《概率的基本性质》（人教）

人民教育出版社|必修三第三章概率概率的基本性质本课时编写：福州八中学校欧阳师章老师 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是0.5和0.6，则该省夺取该项冠军的概率是0.5＋0.6吗？为什么？新课导入 新课讲授思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？问题在抛掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}，等等。答：E是必然事件；F是不可能事件；其余是随机事件。 思考2：如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？反之，成立吗？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？答：如果事件C1发生，则一定发生的事件有D1，D3，E，H，反之，如果事件D1，D3，E，H分别成立，能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看，事件C1是事件D3，E，H的子集，集合C1与集合D1相等。思考3：如果事件D2与事件H同时发生，就意味着哪个事件发生？答：如果事件D2与事件H同时发生，就意味着事件C5发生。小结：如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件)，记为A∩B或AB。 思考4：事件D3与事件F能同时发生吗？答：事件D3与事件F不能同时发生。小结：如果A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。思考5：事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？答：事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生。小结：如果A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生。 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,记作：探究一：事件的关系和运算BA如图：例事件C1={出现1点}发生，则事件H={出现的点数为奇数}也一定会发生，所以。注：不可能事件记作，任何事件都包括不可能事件。（1）包含关系 一般地，对事件A与事件B，若，那么称事件A与事件B相等，记作A=B。（2）相等关系BA如图：例事件C1={出现1点}发生，则事件D1={出现的点数不大于1}就一定会发生，反过来也一样，所以C1=D1 （3）并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作。BA如图：例若事件K={出现1点或5点}发生，则事件C1={出现1点}与事件C5={出现5点}中至少有一个会发生，则 （4）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的交事件（或积事件）记作。BA如图：例若事件M={出现1点且5点}发生，则事件C1={出现1点}与事件C5={出现5点}同时发生，则。 （5）互斥事件若为不可能事件（），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生。AB如图：例因为事件C1={出现1点}与事件C2={出现2点}不可能同时发生，故这两个事件互斥。 （6）互为对立事件若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。AB如图：例事件G={出现的点数为偶数}与事件H={出现的点数为奇数}即为互为对立事件。 互斥事件与对立事件的区别:①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言。②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生，因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件。③从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指这几个事件所包含的结果组成的集合的交集为空集；而事件A的对立事件A所包含的结果组成的集合是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集。 事件与集合之间的对应关系集合A与集合B的交为空集事件A与事件B互斥=集合A与集合B的交事件A与事件B的交集合A与集合B的并事件A与事件B的并集合A与集合B相等事件A与事件B相等=集合B包含集合A事件B包含事件AB集合A的补集事件A的对立事件CUA的子集事件A中的元素试验的可能结果空集不可能事件全集必然事件集合论概率论符号A 探究二：概率的基本性质1.概率P(A)的取值范围：（1）0≤P(A)≤1（2）必然事件的概率是1（3）不可能事件的概率是0（4）若,则P(A)≤P(B)思考：掷一枚骰子,事件C1={出现1点}，事件C3={出现3点}则事件C1C3发生的频率与事件C1和事件C3发生的频率之间有什么关系？结论：当事件A与事件B互斥时 2.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)若事件A，B为对立事件,则P(B)=1－P(A)3.对立事件的概率公式：注意：1.利用上述公式求概率是，首先要确定两事件是否互斥，如果没有这一条件，该公式不能运用。即当两事件不互斥时，应有：P(AB)=P(A)+P(B)-P()2.上述公式可推广，即如果随机事件A1，A2，……，An中任何两个都是互斥事件，那么有P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(n) 例题探究例1判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由。某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”。解：(1)是互斥事件。理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件。 (2)不是互斥事件。理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果。“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生。(3)不是互斥事件。理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生。(4)是互斥事件。理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生。 跟踪训练1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环。解：A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生)。 反思与感悟事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)＝1－P(C)。 解设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得 例3某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4；(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解：(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D。这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7,即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7。(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8。 (3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。反思与感悟1.互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和；3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题。 解(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件， 1．给出以下结论：①互斥事件一定对立。②对立事件一定互斥。③互斥事件不一定对立。④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率。⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)。其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个C课堂检测解析：对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错。 2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3C解析：设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3。 3．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是()A．A与C互斥B．任何两个均互斥C．B与C互斥D．任何两个均不互斥A解析：∵从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件。D1＝{没有次品}，D2＝{1件次品}，D3＝{2件次品}，D4＝{3件次品}，∴A＝D1，B＝D4，C＝D2∪D3∪D4，故A与C互斥，A与B互斥，B与C不互斥。 4．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________。0.65解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65。 课堂总结1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系。在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生。所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥。2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。3．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率。