高中数学复习课件：抛物线

1 1.抛物线的定义:平面内到一定点F的距离与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程(1)方程y2=±2px(p>0)，x2=±2py(p>0)叫做抛物线的标准方程，其中“±”号决定抛物线的开口方向.2 (2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=-，开口向右；抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-，开口向上；抛物线x2=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.3 (3)抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离抛物线y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离4 3.抛物线的几何性质(1)抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，只有一条；抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，只有一个；抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.(2)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.5 (3)已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=x1+x2+p或(α为直线AB的倾斜角)，y1y2=-p2，x1x2=(叫做焦半径).6 1.已知抛物线则它的焦点坐标是（）A.B.C.D.抛物线的标准方程为焦点在y轴上，其坐标为（0,），选D.易错点：研究抛物线的几何性质时，方程必须是标准方程.D7 2.若抛物线的准线过双曲线的左焦点，则p的值为（）A.4B.-4C.2D.-2双曲线的左焦点为（-2,0），抛物线y2=2px的准线方程为所以有所以p=4，选A.A8 3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点F的距离为（）A.2B.3C.4D.5D9 解法1：y=4代入x2=4y，得x=±4，所以A（±4,4），焦点坐标为（0,1），由两点间距离公式知距离为解法2：抛物线的准线方程为y=-1，所以A到准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A到焦点的距离相等，所以距离为5,选D.10 4.已知抛物线过点P（-1,2），则抛物线的标准方程为.当焦点在y轴上时，方程可设为x2=my，因为过点P（-1,2），所以m=，方程为x2=y；当焦点在x轴上时，方程可设为y2=nx，因为过点P（-1,2），所以n=-4，方程为y2=-4x.填x2=y或y2=-4x.易错点：求抛物线的标准方程，应分析焦点所在的位置.11 5.已知过点M（2,2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A,B两点，且M是线段AB的中点,则弦长=.显然直线l的斜率必存在，设l：y-2=k（x-2），y-2=k（x-2）y2=4x，则由，消去x得y2-y+2-2k=012 设A（x1,y1）,B（x2,y2），M是线段AB的中点，所以得k=1，则y2-y=0，得y=0或y=4.所以A（0,0）,B（4,4），所以填13 重点突破：抛物线的定义及其应用已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又点A（3,2），求的最小值，并求取最小值时点P的坐标.由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离，求的问题可转为求　　　的问题.14 将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=±.因为>2，所以A在抛物线内部.设抛物线上的点P到准线l：x=-的距离为d，由定义知　　　　　　　　　当PA⊥l时，　　　取到最小，为.此时点P(2，2).即　　　　的最小值为　，且P(2，2).15 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的主要途径.16 在抛物线y2=4x上求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x=-1，由抛物线的定义知，点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离，17 于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A（-1,1）的距离与点P到F（1,0）的距离之和最小，显然，连接AF交曲线于P点时有最小值为　　　即.18 重点突破：抛物线的标准方程及其几何性质如图，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离为5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(Ⅰ)求抛物线的方程，(Ⅱ)过M作MN⊥FA，垂足为N,求点N的坐标.19 (Ⅰ)利用点A到准线的距离可求得P.(Ⅱ)可求点A的坐标，联立两直线方程，看求得交点N的坐标.(Ⅰ)抛物线y2=2px(p>0)准线为x=-，于是4+=5，所以p=2，所以抛物线的标准方程y2=4x.20 (Ⅱ)由(Ⅰ)得点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4),M(0,2),又因为F(1,0),所以kFA=，因为MN⊥FA,所以kMN=-,则FA所在的直线方程为y=(x-1)，MN所在的直线方程为y-2=-x，y=(x-1)y-2=-x解方程组得所以21 求抛物线的标准方程常采用待定系数法，利用已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值.22 抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m,-3）到焦点的距离为5，求抛物线的准线方程.由题意可设抛物线方程为x2=-2py（p>0），因为P（m,-3）到焦点的距离为5，所以P到准线的距离为+3=5，所以p=4.所以抛物线的准线方程为y=2，填y=2.23 重点突破：直线与抛物线的位置关系如图：AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，l是抛物线的准线，设A(x1,y1),B(x2,y2).求证：(Ⅰ)y1y2=-p2，x1x2=；(Ⅱ)(Ⅲ)设BB1⊥l，B1为垂足，则A、O、B1三点共线.24 （Ⅰ）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，结合韦达定理及点A、B在抛物线上，可求得.（Ⅱ）由焦点弦公式可求得.（Ⅲ）要证A、O、B1三点共线，只要证明点B1在直线OA上即可.25 (Ⅰ)由已知直线AB的方程为y=k(x-)与y2=2px联立，消去x，得：ky2-2py-kp2=0(k≠0)，根据韦达定理，y1y2=-p2.因为　　　　　　　　所以所以(当AB⊥x轴时，上述的结论显然成立)26 （Ⅱ）因为所以由（Ⅰ）　　　　　代入上式，化简可得27 （Ⅲ）因为点B1的坐标为（-,y2），直线OA的方程为要证A、O、B1三点共线，只要证明点B1在直线OA上即可，因此只需证明　　　　即证明2x1y2=-py1即可，因为　　　　所以只需证明即证明y1y2=-p2即可，这已由（Ⅰ）证明，所以结论成立.28 解决直线与抛物线的焦点弦问题，一般设交点坐标，联立方程组，借助韦达定理及点在抛物线上等条件解题，须关注过焦点的弦的一些性质，如x1x2=，y1y2=-p2，　　　　　弦长=x1+x2+p等.29 已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.求证：抛物线C在点N处的切线l与AB平行.30 设A（x1,）,B（x2,）,将y=kx+2代入，得2x2-kx-2=0.由根与系数的关系，得x1+x2=；x1x2=-1.因为所以N点的坐标为（），又因为y=2x2，所以y′=4x，所以过N点切线的斜率kl=4·=k，即kl=kAB.所以l∥AB，即l∥AB.31 已知点A(-1,0)，F(1,0)和抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P两点，直线MF交抛物线C于另一点Q，如图(Ⅰ)若△POM的面积为　，求向量　　与　　的夹角；(Ⅱ)判断直线PQ与y轴的位置关系，并说明理由.32 (Ⅰ)设M(x1,y1),P(x2,y2)，利用A、M、P三点共线及　　　与SΔMOP的关系求解.(Ⅱ)求出点P、Q坐标的关系，可判断结论.(Ⅰ)设点M(,y1)、P(,y2),因为P、M、A三点共线，所以kAM=kPM,即则　　　　　　　所以y1y2=4.33 所以设∠POM=α，则因为S△POM=，所以由此可得tanα=1，又α∈（0,π），所以α=45°，故向量　　与　　的夹角为45°.34 (Ⅱ)直线MF的方程为联立抛物线方程y2=4x，消去x得：即所以　　　或y=y1.从而知道点Q的纵坐标yQ=-，又由(Ⅰ)知，y1y2=4，所以y1=.故得xP=xQ,所以直线PQ与y轴平行.35 1.抛物线的标准方程有四种形式，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x2=ay（a≠0）或y2=ax（a≠0），然后利用待定系数法和已知条件求解.36 2.抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率e=1，所以与椭圆、双曲线相比，必有许多特殊的性质，可以借助几何知识来解决.3.明确p的几何意义焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线y2=2px（p≠0）上的点常设为　　　便于简化计算.37 4.重视抛物线的定义在解题中的应用(1)凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离处理.(2)若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)）上一点，由定义易得若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则弦长为=x1+x2+p，x1+x2可由根与系数的关系整体求出若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长可由数形结合的方法类似的得到.；38 1.（2009·山东卷）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8xB39 抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F的坐标为（,0）,则直线l的方程为y=2（x-）,它与y轴的交点为A（0,-）,所以△OAF的面积为　　　　　解得a=±8.所以抛物线方程为y2=±8x,故选B.40 本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.41 2.（2009·宁夏/海南卷）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点.若P（2,2）为AB的中点，则抛物线C的方程为.设抛物线方程为y2=kx，与y=x联立，消去y得x2-kx=0,则x1+x2=k=2×2=4,故y2=4x.本题考查抛物线的标准形式，利用待定系数法确定抛物线的方程.y2=4x42 1.已知抛物线则它的焦点坐标是（）A.B.C.D.D2.若抛物线的准线过双曲线的左焦点，则p的值为（）A.4B.-4C.2D.-2A43 3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点F的距离为（）A.2B.3C.4D.5D4.已知抛物线过点P（-1,2），则抛物线的标准方程为__________________.5.已知过点M（2,2）的直线l与抛物线C:y2=4x交于A，B两点，且M是线段AB的中点,则弦长=_____.44 已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又点A（3,2），求的最小值，并求取最小值时点P的坐标.在抛物线y2=4x上求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.45 如图，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离为5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(Ⅰ)求抛物线的方程，(Ⅱ)过M作MN⊥FA，垂足为N,求点N的坐标.46 如图：AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N是垂足，设A(x1,y1),B(x2,y2).求证：(Ⅰ)y1y2=-p2，x1x2=；(Ⅱ)(Ⅲ)设BB1⊥l，B1为垂足，则A、O、B1三点共线.47 已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.求证：抛物线C在点N处的切线l与AB平行.48 已知点A(-1,0)，F(1,0)和抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P两点，直线MF交抛物线C于另一点Q，如图(Ⅰ)若△POM的面积为　，求向量　　与　　的夹角；(Ⅱ)判断直线PQ与y轴的位置关系，并说明理由.49 1.（2009·山东卷）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8xB50 2.（2009·宁夏/海南卷）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点.若P（2,2）为AB的中点，则抛物线C的方程为________.y2=4x51