环形面积，但教学的重点和设计的目的不同。例7主要是借助学生熟悉的现实生活中的事物抽象出环形，知道图形的名称，并应用同的面积公式解答。例8，首先通过文字和示意图，认识外圆半径、内圆半径等概念，了解圆环的图形特征。用例7的解题思路列综合算式解答的基础上，重点了解“先求外圆半径平方与内圆半径平方的差，再与3.14相乘”的方法。教学活动中，要把握每个例题的设计目的，抓住重点进行指导。教学例7时，首先让学生借助实物图和生活经验，知道圆形喷水池的周围一般都有一条人们行走的甬路，接着出示环形图，在图上标出圆形喷水池的半径以及甬路的数据，并介绍“圆环”
的名称。计算甬路的占地面积时，先讨论一下：怎样计算甬路的占地面积？让学生知道第一步先求喷水池和甬路（大圆）占地面积，并理解半径等于（3＋1）米，然后白己分步计算解答。教学例8时，首先通过文字表述和几何图，介绍“外圆半径、内圆半径”的含义、字母表示，以及在图形上的一般表示方法，使学生了解圆环图形“两个圆的圆心相同、半径不同”的特征。接着鼓励学生列出-个算式计算。交流时，如果出现蓝灵鼠的方法，让学生说一说是怎样想的，然后师生共同总结出圆环面积的计算公式：S环＝3.14×（R²－r²）。如果学生想不到这种方法，教师引导学生列出算式，再总结公式。（三）目标评价建议●目标1的评价。一方面结合课堂教学过程进行考查，看学生是否能按要求测量出圆的周长和直径，并通过多组数椐发现圆的“周长÷直径”的结果都是“3倍多一些”，是否掌握圆的周长公式，并解决简单问题；看学生能否按要求分割圆形纸片并拼成近似长方形，是否理解并掌握圆的面积计算公式，并能解决简单问题。另一方面通过学生完成教材上的有关练习内容来考查。如果有必要，教师还可以设计书面练习对本单元“知识与技能”进行考查。●目标2的评价。主要通过课堂活动过程考查。首先要给学生充分的动手操作、观察、交流、归纳等进行公式推导的空间，看学生能否根据测量的数据和圆剪拼成的近似长方形，归纳、总结、推导出同的周长和面积公式，能否有条理地思考并用语言表达圆形和拼成的图形之间的关系；能否想象并确信“圆平均分的份数越多，就越接近长方形”，感受“极限”的数学思想。●目标3的评价。一方面结合课堂活动考查，看学生能否灵活应用学过的知识和方法计算组合图形的面积，能否利用已知公式探索、解决简单实际问题，能否清楚地表达解决问题的思路和过程。另一方面通过学生完成课本上解决实际问题的练习考查，看学生是否具备综合运用知识解决实际问题的能力。●目标4的评价。主要通过课堂活动考查，看学生能否主动参与观察、操作、交流、归纳、推导等各种活动；是否获得把曲线图形“转化”为近似直线图形的经验；是否获得白主发现、总结数学结论的成功体验，并对学好数学充满信心。另一方面，看学生是否体会到，生活中许多实际问题都需要运用圆周长和面积的知识解决，认识到学习数学的重要性。
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