高中数学：1.5《定积分》课件

定积分 定积分三、定积分的性质一、定积分问题举例二、定积分的定义 abxyo1曲边梯形的面积一、定积分问题举例所围成和 abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形） 曲边梯形如图 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为 2变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值 二、定积分的定义定义 记为被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和 注： 定理1存在定理定理2 曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义 几何意义： 例1利用定义计算定积分解 例2利用定义计算定积分解 证明利用对数的性质得 极限运算与对数运算换序得 故 对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．三、定积分的性质 证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1 证性质2 补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3 证性质4性质5 解令于是 性质5的推论：证（1） 证说明：可积性是显然的.性质5的推论：（2） 证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6 解 解 证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式 使即积分中值公式的几何解释： 解由积分中值定理知有使 微积分基本公式三、牛顿—莱布尼茨公式、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系二、积分上限函数及其导数 变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、变速直线运动中位置函数与速度函数的 考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数 积分上限函数的性质证 由积分中值定理得 补充证 定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式 令令 微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题. 例1求例2设,求.原式解解 例3求解由图形可知 例4求解解面积 证 证令 例8求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则. 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法 定理一、定积分的换元法 应用换元公式时应注意:（2）（1） 例1计算令解 例2计算解 例3计算解原式 例4计算解令原式 证 证（1）设 定积分的分部积分公式推导二、定积分的分部积分法 例7计算解令则 例8计算解 例9证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证设 积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止 于是 定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用 回顾曲边梯形求面积的问题abxyo定积分的元素法 面积表示为定积分的步骤如下:（n.（3）求和，得A的近似值1）把区间],[ba分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为 y提示（4）求极限，得A的精确值abxodA面积元素 元素法的一般步骤： 这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长 一、平面图形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形 解两曲线的交点选为积分变量面积元素 两曲线的交点解选为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积 解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．xx+dx 面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形 解于是所求面积为 解利用对称性知2a 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1、旋转体的体积 旋转体的体积为xyo 解直线OP的方程为 解 解 补充利用这个公式，可知上例中 2、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积 解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积 解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积 三、平面曲线弧长的概念 曲线弧为弧长1、参数方程 解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长 证 根据椭圆的对称性知故原结论成立. 弧长元素弧长2、直角坐标方程 解所求弧长为 解 曲线弧为弧长极坐标方程 解 解 例17计算摆线的一拱的长度.解弧长元素为从而，所求弧长