下册比例——综合应用自行车里的数学

年级六年级学科数学版本人教新课标版课程标题下册第三单元——综合应用自行车里的数学编稿老师赵春红一校黄楠二校林卉审核王百玲一、学习目标：1.使学生能正确判断应用题中涉及的量成何种比例关系，能利用正（反）比例的意义正确解答实际问题。2.进一步培养学生应用已学知识进行分析、推理的能力。3.使学生在解决实际问题的过程中，学会开拓思维。二、重点、难点：重点：认识涉及正、反比例知识的实际问题的特点。难点：掌握用比例知识解答实际问题的解题思路。三、考点分析：用比例知识解决问题这部分内容是在学生学过比例的意义和性质，成正、反比例的量的基础上进行教学的，旨在让学生学会运用所学的圆、排列组合、比例等知识解决实际问题。“自行车里的数学”主要研究两个问题：普通自行车的速度与其内在结构的关系,变速自行车能变化出多少种速度。这是比和比例知识的综合运用。本节课的内容在考试中经常出现的题型有填空题、选择题和解决问题，所占的分值大约为6~8分。知识点一：正比例的应用应用正比例知识解答问题的步骤：（1）审题、提取两种相关联的量。（2）判断两种相关联的量是否成正比例关系。（3）如果成正比例关系，根据正比例关系列出方程。（4）解答、检验并作答。知识点二：反比例的应用应用反比例知识解答问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成反比例关系。（2）依据反比例的意义列出方程。（3）解方程（求解后检验），写答语。知识点三：自行车里的数学（1）前齿轮与后齿轮转动圈数的关系第9页版权所有不得复制 前齿轮转动的圈数×前齿轮的齿数=后齿轮转动的圈数×后齿轮的齿数，因此前齿轮转动一圈时，后齿轮转动的圈数=（2）蹬一圈自行车走的距离=车轮的周长×。（3）变速自行车是通过前后齿轮的多种不同组合而实现变速的①变速自行车能实现不同速度的种数=前齿轮的种数×后齿轮的种数②前齿轮的齿数越多，后齿轮的齿数越少，也就是的比值越大，则该前、后齿轮组合在一起时自行车的速度越快。思路分析：1）题意分析：本题主要考查同学们对于正比例关系的应用。2）解题思路：（1）审题，提取已知条件（2）判断比例关系因为每桶油的价钱一定，所以食堂购买油的总价和数量成正比例关系，所以两次购买的总价和数量的比是相等的。（3）根据正比例的意义列方程。根据两次购买油的总价和数量的比值相等列方程。买8桶油的总价是所求量，设为元，因此解答过程：解：设买8桶油要用元=5=280×8=2240÷5=448答：买8桶油要用448元。第9页版权所有不得复制 解题后的思考：运用正比例知识解决问题时，先要找到题中不变的量，根据题中不变的量确定哪两种量成正比例关系，再找出两组相对应的数，列出比例式，最后解比例式即可。思路分析：1）题意分析：本题主要考查同学们利用反比例知识解决问题的能力。2）解题思路：（1）审题，提取已知条件（2）判断比例关系因为做操的总人数一定，也就是说，每行站的人数和站的行数的乘积相等，所以每行站的人数和站的行数成反比例关系。（3）根据反比例的意义列方程。根据每行站的人数和站的行数的乘积相等列方程，如果每行站24人，则要站的行数是所求量，设为行，据此就可以列出方程了。解答过程：解：设可以站行24=20×18=360÷24=15答：可以站15行。解题后的思考：运用反比例知识解决问题时，先要根据题中不变的量确定哪两种量成反比例关系，再找出两组相对应的数，列出表示两个积相等的方程，最后解方程即可。思路分析：1）题意分析：本题主要考查同学们利用正反比例的知识解答稍复杂的问题的能力。2）解题思路：由“照这样的速度”可知修这条公路的工作效率是一定的，那么工作总量与工作时间成正比例关系，这两种量中相对应的两个数的关系如下表所示：工作总量/千米1.51212－1.5工作时间/天3则表示修12千米需要的天数，表示修完余下的千米数还需要的天数。因此本题有两种不同的设法，也就有两种不同的解法。解答过程：解法1.解：设修完全长共需天。第9页版权所有不得复制 1.5=12×3=36÷1.5=2424－3=21答：修完这条公路还要21天。解法2.解：设修完这条公路要天。1.5=10.5×3=31.5÷1.5=21答：修完这条公路还要21天。解题后的思考：运用正、反比例知识解答稍复杂的问题时，一定要根据题目中相关联的两种量找准每组中相对应的两个数，列出比例式或等积式。在设未知数时要注意不同的设法，会有不同的解法。思路分析：1）题意分析：本题主要考查同学们运用比例的知识解答行程问题的能力。2）解题思路：甲、乙两车同时相向开出，相遇时，甲、乙两车所行驶的时间相同，则相遇时速度的比等于所行驶的路程的比。即相遇时甲、乙两车所行驶的路程比也是7：6，如下图所示：由图可知，相遇时，甲车行了全程的，15千米相当于全程的（－），列关系式即可求出全程。解答过程：解法一：算数法15÷（－）=15÷=390（千米）第9页版权所有不得复制 答：两地相距390千米。解法二：方程法解：设甲车行了千米。7－210=67－6=210=210210+210-15×2=390（千米）答：两地相距390千米。解题后的思考：根据时间一定，速度比和路程比成正比例关系解决行程问题。思路分析：1）题意分析：本题主要考查同学们对于前齿轮与后齿轮转动圈数关系的理解。2）解题思路：已知前、后齿轮齿数和前齿轮转动的圈数，要求后齿轮转动的圈数，可用求得。解答过程：×5=12（圈）答：后齿轮转动12圈。解题后的思考：已知前后齿轮的齿数，当前齿轮转动a圈时，要求后齿轮转动的圈数，可用“后齿轮转动的圈数=”来求。思路分析：1）题意分析：本题主要考查同学们对于圆周长及前后齿轮的齿数关系的理解。2）解题思路：已知车轮的直径，可先用3.14×71，求出车轮的周长，然后根据公式“车轮的周长×”求出蹬一圈自行车所走的距离，再乘20可求出蹬20圈所走的距离。解答过程：3.14×71×=557.35（cm）第9页版权所有不得复制 557.35×20=11147（cm）答：他蹬一圈所走的距离是557.35cm，蹬20圈所走的距离是11147cm。解题后的思考：已知车轮的周长和前后齿轮的齿数，要求蹬一圈自行车走的距离，可用公式“车轮的周长×”来求。思路分析：1）题意分析：本题主要考查同学们对于比例尺的理解。2）解题思路：图上距离虽然会发生变化，但实际距离并没有改变。如果已知第一幅地图上的比例尺和图上距离以及另一幅地图的比例尺上的比例尺，要求另一幅地图上的图上距离，就必须先根据第一幅地图求出甲、乙两个城市之间高速公路的实际距离，再根据实际距离和另一幅地图上的比例尺，求出另一幅地图的图上距离。解答过程：首先：设甲、乙两个城市之间高速公路的实际距离为cm。=5.5×2000000=11000000其次：设在另一幅地图上，这条高速公路的图上距离为cm。==2.2答：在另一幅比例尺是1：5000000的地图上，这条公路的图上距离是2.2cm.解题后的思考：用比例知识解决问题的关键是根据不变量，正确判断两种相关联的量成哪种比例关系，然后找到中间不变的量再列出方程求出未知数。本节课的内容一方面是巩固比和比例的有关概念，另一方面是使同学们体会比例在日常生活中的应用，通过练习，提高综合应用能力。同学们在运用比例知识解决问题的时候一定要注意以下几点：一、分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成比例关系，成何种比例关系。二、根据正比例或反比例意义列出方程。三、解方程，写答语。第9页版权所有不得复制 同学们，下节课我们将对本单元的知识进行整理，请同学们提前做好复习。一、预习新知请同学们回忆并整理一下在本单元中我们都学习了哪些知识点？二、预习点拨探究与反思探究任务一：会画正比例图象【反思】（1）怎样画正比例图象？（2）怎样根据其中一个量在图象中找出或估出另一个量？探究任务二：比例尺【反思】（1）怎样利用比例尺求图上距离或实际距离？（2）怎样放大或缩小图像？（答题时间：45分钟）一、填一填1.一列火车3小时行驶270km，照这样计算，要行驶1890km，需要（）小时。①“照这样计算”就是说（）是一定的。②（）和（）成（）比例关系。③两次行驶的路程和时间的（）相等。2.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60km，4小时到达，如果要3小时到达，每小时应行驶多少千米？①一辆汽车从甲地开往乙地，就是（）一定。②（）和（）成（）比例关系。③两次行驶的速度和时间的（）相等。3.甲、乙两车的速度比是4:5，行完一段路程，乙车所用时间和甲车所用时间的比是（）。二、解方程：8=2.4=1.2×33×0.7=14三、解决问题1.小明读一本书，3天读了48页，照这样的速度，他8天可以读多少页？（用两种方法解答）2.道路维修队要修一段800米长的公路，前2天修了64米。照这样计算，剩下的还要多少天修完？（用比例知识解答）3.华美公司生产电视机，计划每天生产400台，25天可以完成。实际用20天完成了任务，实际每天生产多少台？第9页版权所有不得复制 一、填一填1.一列火车3小时行驶270km，照这样计算，要行驶1890km，需要（21）小时。①“照这样计算”就是说（速度）是一定的。②（路程）和（时间）成（正）比例关系。③两次行驶的路程和时间的（比值）相等。2.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60km，4小时到达，如果要3小时到达，每小时应行驶多少千米？①一辆汽车从甲地开往乙地，就是（路程）一定。②（速度）和（时间）成（反）比例关系。③两次行驶的速度和时间的（乘积）相等。3.甲、乙两车的速度比是4:5，行完一段路程，乙车所用时间和甲车所用时间的比是（4：5）。二、解方程：8=2.4=1.2×33×0.7=14==1.5=0.15三、解决问题1.小明读一本书，3天读了48页，照这样的速度，他8天可以读多少页？（用两种方法解答）（1）用算术方法解答（2）用比例知识解答48÷3×8=128（页）解：设8天可以读页48：3=：8=128答：他8天读了128页。2.道路维修队要修一段800米长的公路，前2天修了64米。照这样计算，剩下的还要多少天修完？（用比例知识解答）解题思路：由“照这样计算”可知每天修路的米数一定，则修路的长度与修路所用的时间成正比例关系，若设剩下的还要天，则与天对应的数应是（800-64）米。解：设剩下的还要天修完64：2=（800-64）：=23答：剩下的还要23天修完。3.华美公司生产电视机，计划每天生产400台，25天可以完成。实际用20天完成了任务，实际每天生产多少台？方法一：用算术方法解答方法二：用比例知识解答400×25÷20=500（台）解：设实际每天生产台。20=400×25=500第9页版权所有不得复制 答：实际每天生产500台。第9页版权所有不得复制