三角形内角和的证明

北师大版八年级7.5三角形内角和定理（1） 小明在探究三角形内角和时，是这样做的：情景引入ABC3412DE实验法得出：三角形三个内角的和等于180°。 Ⅰ、求证：三角形三个内角的和等于180°。新知探究已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。ABCDE辅助线辅助线有什么意义呢？虚线12当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况。 Ⅰ、求证：三角形三个内角的和等于180°。新知探究已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。证明：∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)延长BC至D，过点C作CE∥BA。∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义)∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)ABC∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)DE12 新知归纳三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 Ⅱ、在证明三角形三个内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作PQ∥BC，他的想法可行吗？新知探究已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。证明：∴∠C=∠1(两直线平行，内错角相等)过点A作PQ∥BC。∵∠1+∠2+∠CAB=180°(平角的定义)∴∠A+∠B+∠CAB=180°(等量代换)ABC∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)PQ21 Ⅲ、你还有其他方法证明三角形内角和定理吗？已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。ABC新知探究D 1、已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D和E分别在AB和AC上，且DE∥BC。求证：∠ADE=50°。巩固练习 合作交流ⅰ、直角三角形的两锐角和是多少度？请证明你的结论。ABC已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°。求证：∠A+∠B=90°。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形三个内角和等于180°)且∠C=90°(已知)∴∠A+∠B+90°=180°(等量代换)∴∠A+∠B=90°(等式性质)直角三角形两锐角互余 2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。求证：∠A=∠DCB。巩固练习 合作交流ⅱ、正三角形的一个内角是多少度？证明你的结论。ABC已知：如图，正△ABC。求证：∠A=∠B=∠C=60°。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形三个内角和等于180°)∵△ABC是正三角形(已知)∴∠A=∠B=∠C(正三角形性质)∴∠A=∠B=∠C=60°(等式性质)正三角形的三个内角都相等，并且都等于60° 合作交流ⅲ、四边形的内角和是多少度？证明你的结论。ABCD已知：如图，四边形ABCD。求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°。证明：∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形三个内角和等于180°)连接AC且∠DAC+∠D+∠ACD=180°(三角形三个内角和等于180°)∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°(等式性质)四边形的内角和等于360° 新知归纳定理：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)正三角形的三个内角都相等，且都等于60°；(3)四边形的内角和等于360°。 3、已知：如图，AB∥CD。求证：∠CAB=∠CED+∠CDE。巩固练习 合作交流ⅳ、如图(1)，在△ABC中，如果BC不动，把点A“压”向BC，那么当点A越来接近BC时，∠A就越来越大(越来越接近180°)，而∠B和∠C则越来越小(越来越接近0°)。由此你能想到什么？ABCABC(1)(2)如果BC不动，把点A“拉离”BC，那么当点A越来远离BC时，∠A就越来越小(越来越接近0°)，而∠B和∠C则越来越大，它们的和越来越接近180°。当点A拉到无穷远时，便有AB∥AC，而∠B和∠C是同旁内角，此时它们的和等于180°。由此你能想到什么？ 4、已知：如图，在△ABC中，∠A=75°，∠B=50°，将∠C折起，点C落在△ABC内部，已知∠1=20°，求∠2的大小。巩固练习12ABCDE 课堂小结1、辅助线的意义：当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况。2、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。3、定理：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)正三角形的三个内角都相等，且都等于60°；(3)四边形的内角和等于360°。