课题：圆柱体及付息研究【教学目标】1.知识与方法：复习几类常见圆柱体积问题的基本解法和思维方式，让学生体会半径和高对于圆柱体积的影响；2.过程与能力：通过一步步的探究活动，让学生积累研究型学习的经验，理解理科学习的特点，为中学的数学学习奠定基础。3.情感价值观：通过探究，用数学规律的统一性感染学生，提高研究动力。【教学重难点】通过数据计算合理归纳和总结规律，积累研究性学习的方法经验【教学过程】一．复习引入：师：我们之前研究过圆柱的体积和表面积了，今天老师想和大家一起对我们之前解决过的一些和圆柱体积有关的问题做一些整理，希望能研究出一些新的规律。师：圆柱的体积怎么求？生：底面积乘以高师：能在详细一点儿吗？生：πr2h板书V=πr2h师：你认为要求圆柱的体积必须要知道哪两个量？生：半径和高。师：好的。那么我们今天就围绕着半径和高进一步研究一下圆柱的体积。二．基本感知：1.初步感知：师：既然需要知道半径和高，你认为在计算圆的体积时，底面半径和高相比较，哪个量对圆柱体积的影响会更大?生：半径。因为在计算体积时，半径是要平方计算的，而高只乘一次。师：大家认同他的观点吗？你们也是这样感觉的吗？生：是2.基本计算感知：师：好，那我们就借助之前我们解决过的一些问题来逐步验证我们的感觉对不对，好吗？出示例1长方形纸片长8π厘米，宽4π厘米，用这张纸片围城一个圆柱的侧面(接头不计)，围成的圆柱体体积最大是多少？师：大家手里也有一张同样大小的纸片，可以自己折一下研究一下如何求解。另外，跟大家说明一下，由于涉及到圆周率的计算计算量会相对大一些，为了提高我们这一节课对于规律的研究效率，咱们这节课不用3.14来计算，圆周率就用π来表示，明白吗？生计算。师：哪位同学可以讲解一下自己的理解和解决方法？生：有两种情况。第一种让8π当作圆柱的地面周长，高是4π，这样要先通过地面周长求出半径是4厘米，在求出体积；第二种底面周长是4π，高8π，还是先通过底面周长4π求出底面半径是2厘米，高8π，再求体积。两种情况求出结果后发现第一种求得的体积更大一些。师：这位同学清楚地找到了底面周长、高分别与长方形长宽的对应关系，并且先求出了半径、确定了高，从而计算出了圆柱的体积，思路和表达都非常准确。那我们看一下这个比较之后的结果，和我们之前初步感觉的一样吗？生：一样，半径的大的大。
师：至少从这个例子里看得出是半径大的情况计算出了更大的体积，我想一种题型似乎还不能说明什么，那么我们在解决一个之前见过的类型。出示例2长方形纸片长5厘米，宽2厘米，以一边为轴旋转形成一个圆柱体，圆柱体积最大是多少？师：这个问题有有几种情况？生：两种师：那就通过计算验证一下，看看能发现什么？生计算，就算后同位简单交流师：哪位同学汇报一下自己的发现？生：第一种情况半径是5厘米，高2厘米，体积计算出来是50π；第二种情况半径是2厘米，高5厘米，计算结果20π。半径大的计算出的体积更大。师：哪位同学可以就这道题目，解释一下为什么半径大的体积会更大吗？可以结合算式生：从算式中看到，两种情况的算式里都有π，都有一个5×2，第一个算式多出的一个因数是5，第二个算式里多出的因数是2，所以半径多乘了一次对体积的影响就更大。师：同意他的观点吗？通过两个算式的对比，发现多乘的一个半径对体积大小的比较起到了的关键性作用。三．辩证性认知：师：通过刚刚的两个例子，似乎夯实了我们的认识，半径和高相比，对圆柱体积的影响较大。那么所有的情况都是半径产生了较大的影响吗？你觉得，在某些条件下要计算出圆柱的最大体积，一定是尽量让半径大吗？生：可能不一定。师：数学问题的研究往往就是从一个初步的感知通过一步步验证达到一个规律性认识的过程。既然圆的体积和半径有关，也和高有关，那么高的影响就永远不如半径大吗？我们再研究一个例子。出示例3在一个长12cm、宽8cm、高6cm的长方体内截出一个最大的圆柱，求圆柱的体积师：这个问题我希望各位同学能在小组里通过讨论研究、分工合作解决。生小组合作。师：哪一组同学研究出自己的结论了？上台跟大家分享一下。生1：有三种情况。第一种半径最大，半径4厘米，高6厘米，体积96π。生2：第二种高最大，半径3厘米、高12厘米，体积108π。生3：第三种半径3厘米，高8厘米，体积72π。生1：通过比较发现，第二种体积最大，也就是高最大的那种体积最大。通过课件展示整理师：这次好像不再是半径最大的情况下体积最大了，难道我们刚刚的数学感觉是不对的？谁能谈谈自己的想法生1：我认为，半径和高都能对圆柱的体积产生影响，半径虽然乘两次，但如果高比较长，足以抵消半径平方的作用时，那么高就可以看作对体积产生了更大的影响。生2：我觉得刚刚我们做过的两道题都只有两个量，所以半径多乘了一次决定作用就体现出来了，但这道题是立体图形，有三个量就不能简单地认为半径最大时体积最大了。师小结：刚刚两位同学的领悟都很好，尤其是第二位同学善于对比不同问题的不同之处，这种数学分析方法是值得我们推崇的。既然不能下定论，那么我们就继续改变条件，继续体会。出示变式：在一个长8cm、宽6cm、高4cm的长方体内截出一个最大的圆柱，求圆柱的体积师：有了之前的经验，我们这次小组内快速地计算出三种不同的情况，做出推断好吗？生计算。生1：第一种半径最大，半径3厘米，高4厘米，体积36π生2：第二种高最大，半径2厘米，高8厘米，体积32π生3：第三种半径2厘米，高6厘米，体积24π，所以第一中最大，我们组得到的结论是这道题半径最大的体积最大。师：在这组数据下，半径最大的情况体积最大了，这说明什么?生：半径和高都决定体积，不能因为半径是平方计算就断定它对有着更重要的影响。
师：非常准确。四．对比性总结：师：那你觉得能不能直接判断出三种情况哪种一定是最大的？生：不能师：我们可以一点点的推理，比如说，你能否判断出三种情况中哪种体积一定不是最大的？生：第三种，因为半径是小的，而高也不是最大的，所以第三种一定不如第二种大。师：好的，我们先舍掉第三种，把刚刚达到最大的两种情况放在一起做一下对比出示表格师：通过对比，你能得到什么结论？生1：半径和高都有可能成为决定体积的最重要因素，具体情况需要具体的计算。生2：对于长比较长而宽高相对较小的长方体内割出一个最大的圆柱体，选择长作为高最好；而长宽高相对平均的则尽量让半径最大；师：两位同学的理解都已经非常的理性了，甚至有了通过对长方体形状判断得到的更加精确的判断方式。这就是我们通过这一节课的研究所得到的发现，数学学习就是一个从感知猜想到推理验证再去应用的研究过程。通过后续的研究我们发现最初的感觉并不一定是最准确的，通过研究和推理我们得到了一个相对科学、客观的结论，希望同学们能在今后的学习中多多利用这样的数学学习方法来攻克数学世界里的一座座难题。这节课我们就研究到这儿！五．课后探究：师：能通过同学们的眼神看得出，同学们心里还是有疑问的，不用猜老师也知道，你一定在想在长方体中，到底什么条件下才能直接判断出哪种情况体积最大呢？老师经常跟大家说，高年级数学要逐渐的从感性到理性进行过度，从具体数据比较到一般规律研究过度。既然两组不同数据得到了不同的结果，而大家对于半径高的计算又比较熟悉，那何不用字母a,b,h代替长宽高，用代数式、方程求出两种情况体积相等时的临界条件呢，有兴趣的同学可以课下合作，研究一下，下课！
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