★小学五年级奥数专题讲解之“最大公约数” 同学们知道，24的约数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 42的约数有：1，2，3，6，7，14，21，42. 几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数. 24和42的公约数有：1，2，3，6. 几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数. 24与42的最大公约数是6，记作（24，42）＝6. 16，72，84的最大公约数是4，记作（16，72，84）＝4. 如果两个自然数的最大公约数是1，那么就称这两个数互质.例如（4，9）＝1，称4与9互质. 对于自然数a、b，有［a，b］×（a，b）＝a×b.问题1有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，怎样利用它们从一桶油中倒出6升油来？分析油从27升与15升两个容器中倒进倒出而得到6升油，就是用27与15经过若干次加减运算后得到数6.解（27，15）＝3. 15＝12×1＋3，2×15＝27＋3， 3＝2×15－27，6＝4×15－2×27. 所以，向小容器里倒4次油，每倒满后就向大容器里倒，大容器注满了就往桶里倒.当大容器第二次倒满时，小容器里剩下的就是6升油.问题2一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形的纸而无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？
分析要使这些面积相等的小正方形纸的边长最长，就是要求75与60的最大公约数.解（75，60）＝15. （75÷15）×（60÷15）＝5×4＝20. 答：可裁成20张.问题3甲、乙、丙三个班的学生人数分别是54、48、72.现要在各班分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同.问锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班共有多少个小组？分析要使各小组的人数相等且人数最多，就是求54、48、72的最大公约数.解（54，48，72）＝6. （54＋48＋72）÷6＝29. 答：锻炼小组的人数最多是6，这时甲、乙、丙三班共有29个小组.问题4工人加工零件，第一批毛坯1788个，第二批毛坯1680个，第三批毛坯2098个.现平均分给工人，分别剩7个、3个、5个.问加工的工人最多有多少？分析所求工人的最多人数是1788-7＝1781、1680-3＝1677、2098-5＝2093三个数的最大公约数.解1788-7＝1781， 1680-3＝1677， 2098-5＝2093. （1781，1677，2093）＝13. 答：加工的工人最多有13人.
问题5有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米.现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段？分析先求出三根钢管各自的长度，再求出这三根钢管长度数的最大公约数.解依题意，第三根钢管的长度是第二根钢管长度的2.4倍. 280÷（2.4-1）＝200. 200×1.2＝240. 240×2＝480. （200，240，480）＝40. （200＋240＋480）÷40＝23. 答：共可以截成23段.问题6有320个苹果、240个桔子、200个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？分析所求果品的份数，就是320、240、200的最大公约数.解（320，240，200）=40. 320÷40=8， 240÷40=6， 200÷40=5. 答：用这些果品最多可分成40份.在每份礼物中，有8个苹果、6个桔子、5个梨.问题7已知甲、乙两数的比为5∶3，并且它们的最大公约数与最小公倍数的和是1040.求甲数和乙数.分析因为5与3互质,所以甲数=最大公约数×5，
乙数=最大公约数×3. 它们的最小公倍数=最大公约数×5×3.解最大公约数为1040÷（15＋1）=65. 65×5=325，65×3=195. 答：甲数为325，乙数为195练习1.某校订购了数学、语文、英语资料各228册、114册、84册现平均分成若干份，每份中这三种资料的数量分别相等那么最多可分成几份？2.某商店经销某种货物，去年总金额为36963元，今年每件货物的售价（单价）不变，总金额为59570元.如果单价（以元为单位）是大于1的整数，问单价是多少元？3.现有铁丝三根，一根长12米，一根长18米，一根长42米.要把三根铁丝截成同样长的若干段且都不许有剩余，每段最长为几米？一共可以截成多少段？4.把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5∶3的长方形纸，且没有剩余.问最少可截成几张？
5.有一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米.要把这块木料锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要最大，且不能有剩余.问可锯成几块？ 6.已知两个不相等（且都不为1）的自然数的最小公倍数是42，这样的两个数一共有几组？请分别写出来.
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